Абсолютна та відносна похибка числа. Відносна та абсолютна похибка: поняття, розрахунок та властивості

Абсолютною похибкоюнаближеного числа називається модуль різниці між цим числом та його точним значенням. . Звідси випливає, що укладено в межах або .

приклад 1.На підприємстві 1284 робітники та службовці. При округленні цього до 1300 абсолютна похибка становить |1300 - 1284|=16. При округленні до 1280 року абсолютна похибка становить |1280 - 1284| = 4.
Відносною похибкоюнаближеного числа називається відношення абсолютної похибки.
наближеного числа до модуля значення числа .
Приклад 2 . У школі 197 учнів. Округлюємо це до 200. Абсолютна похибка становить |200 - 197| = 3. Відносна похибка дорівнює 3/|197| чи 1,5 %.

Найчастіше неможливо дізнатися точне значення наближеного числа, отже, і точну величину похибки. Однак майже завжди можна встановити, що похибка (абсолютна або відносна) не перевищує певного числа.

приклад 3.Продавець зважує кавун на чашкових вагах. У наборі гирь найменша - 50 г. Зважування дало 3600 р. Це число - наближене. Точна вага кавуна невідома. Але абсолютна похибка вбирається у 50 р. Відносна похибка вбирається у 50/3600 ≈1,4%.

У прикладі 3 за граничну абсолютну похибку можна взяти 50 г, а граничну відносну похибку – 1,4 %.
Абсолютна похибка позначається грецькою буквою Δ («дельта») або D a; відносна похибка – грецькою буквою δ («дельта мала»). Якщо наближене число позначити літерою А, δ = Δ/|А|.

Значною цифроюнаближеного числа А називається будь-яка цифра в його десятковому поданні, відмінна від нуля, і нуль, якщо він міститься між значущими цифрами або є представником збереженого десяткового розряду

приклад.А = 0,002080. Тут лише перші три нулі не є значущими.

nперших значущих цифр наближеного числа А є вірнимиякщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини розряду, що виражається n- й значущою цифрою, вважаючи зліва направо. Цифри, які не є вірними, називаються сумнівними.

приклад.Якщо в числі a= 0,03450 усі цифри вірні, то .

Результат дій з наближеними числами є наближене число. При цьому неточними можуть виявитися й ті цифри, які отримані діями над точними цифрами даних чисел.

Приклад 5.Перемножуються наближені числа 60,2 та 80,1. Відомо, що всі виписані цифри вірні, тому справжні величини можуть відрізнятися від наближених лише сотими, тисячними тощо частками. У творі одержуємо 4822,02. Тут можуть бути невірними не лише цифри сотих та десятих, а й цифри одиниць. Нехай, наприклад, співмножники отримані округленням точних чисел 60,25 та 80,14. Тоді точне твір буде 4828,435, отже цифра одиниць наближеному творі (2) відрізняється від точної цифри (8) на 6 одиниць.

Теорія наближених обчислень дозволяє:

1) знаючи ступінь точності даних, оцінити рівень точності результатів ще до виконання дій;

2) брати дані з належним ступенем точності, достатньою, щоб забезпечити необхідну точність результату, але не надто великий, щоб позбавити обчислювача марних розрахунків;

3) раціоналізувати сам процес обчислення, звільнивши його від тих викладок, які не вплинуть на точні цифри результату.

Нехай деяка випадкова величина aвимірюється nразів у однакових умовах. Результати вимірів дали набір nрізних чисел

Абсолютна похибка- Розмірна величина. Серед nзначень абсолютних похибок обов'язково зустрічаються як позитивні, і негативні.

За найбільш ймовірне значення величини азазвичай приймають середнє арифметичнезначення результатів вимірів

.

Чим більша кількість вимірів, тим ближче середнє значення до істинного.

Абсолютною похибкоюi

.

Відносною похибкоюi-го виміру називається величина

Відносна похибка – величина безрозмірна. Зазвичай відносна похибка виражається у відсотках, при цьому e iпримножують на 100%. Розмір відносної похибки характеризує точність виміру.

Середня абсолютна похибкавизначається так:

.

Наголосимо на необхідності підсумовування абсолютних значень (модулів) величин D а i.В іншому випадку вийде тотожний нульовий результат.

Середньою відносною похибкоюназивається величина

.

При великій кількості вимірів.

Відносну похибку можна як значення похибки, що припадає на одиницю вимірюваної величини.

Про точність вимірів судять виходячи з порівняння похибок результатів вимірів. Тому похибки вимірів виражають у такій формі, щоб для оцінки точності достатньо було зіставити тільки одні похибки результатів, не порівнюючи при цьому розміри об'єктів, що вимірюваються або знаючи ці розміри вельми наближено. З практики відомо, що абсолютна похибка виміру кута залежить від значення кута, а абсолютна похибка вимірювання довжини залежить від значення довжини. Чим більше значення довжини, тим за даного методу та умов вимірювання абсолютна похибка буде більшою. Отже, за абсолютною похибкою результату про точність вимірювання кута можна судити, а про точність вимірювання довжини не можна. Вираз похибки у відносній формі дозволяє порівнювати у відомих випадках точність кутових та лінійних вимірів.

Основні поняття теорії ймовірності. Випадкова похибка.

Випадковою похибкою називають складову похибки вимірювань, що змінюється випадковим чином при повторних вимірах однієї й тієї величини.

При проведенні з однаковою ретельністю і в однакових умовах повторних вимірювань однієї і тієї ж постійної незмінної величини ми отримуємо результати вимірювань – деякі з них відрізняються один від одного, а деякі збігаються. Такі розбіжності у результатах вимірів свідчать про наявність у яких випадкових складових похибки.

Випадкова похибка виникає при одночасному впливі багатьох джерел, кожен з яких сам по собі непомітно впливає на результат вимірювання, але сумарний вплив всіх джерел може виявитися досить сильним.

Випадкові помилки є неминучим наслідком будь-яких вимірів та обумовлені:

а) неточністю відліків за шкалою приладів та інструментів;

б) не ідентичність умов повторних вимірів;

в) безладними змінами зовнішніх умов (температури, тиску, силового поля тощо), які неможливо контролювати;

г) усіма іншими впливами на вимірювання, причини яких нам невідомі. Величину випадкової похибки можна звести до мінімуму шляхом багаторазового повторення експерименту та відповідної математичної обробки отриманих результатів.

Випадкова помилка може набувати різних за абсолютною величиною значення, передбачити які для даного акта вимірювання неможливо. Ця помилка однаково може бути як позитивною, так і негативною. Випадкові помилки завжди є в експерименті. За відсутності систематичних помилок вони спричиняють розкид повторних вимірів щодо справжнього значення.

Припустимо, що з допомогою секундоміра вимірюють період коливань маятника, причому вимір багаторазово повторюють. Похибки пуску та зупинки секундоміра, помилка у величині відліку, невелика нерівномірність руху маятника – все це викликає розкид результатів повторних вимірів і тому може бути віднесено до категорії випадкових помилок.

Якщо інших помилок немає, то одні результати виявляться дещо завищеними, а інші дещо заниженими. Але якщо, крім цього, годинник ще й відстає, то всі результати будуть занижені. Це вже систематична помилка.

Деякі фактори можуть викликати одночасно систематичні та випадкові помилки. Так, включаючи і вимикаючи секундомір, ми можемо створити невеликий нерегулярний розкид моментів пуску та зупинки годинника щодо руху маятника і внести тим самим випадкову помилку. Але якщо до того ж ми щоразу поспішаємо включити секундомір і трохи запізнюємося вимкнути його, це призведе до систематичної помилки.

Випадкові похибки викликаються помилкою паралаксу при відліку поділів шкали приладу, струсі фундаменту будівлі, впливом незначного руху повітря тощо.

Хоча виключити випадкові похибки окремих вимірів неможливо, математична теорія випадкових явищ дозволяє зменшити вплив цих похибок на остаточний результат вимірів. Нижче буде показано, що для цього необхідно зробити не один, а кілька вимірювань, причому чим менше значення похибки ми хочемо отримати, тим більше вимірювань потрібно провести.

У зв'язку з тим, що виникнення випадкових похибок неминуче і неусувно, основним завданням будь-якого процесу виміру є доведення похибок до мінімуму.

В основі теорії похибок лежать два основні припущення, що підтверджуються досвідом:

1. При великому числі вимірів випадкові похибки однакової величини, але різного знака, тобто похибки у бік збільшення та зменшення результату трапляються досить часто.

2. Великі по абсолютній величині похибки зустрічаються рідше, ніж малі, отже, ймовірність виникнення похибки зменшується зі зростанням її величини.

Поведінка випадкових величин описують статистичні закономірності, що є предметом теорії ймовірностей. Статистичним визначенням ймовірності w iподії iє відношення

де n- загальна кількість дослідів, n i- кількість дослідів, у яких подія iсталося. При цьому загальна кількість дослідів має бути дуже великою. n®¥). При великій кількості вимірів випадкові помилки підпорядковуються нормальному розподілу (розподіл Гаусса), основними ознаками якого є:

1. Чим більше відхилення значення виміряної величини від істинного, тим менша ймовірність такого результату.

2. Відхилення обидві сторони від справжнього значення рівноймовірні.

З наведених вище припущень випливає, що зменшення впливу випадкових помилок необхідно зробити вимір цієї величини кілька разів. Припустимо, що вимірюємо деяку величину x. Нехай зроблено nвимірювань: x 1, x 2, ... x n- тим самим методом і з однаковою ретельністю. Очікується, що число dnотриманих результатів, які лежать у деякому досить вузькому інтервалі від xдо x + dx, має бути пропорційно:

Величині взятого інтервалу dx;

Загальній кількості вимірів n.

Ймовірність dw(x) того, що деяке значення xлежить в інтервалі від xдо x + dx,визначається так :

(при числі вимірів n ®¥).

Функція f(х) називається функцією розподілу або щільністю ймовірності.

Як постулат теорії помилок приймається, що результати прямих вимірювань та їх випадкові похибки при великій їх кількості підпорядковуються закону нормального розподілу.

Знайдена Гаусом функція розподілу безперервної випадкової величини xмає такий вигляд:

де mіs - параметри розподілу .

Параметр нормального розподілу дорівнює середньому значенню á xñ випадкової величини, яка при довільній відомій функції розподілу визначається інтегралом

.

Таким чином, величина m є найімовірнішим значенням вимірюваної величини x, тобто. її найкращою оцінкою.

Параметр s 2 нормального розподілу дорівнює дисперсії D випадкової величини, що у загальному випадку визначається наступним інтегралом

.

Квадратний корінь із дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини.

Середнє відхилення (похибка) випадкової величини визначається за допомогою функції розподілу наступним чином

Середня похибка вимірювань ásñ, обчислена за функцією розподілу Гаусса, співвідноситься з величиною середнього квадратичного відхилення s наступним чином:

< s > = 0,8s.

Параметри s і m пов'язані між собою так:

.

Цей вираз дозволяє знаходити середнє квадратичне відхилення s якщо є крива нормального розподілу.

Графік функції Гауса представлений малюнки. Функція f(x) симетрична щодо ординати, проведеної в точці x = m; проходить через максимум у точці x = m і має перегин у точках m±s. Таким чином, дисперсія характеризує ширину функції розподілу або показує, наскільки широко розкидані значення випадкової величини щодо її істинного значення. Чим точніше виміру, тим ближчі один до справжнього значення результати окремих вимірів, тобто. величина s – менше. На малюнку A зображено функцію f(x) для трьох значень s .

Площа фігури, обмеженою кривою f(x) і вертикальними прямими, проведеними з точок x 1 і x 2 (рис.б) , чисельно дорівнює ймовірності потрапляння результату виміру в інтервал D x = x 1 - x 2 яка називається довірчою ймовірністю. Площа під усією кривою f(x) дорівнює ймовірності влучення випадкової величини в інтервал від 0 до ¥, тобто.

,

оскільки можливість достовірного події дорівнює одиниці.

Використовуючи нормальний розподіл, теорія помилок ставить і вирішує дві основні задачі. Перша – оцінка точності проведених вимірювань. Друга – оцінка точності середнього арифметичного значення результатів вимірів. Довірчий інтервал. Коефіцієнт Ст'юдента.

Теорія ймовірностей дозволяє визначити величину інтервалу, в якому з певною ймовірністю wперебувають результати окремих вимірів. Ця ймовірність називається довірчою ймовірністю, а відповідний інтервал (<x> ± D x)wназивається довірчим інтервалом.Довірча ймовірність також дорівнює відносної частки результатів, що опинилися всередині довірчого інтервалу.

Якщо кількість вимірів nдосить велике, то довірча ймовірність висловлює частку із загальної кількості nтих вимірів, у яких виміряна величина виявилася не більше довірчого інтервалу. Кожній довірчій ймовірності wвідповідає свій довірчий інтервал. 2 80%. Чим ширший довірчий інтервал, тим більша ймовірність отримати результат усередині цього інтервалу. Теоретично ймовірностей встановлюється кількісний зв'язок між величиною довірчого інтервалу, довірчою ймовірністю і числом вимірів.

Якщо в якості довірчого інтервалу вибрати інтервал, що відповідає середній похибці, тобто D a =áD аñ, то при досить великій кількості вимірювань він відповідає довірчій ймовірності w 60%. При зменшенні кількості вимірювань довірча ймовірність, що відповідає такому довірчому інтервалу (á аñ ± áD аñ), зменшується.

Таким чином, для оцінки довірчого інтервалу випадкової величини можна користуватися величиною середньої похибки аñ .

Для характеристики величини випадкової похибки необхідно задати два числа, а саме величину довірчого інтервалу та величину довірчої ймовірності . Вказівка ​​однієї лише величини похибки без відповідної їй довірчої ймовірності значною мірою позбавлена ​​сенсу.

Якщо відома середня похибка вимірювання ásñ, довірчий інтервал, записаний у вигляді (<x> ± ásñ) w, визначений з довірчою ймовірністю w= 0,57.

Якщо відоме середнє квадратичне відхилення s розподілу результатів вимірювань, зазначений інтервал має вигляд (<x>± t w s) w, де t w- Коефіцієнт, що залежить від величини довірчої ймовірності і розраховується за розподілом Гаусса.

Найбільш часто використовувані величини D xнаведено у таблиці 1.

Справжнє значення фізичної величини визначити точно практично неможливо, т.к. будь-яка операція виміру пов'язані з низкою помилок чи, інакше, похибок. Причини похибок можуть бути різними. Їх виникнення може бути пов'язане з неточностями виготовлення та регулювання вимірювального приладу, обумовлене фізичними особливостями досліджуваного об'єкта (наприклад, при вимірюванні діаметра дроту неоднорідної товщини результат випадковим чином залежить від вибору ділянки вимірювання), причинами випадкового характеру і т.д.

Завдання експериментатора у тому, щоб зменшити їх впливом геть результат, і навіть вказати, наскільки отриманий результат близький до істинному.

Існують поняття абсолютної та відносної похибки.

Під абсолютною похибкоювимірювань буде розуміти різницю між результатом вимірювання та істинним значенням вимірюваної величини:

∆x i =x i -x та (2)

де ∆x i – абсолютна похибка i-го виміру, x i _- результат i-го виміру, x і – справжнє значення вимірюваної величини.

Результат будь-якого фізичного виміру прийнято записувати як:

де - середнє арифметичне значення вимірюваної величини, найбільш близьке до справжнього значення (справедливість x і буде показана нижче), - абсолютна помилка вимірювань.

Рівність (3) слід розуміти таким чином, що справжнє значення вимірюваної величини лежить в інтервалі [-, +].

Абсолютна похибка - величина розмірна, вона має ту ж розмірність, що і величина, що вимірюється.

Абсолютна похибка в повному обсязі характеризує точність проведених вимірів. Справді, якщо ми виміряємо з однією і тією самою абсолютною помилкою ± 1 мм відрізки довжиною 1 м і 5 мм, точність вимірювань буде незрівнянною. Тому поряд з абсолютною похибкою вимірювання обчислюється відносна похибка.

Відносною похибкоювимірювань називається відношення абсолютної похибки до самої вимірюваної величини:

Відносна похибка – величина безрозмірна. Вона виражається у відсотках:

У наведеному вище прикладі відносні помилки дорівнюють 0,1% та 20%. Вони помітно різняться між собою, хоча абсолютні значення однакові. Відносна помилка дає інформацію про точність

Похибки вимірів

За характером прояву і причин появи похибки можна умовно розділити на такі класи: приладові, систематичні, випадкові та промахи (грубі помилки).

Промах і зумовлені або несправністю приладу, або порушенням методики або умов експерименту, або мають суб'єктивний характер. Практично вони визначаються як результати, що різко відрізняються від інших. Для усунення їх появи потрібно дотримуватися акуратності та ретельності в роботі з приладами. Результати, що містять промахи, слід виключати з розгляду (відкидати).

Приладові похибки. Якщо вимірювальний прилад справний і відрегульований, на ньому можна провести вимірювання з обмеженою точністю, що визначається типом приладу. Прийнято приладову похибку стрілочного приладу вважати рівною половині найменшого поділу його шкали. У приладах з цифровим відліком помилку приладу прирівнюють до величини одного найменшого розряду шкали приладу.

Систематичні похибки - це помилки, величина і знак яких постійні для всієї серії вимірювань, проведених одним і тим же методом і за допомогою тих самих вимірювальних приладів.

При проведенні вимірювань важливим є не тільки облік систематичних помилок, але необхідно також домагатися їх виключення.

Систематичні похибки умовно поділяються на чотири групи:

1) похибки, природа яких відома та його величина то, можливо досить точно визначена. Такою помилкою є, наприклад, зміна вимірюваної маси повітря, яка залежить від температури, вологості, тиску повітря і т.д.;

2) похибки, природа яких відома, але невідома сама величина похибки. До таких похибок належать помилки, зумовлені вимірювальним приладом: несправність самого приладу, невідповідність шкали нульовому значенню, клас точності даного приладу;

3) похибки, про існування яких можна не підозрювати, але величина їх часто може бути значною. Такі помилки виникають найчастіше за складних вимірів. Простим прикладом такої помилки є вимір щільності деякого зразка, що містить усередині порожнини;

4) похибки, зумовлені особливостями самого об'єкта виміру. Наприклад, при вимірі електропровідності металу з останнього беруть відрізок дроту. Похибки можуть виникнути, якщо є якийсь дефект у матеріалі - тріщина, потовщення дроту або неоднорідність, що змінює опір.

Випадкові похибки - це помилки, які змінюються випадковим чином за знаком і величиною за ідентичних умов повторних вимірів однієї й тієї ж величини.

Подібна інформація.

Вимірювання називаються прямими,якщо значення величин визначаються приладами безпосередньо (наприклад, вимірювання довжини лінійкою, визначення часу секундоміром тощо). Вимірювання називаються непрямимиякщо значення вимірюваної величини визначається за допомогою прямих вимірювань інших величин, які пов'язані з вимірюваною певною залежністю.

Випадкові похибки при прямих вимірах

Абсолютна та відносна похибка.Нехай проведено Nвимірювань однієї і тієї ж величини xбез систематичної похибки. Окремі результати вимірювань мають вигляд: x 1 ,x 2 , …,x N. Як найкраще вибирається середнє значення виміряної величини:

Абсолютною похибкоюодиничного виміру називається різниця виду:

.

Середнє значення абсолютної похибки Nодиничних вимірів:

(2)

називається середньою абсолютною похибкою.

Відносною похибкоюназивається відношення середньої абсолютної похибки до середнього значення вимірюваної величини:

. (3)

Приладові похибки при прямих вимірах

Якщо немає особливих вказівок, похибка приладу дорівнює половині ціни розподілу (лінійка, мензурка).

Похибка приладів, забезпечених ноніусом, дорівнює ціні поділу ноніуса (мікрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).

Похибка табличних величин дорівнює половині одиниці останнього розряду (п'ять одиниць наступного порядку за останньою цифрою).

Похибка електровимірювальних приладів обчислюється згідно з класом точності З, вказаному на шкалі приладу:

Наприклад:
і
,

де U maxі I max- Межа вимірювання приладу.

Похибка приладів із цифровою індикацією дорівнює одиниці останнього розряду індикації.

Після оцінки випадкової та приладової похибок у розрахунок приймається та, значення якої більше.

Обчислення похибок при непрямих вимірах

Більшість вимірів є непрямими. У цьому випадку потрібна величина Х є функцією декількох змінних а,b, c… значення яких можна знайти прямими вимірами: Х = f( a, b, c…).

Середнє арифметичне результату непрямих вимірів дорівнюватиме:

X = f( a, b, c…).

Одним із способів обчислення похибки є спосіб диференціювання натурального логарифму функції Х = f( a, b, c…). Якщо, наприклад, потрібна величина Х визначається співвідношенням Х = , то після логарифмування отримуємо: lnX = ln a+ ln b+ ln ( c+ d).

Диференціал цього виразу має вигляд:

.

Стосовно обчислення наближених значень його можна записати для відносної похибки у вигляді:

 =
. (4)

Абсолютна похибка при цьому розраховується за такою формулою:

Х = Х(5)

Таким чином, розрахунок похибок та обчислення результату при непрямих вимірах виробляють у наступному порядку:

1) Проводять вимірювання всіх величин, що входять до вихідної формули для обчислення кінцевого результату.

2) Обчислюють середні арифметичні значення кожної вимірюваної величини та його абсолютні похибки.

3) Підставляють у вихідну формулу середні значення всіх виміряних величин та обчислюють середнє значення шуканої величини:

X = f( a, b, c…).

4) Логарифмують вихідну формулу Х = f( a, b, c...) і записують вираз відносної похибки у вигляді формули (4).

5) Розраховують відносну похибку  = .

6) Розраховують абсолютну похибку результату за формулою (5).

7) Остаточний результат записують у вигляді:

Абсолютні та відносні похибки найпростіших функцій наведені в таблиці:

	Абсолютна похибка	Відносна похибка
a+ b	a+ b
	a+ b
У процесі виміру чогось потрібно враховувати, що отриманий результат ще нескінченний. Щоб точніше вирахувати шукану величину, необхідно враховувати похибку. Вирахувати її досить просто. Як знайти похибку – обчислення Різновиди похибок: відносна; абсолютна. Що потрібно для обчислення: калькулятор; результати кількох вимірів однієї величини. Як знайти похибку – послідовність дій Виміряйте величину 3-5 разів. Складіть усі результати та розділіть отримане число на їх кількість. Це число є дійсним значенням. Обчисліть абсолютну похибку шляхом віднімання отриманого в попередній дії значення результатів вимірювань. Формула: ∆Х = Хісл - Хіст. У результаті обчислень можна отримати як позитивні, і негативні значення. У будь-якому випадку береться модуль результату. Якщо необхідно дізнатися абсолютну похибку суми двох величин, то обчислення проводяться згідно з такою формулою: ∆(Х+Y) = ∆Х+∆Y. Вона також працює за необхідності розрахунку похибки різниці двох величин: ∆(Х-Y) = ∆Х+∆Y. Дізнайтеся про похибку для кожного з вимірювань. У такому разі потрібно розділити отриману абсолютну похибку на дійсне значення. Потім помножте частки на 100%. ε(x)=Δx/x0*100%. Значення можна і не переказувати у відсотки. Щоб отримати точніше значення похибки, необхідно знайти середнє відхилення. Шукається воно досить просто: обчисліть квадрати всіх значень абсолютної похибки, а потім знайдіть їхню суму. Отриманий результат необхідно розділити на число (N-1), у якому N – число всіх вимірів. Остання дія стане вилучення кореня з отриманого результату. Після таких обчислень буде отримано середнє відхилення, яке зазвичай характеризує похибку вимірювань. Для знаходження граничної абсолютної похибки необхідно знайти найменше число, яке за своїм значенням дорівнює або перевищує значення абсолютної похибки. Гранична відносна похибка шукається таким самим методом, тільки потрібно знаходити число, яке більше або дорівнює значенням відносної похибки. Похибки вимірів виникають з різних причин і впливають на точність отриманого значення. Знаючи, чому похибка дорівнює, можна дізнатися більш точне значення проведеного вимірювання. Поділіться у соціальних мережах! Оцініть статтю: (1оцінок, у середньому: 5,00із 5) Loading... Корисні статті Як приготувати осетинський пиріг у домашніх умовах Як зварити суп у поході - вітер у полі Підсолоджування молодого вина