На даному уроці буде розглянуто додавання та віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками. Ми вже знаємо, як складати і віднімати прості дроби з різними знаменниками. Для цього дробу необхідно привести до спільного знаменника. Виявляється, що алгебраїчні дроби підкоряються тим самим правилам. При цьому ми вже вміємо приводити дроби алгебри до спільного знаменника. Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками - одна з найбільш важливих і складних тем в курсі 8 класу. При цьому ця тема зустрічатиметься у багатьох темах курсу алгебри, які ви вивчатимете надалі. У рамках уроку ми вивчимо правила складання та віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками, а також розберемо цілу низку типових прикладів.

Розглянемо найпростіший приклад для звичайних дробів.

приклад 1.Скласти дроби: .

Рішення:

Згадаймо правило додавання дробів. Для початку дробу необхідно привести до спільного знаменника. У ролі спільного знаменника для звичайних дробів виступає найменше загальне кратне(НОК) вихідних знаменників.

Визначення

Найменше натуральне число, яке ділиться одночасно на числа і .

Для знаходження НОК необхідно розкласти знаменники на прості множники, а потім вибрати всі прості множники, які входять до розкладання обох знаменників.

; . Тоді до НОК чисел повинні входити дві двійки та дві трійки: .

Після знаходження спільного знаменника, необхідно для кожного з дробів знайти додатковий множник (фактично поділити спільний знаменник на знаменник відповідного дробу).

Потім кожен дріб множиться на отриманий додатковий множник. Виходять дроби з однаковими знаменниками, складати та віднімати які ми навчилися на минулих уроках.

Отримуємо: .

Відповідь:.

Розглянемо тепер додавання алгебраїчних дробів із різними знаменниками. Спочатку розглянемо дроби, знаменники яких числами.

приклад 2.Скласти дроби: .

Рішення:

Алгоритм рішення абсолютно аналогічний до попереднього прикладу. Легко підібрати загальний знаменник цих дробів: і додаткові множники кожної з них.

.

Відповідь:.

Отже, сформулюємо алгоритм складання та віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками:

1. Знайти найменший загальний знаменник дробів.

2. Знайти додаткові множники для кожного дробу (поділивши спільний знаменник на знаменник даного дробу).

3. Примножити чисельники на відповідні додаткові множники.

4. Скласти або відняти дроби, користуючись правилами додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Розглянемо тепер приклад із дробами, у знаменнику яких є буквені вирази.

приклад 3.Скласти дроби: .

Рішення:

Оскільки буквені вирази в обох знаменниках однакові, слід знайти загальний знаменник для чисел . Підсумковий загальний знаменник матиме вид: . Таким чином, рішення цього прикладу має вигляд:.

Відповідь:.

приклад 4.Відняти дроби: .

Рішення:

Якщо «схитрувати» при підборі спільного знаменника не вдається (не можна розкласти на множники або скористатися формулами скороченого множення), то як спільний знаменник доводиться брати добуток знаменників обох дробів.

Відповідь:.

Загалом, при вирішенні подібних прикладів, найскладнішим завданням є знаходження спільного знаменника.

Розглянемо складніший приклад.

Приклад 5.Спростити: .

Рішення:

При знаходженні спільного знаменника необхідно насамперед спробувати розкласти знаменники вихідних дробів на множники (щоб спростити спільний знаменник).

У даному конкретному випадку:

Тоді легко визначити спільний знаменник: .

Визначаємо додаткові множники та вирішуємо даний приклад:

Відповідь:.

Тепер закріпимо правила складання та віднімання дробів з різними знаменниками.

Приклад 6.Спростити: .

Рішення:

Відповідь:.

Приклад 7.Спростити: .

Рішення:

.

Відповідь:.

Розглянемо тепер приклад, у якому складаються не два, а три дроби (адже правила додавання та віднімання для більшої кількості дробів залишаються такими ж).

Приклад 8.Спростити: .

У даному уроці буде розглянуто додавання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками. Ми вже знаємо, як складати і віднімати прості дроби з однаковими знаменниками. Виявляється, що алгебраїчні дроби підкоряються тим самим правилам. Уміння працювати з дробами з однаковими знаменниками є одним із наріжних каменів у вивченні правил роботи з дробами алгебри. Зокрема, розуміння цієї теми дозволить легко освоїти складнішу тему - додавання та віднімання дробів з різними знаменниками. У рамках уроку ми вивчимо правила складання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками, а також розберемо цілу низку типових прикладів

Правило складання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками

Сфор-му-лі-ру-єм пра-ві-ло сло-же-ня (ви-чи-та-ня) ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей з оди-на-ко-ви -ми зна-ме-на-те-ля-ми (воно сов-па-да-є з ана-ло-гіч-ним пра-ві-лом для звичай-но-вен-них дро-бей): Тобто для сло-же-ня або ви-чи-та-ня ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей з оди-на-ко-ви-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ -хо-ді-мо зі-ставити зі-від-віт-ству-ю-щую ал-геб-ра-і-че-ську суму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель залишити без змін.

Це правило ми розберемо і на прикладі звичайних дро-бей, і на прикладі алгеб-ра-і-чеських дро-бей. бий.

Приклади застосування правила для звичайних дробів

Приклад 1. Складати дроби: .

Рішення

Сло-жим чис-ли-ті-лі дроб-бей, а зна-ме-на-тель залишимо таким же. Після цього раз-ло-жим чис-ли-тель і зна-ме-на-тель на прості про-мно-жи-те-ли і со-кра-тим. По-лучим: .

При-ме-ча-ня: стан-дарт-на помил-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ють при розв'язанні по-доб-но-го роду при-ме-рів, за -клю-ча-є-ся в сл-ду-ю-щому спо-со-бе ре-ше-ня: . Це гру-бей-ша помилка, оскільки зна-мен-тель залишається таким же, яким був у вихідних дрібницях.

Приклад 2. Складати дроби: .

Рішення

Дана за-да-ча нічим не від-ли-ча-є-ся від попередньої: .

Приклади застосування правила для алгебраїчних дробів

Від звичай-но-венних дро-бей пе-рей-дем до ал-геб-ра-і-че-ським.

Приклад 3. Складати дроби: .

Рішення: як уже го-во-ри-лося вище, сло-же-ня ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей нічим не від-ли-ча-є-ся від сло- же-ня звичай-но-вен-них дро-бей. Тому метод розв'язання такий самий: .

Приклад 4. Ви-честь дробу: .

Рішення

Ви-чи-та-ня ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей від-ли-ча-ет-ся від сло-же-ня лише тим, що в чис-ли-тель за- пи-си-ва-є-ся різн-ність чис-ли-те-лей ви-хід-них дро-бей. По-це-му.

Приклад 5. Ви-честь дробу: .

Рішення: .

Приклад 6. Спростити: .

Рішення: .

Приклади застосування правила з наступним скороченням

У дробі, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-ті сло-же-ня чи ви-чи-та-ня, мож-ни со-кра-ще- ня. Крім того, не варто за-бувати про ОДЗ ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей.

Приклад 7. Спростити: .

Рішення: .

При цьому . Во-обще, якщо ОДЗ ви-хідних дро-бей сов-па-да-ет з ОДЗ итого-вою, то його можна не вка-зи-вати (адже дріб, по-лу-чен- ная у від-ві-ті, також не буде су-ще-ство-вати при со-від-віт-ству-ють зна-че-ні-ях пере-мін-них). А от якщо ОДЗ ви-хідних дро-бей і відповіді не сов-па-да-є, то ОДЗ вказувати необ-ходимо.

Приклад 8. Спростити: .

Рішення: . При цьому y (ОДЗ ви-хідних дро-бей не сов-па-да-є з ОДЗ ре-зуль-та-та).

Додавання та віднімання звичайних дробів з різними знаменниками

Щоб склада-ти-вати і ви-читати ал-геб-ра-і-че-ські дроби з роз-ни-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-демо ана-ло -гію з звичай-но-вен-ни-ми дро-бя-ми і пе-ре-не-сім її на ал-геб-ра-і-че-ські дроби.

Розглянув-рім найпростіший приклад для звичай-но-вен-них дробів.

Приклад 1.Складати дроби: .

Рішення:

Згадай-мо пра-ві-ло сло-же-ня дро-бей. Для початку дробу необхідно привести до загального знамені. У ролі об-щого зна-ме-на-те-ля для звичай-но-вен-них дро-бей ви-сту-па-є найменше загальне кратне(НОК) ис-ход-них зна-ме-на-те-лей.

Опре-де-ле-ня

Найменше на-ту-раль-не число, ко-то-рое де-літ-ся од-но-вре-мен-но на числа і .

Для нахо-дення НОК необхо-ди-мо роз-ло-жити зна-ме-на-ті-ли на про-сті багато-жи-те-ли, а потім ви-брати все про- сті мно-жи-те-ли, ко-то-ры входять у раз-ло-же-ние обох зна-ме-на-те-лей.

; . Тоді в НОК чисел повинні входити дві двійки і дві трійки: .

Після нахо-дення об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для кожної з дро-бей знайти до-пов-ні-тель-ний багато- жи-тель (фак-ти-че-ськи, по-ділити загальний зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель зі-від-вет-ству-ю-щої дробу).

Потім кожен дріб розумно-жа-ет-ся на полу-чен-ний до-пов-ни-тель-ний багато-жи-тель. По-лу-ча-ють-ся дроби з оди-на-ко-ви-ми зна-ме-на-те-ля-ми, склад-ди-вати і ви-читати ко-то-ри ми на -вчилися на минулих уроках.

По-лу-ча-єм: .

Відповідь:.

Роз-смот-рим тепер сло-же-ня ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей з раз-ни-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла роз-смот-рим дробу, зна-ме-на-те-ли ко-то-рих яв-ля-ють-ся чис-ла-ми.

Додавання та віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками

Приклад 2.Складати дроби: .

Рішення:

Ал-го-ритм рішення аб-со-лют-но ана-ло-гі-чен пред-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брати загальний зна-ме-на-тель дан-них дрібниць: і до-пов-ні-тель-ні багато хто для кожної з них.

.

Відповідь:.

Отже, сфор-му-лі-ру-єм ал-го-ритм сло-же-ня і ви-чи-та-ня ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей з роз-ни-ми зна-ме-на-те-ля-ми:

1. Знайти найменший загальний зна-мен-тель дро-бей.

2. Знайти до-пов-ні-тель-ні багато-жи-те-ли для кож-ної з дро-бей (поді-лів загальний зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан ного дробу).

3. До-мно-жити чис-ли-те-ли на со-від-віт-ству-ючі-до-пов-ні-тель-ні багато-жи-те-ли.

4. Складати або відняти дроби, користуючись пра-ві-ла-ми сло-же-ня і ви-чі-та-ня дро-бей з оди-на-ко-ви-ми знання -Ме-на-те-ля-ми.

Рас-смот-рим те-пер приклад з дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-лі ко-то-рих при-сут-ють бук-вен-ні ви-ра-же -Нія.

Звичайних дробів.

Додавання алгебраїчних дробів

Запам'ятайте!

Складати можна лише дроби з однаковими знаменниками!

Не можна складати дроби без перетворень

Можна складати дроби

При додаванні алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками:

1. чисельник першого дробу складається з чисельником другого дробу;
2. знаменник залишається тим самим.

Розглянемо приклад додавання алгебраїчних дробів.

Оскільки знаменник у обох дробів «2а», отже, дроби можна скласти.

Складемо чисельник першого дробу з чисельником другого дробу, а знаменник залишимо тим самим. При складанні дробів в отриманому чисельнику наведемо подібні.

Віднімання алгебраїчних дробів

При відніманні алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками:

1. з чисельника першого дробу віднімається чисельник другого дробу.
2. знаменник залишається тим самим.

Важливо!

Обов'язково укладіть у дужки весь чисельник дробу, що віднімається.

Інакше ви зробите помилку в знаках при розкритті дужок дробу, що віднімається.

Розглянемо приклад віднімання алгебраїчних дробів.

Так як у обох алгебраїчних дробів знаменник «2с», отже, ці дроби можна віднімати.

Віднімемо з чисельника першого дробу «(a + d)» чисельник другого дробу «(a − b)». Не забудемо укласти чисельник віднімається дробу в дужки. При розкритті дужок використовуємо правило розкриття дужок.

Приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника

Розглянемо інший приклад. Потрібно скласти алгебраїчні дроби.

У такому вигляді скласти дроби не можна, оскільки вони мають різні знаменники.

Перш ніж складати алгебраїчні дроби, їх необхідно привести до спільного знаменника.

Правила приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника дуже схожі правила приведення до спільного знаменника звичайних дробів. .

У результаті ми повинні отримати багаточлен, який без решти розділиться на кожен колишній знаменник дробів.

Щоб привести алгебраїчні дроби до спільного знаменниканеобхідно зробити таке.

1. Працюємо з числовими коефіцієнтами. Визначаємо НОК (найменше загальне кратне) всім числових коефіцієнтів.
2. Працюємо із багаточленами. Визначаємо всі різні багаточлени у найбільших ступенях.
3. Добуток числового коефіцієнта та всіх різних багаточленів у найбільших ступенях і буде загальним знаменником.
4. Визначаємо, на що потрібно помножити кожен алгебраїчний дріб, щоб отримати спільний знаменник.

Повернемося до нашого прикладу.

Розглянемо знаменники «15a» і «3» обох дробів і знайдемо їм спільний знаменник.

1. Працюємо з числовими коефіцієнтами. Знаходимо НОК (найменше загальне кратне - це число, яке без залишку ділиться на кожен числовий коефіцієнт). Для "15" і "3" - це "15".
2. Працюємо із багаточленами. Необхідно перерахувати всі багаточлени у найбільших ступенях. У знаменниках «15a» та «5» є тільки
   один одночлен - "а".
3. Перемножимо НОК з п.1 "15" і одночлен "а" з п.2. У нас вийде "15a". Це буде спільним знаменником.
4. Для кожного дробу запитаємо себе: «На що потрібно помножити знаменник цього дробу, щоб отримати «15a»?».

Розглянемо перший дріб. У цьому дробі і так знаменник «15a», отже, його не потрібно ні на що множити.

Розглянемо другий дріб. Задамо питання: «На що потрібно помножити «3», щоб отримати «15a»?» Відповідь - на "5a".

При приведенні до спільного знаменника дробу множимо на «5a » і чисельник, і знаменник.

Скорочений запис приведення алгебраїчного дробу до спільного знаменника можна записати через «будиночки».

Для цього тримаємо в думці спільний знаменник. Над кожним дробом зверху «в будиночку» пишемо, на що множимо кожен із дробів.

Тепер, коли дроби мають однакові знаменники, дроби можна скласти.

Розглянемо приклад віднімання дробів із різними знаменниками.

Розглянемо знаменники "(x - y)" і "(x + y)" обох дробів і знайдемо для них спільний знаменник.

У нас є два різні багаточлени у знаменниках «(x − y)» та «(x + y)». Їхнє твір буде спільним знаменником, тобто. "(x - y) (x + y)" - спільний знаменник.

Додавання та віднімання алгебраїчних дробів за допомогою формул скороченого множення

У деяких прикладах, щоб привести дроби алгебри до спільного знаменника, потрібно використовувати формули скороченого множення .

Розглянемо приклад складання алгебраїчних дробів, де потрібно використовувати формулу різниці квадратів.

У першому дробі алгебри знаменник «(p 2 − 36) ». Очевидно, що до нього можна застосувати формулу різниці квадратів.

Після розкладання багаточлена (p 2 − 36) на твір багаточленів
"(p + 6) (p - 6)" видно, що в дробах повторюється багаточлен "(p + 6)". Отже, спільним знаменником дробів буде добуток багаточленів «(p + 6)(p − 6)».

Мета уроку:

освітня- узагальнити та систематизувати знання учнів за темами: «Алгебраїчна дріб та її властивості. Складання та віднімання алгебраїчних дробів», закріпити обчислювальні навички;

розвиваюча– розвивати пізнавальну діяльність учнів, формувати навички самостійної роботи, спонукати допитливість

виховна -виховання уваги, тренування пам'яті, розвиток кмітливості, винахідливості, товариства

Обладнання: інтерактивна дошка, комп'ютер(презентація)

Хід уроку:

1. Організаційний момент.Тема уроку записана на дошці.

2. Діти, сьогодні у нас незвичайний урок. Ми з вами здійснимо невелику подорож до країни РАЦІОНАЛЬНИХ (АЛГЕБРАЇЧНИХ) ДРОБІВ. Сьогодні на уроці потрібно бути дуже уважним і багато працювати. Тільки тоді успіх буде нагородою за працю, інакше можна потрапити в дуже неприємну історію. Попереду на вас чекають станції, де вам треба буде показати свої знання, винахідливість, кмітливість. Маршрут подорожі ми вибиратимемо, використовуючи карту (слайд 2). Клас наш поділиться на 3 команди (по рядах). Отже, в дорогу!

1.Поляна «Теоретична»

Кожній команді пропонується відповісти на 2 запитання

На екрані 6 соняшників, у кожному міститься питання. Команда вибирає запитання та відповідає, за правильну відповідь отримують очки.

Сформулюйте основну властивість дробів.

Який дріб називається алгебраїчним?

3.Сформулюйте правило зміни знака перед дробом?

4. Коли алгебраїчний дріб дорівнює нулю?

5. Коли алгебраїчний дріб не має сенсу?

6. Що називається скороченням дробу?

2.Замок алгоритмів

Сформулюйте алгоритм складання та віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Сформулюйте алгоритм складання та віднімання дробів з різними знаменниками

Типи завдань

Сума (різниця) дробів, знаменники яких однакові.

Сума (різниця) дробів, знаменники яких одночлени, що мають спільні множники.

Сума (різниця) дробів, знаменники яких багаточлени.

1) Виписати чисельники дробів, поставивши між ними знак

2) Знаменник залишити без зміни

3) перетворити чисельник нового дробу (розкрити дужки, навести подібні, розкласти на множники, скоротити дріб, якщо можливо)

1) записати до знаменника НОК коефіцієнтів одночленів.

2) виписати змінні, що входять до кожного з одночленів, з найбільшим показником

3) скласти твір одержаних множників;

4)знайти додаткові множники для цього спільний знаменник розділити на знаменник кожного дробу

5) записати чисельник нового дробу, для цього додатковий множник кожного дробу помножити на відповідний чисельник, поставивши між творами знак між дробами

6)

1) розкласти на множники знаменники дробів;

2) Знайти НОЗ та записати у знаменник

3) знайти додаткові множники

4) записати чисельник нового дробу, для цього додатковий множник кожного дробу помножити на відповідний чисельник, поставити між творами знак між дробами

5) перетворити чисельник нового дробу

Після повторення правил розглядаються рішення прикладів на слайді.

I II III

1) 1)
1)

2)
2)
2)

3)
3)
3)

3.Історичне містечко

Виконавши завдання, знайдіть відповіді. Кожній відповіді відповідає буква, складіть слово, про походження якого ви дізнаєтеся з наступного слайду.

49+14у+у 2

а 3 – 125

(3с-2) 2

Слово алгебра походить від слова алджабра, узятого з назви книги узбецького математика, астронома та географа Мухамеда Ал-Хорезмі «Коротка книга про обчислення ал-джабри та ва-л-мукабали».

4.Загадковий лабіринт

Кожній команді по 4 знахідки в лабіринті, правильні відповіді натисканням мишки потрапляють на свої місця, неправильні залишають поле.

5.Острів помилок.

6.Казковий ліс

Який із героїв казок сховав вірну відповідь? Визначте, клікнувши за зображенням

1) Знайдіть дріб

2) При яких вираз не має сенсу?