Як знайти найменшу загальну кратну двох. Нодінок чисел - найбільший загальний дільник і найменше загальне кратне кількох чисел

Ознаки ділимості натуральних чисел.

Числа, що діляться без залишку на 2, називаютьсяпарними .

Числа, які не діляться без залишку на 2, називаютьсянепарними .

Ознака ділимості на 2

Якщо запис натурального числа закінчується парною цифрою, це число ділиться без залишку на 2, і якщо запис числа закінчується непарною цифрою, це число не ділиться без залишку на 2.

Наприклад, числа 60 , 30 8 , 8 4 діляться без залишку на 2, а числа 51 , 8 5 , 16 7 не діляться без залишку на 2.

Ознака ділимості на 3

Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то число ділиться на 3; якщо сума цифр числа не ділиться на 3, то число не ділиться на 3.

Наприклад, з'ясуємо, чи ділиться на 3 число 2772825. Для цього підрахуємо суму цифр цього числа: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 – ділиться на 3. Отже, число 2772825 ділиться на 3.

Ознака ділимості на 5

Якщо запис натурального числа закінчується цифрою 0 або 5, це число ділиться без залишку на 5. Якщо ж запис числа закінчується іншою цифрою, то число без залишку на 5 не ділиться.

Наприклад, числа 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 діляться без залишку на 5, а числа 17 , 37 8 , 9 1 не діляться.

Ознака ділимості на 9

Якщо сума цифр числа ділиться на 9, то число ділиться на 9; якщо сума цифр числа не ділиться на 9, то число не ділиться на 9.

Наприклад, з'ясуємо, чи ділиться на 9 число 5402070. Для цього підрахуємо суму цифр цього числа: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 – не ділиться на 9. Отже, число 5402070 не ділиться на 9.

Ознака ділимості на 10

Якщо запис натурального числа закінчується цифрою 0, це число ділиться без залишку на 10. Якщо запис натурального числа закінчується іншою цифрою, воно не ділиться без залишку на 10.

Наприклад, числа 40 , 17 0 , 1409 0 діляться без залишку на 10, а числа 17 , 9 3 , 1430 7 - Не діляться.

Правило знаходження найбільшого спільного дільника (НДД).

Щоб знайти найбільший спільний дільник кількох натуральних чисел, треба:

2) з множників, що входять до розкладання одного з цих чисел, викреслити ті, які не входять до розкладання інших чисел;

3) знайти добуток множників, що залишилися.

приклад. Знайдемо НОД (48; 36). Скористайтеся правилом.

1. Розкладемо числа 48 та 36 на прості множники.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. З множників, що входять до розкладання числа 48, викреслимо ті, які не входять до розкладання числа 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Залишаються множники 2, 2 та 3.

3. Перемножимо множники, що залишилися, і отримаємо 12. Це число і є найбільшим загальним дільником чисел 48 і 36.

НОД (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Правило знаходження найменшого загального кратного (НОК).

Щоб знайти найменше загальне кратне кількох натуральних чисел, треба:

1) розкласти їх у прості множники;

2) виписати множники, що входять до розкладання одного з чисел;

3) додати до них множники, що відсутні, з розкладів інших чисел;

4) знайти добуток множників, що вийшли.

приклад.Знайдемо НОК (75; 60). Скористайтеся правилом.

1. Розкладемо числа 75 та 60 на прості множники.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Випишемо множники, що входять до розкладання числа 75: 3, 5, 5.

НОК (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Додамо до них множники, що відсутні, з розкладання числа 60, тобто. 2, 2.

НОК (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Знайдемо твір множників, що вийшли.

НОК (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа a і b, називають найбільшим спільним дільникомцих чисел. Позначають НОД(a, b).

Розглянемо знаходження НОД на прикладі двох натуральних чисел 18 та 60:

324 , 111 і 432

Розкладемо числа на прості множники:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3 × 37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

Викреслити з першого числа, множники яких немає у другому та третьому числі, отримаємо:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

В результаті НОД( 324 , 111 , 432 )=3

Знаходження НОД за допомогою алгоритму Евкліда

Другий спосіб знаходження найбільшого спільного дільника за допомогою алгоритму Евкліда. Алгоритм Евкліда є найефективнішим способом знаходження НІД, використовуючи його потрібно постійно знаходити залишок від поділу чисел та застосовувати рекурентну формулу.

Рекурентна формуладля НІД, НОД (a, b) = НОД (b, a mod b), де a mod b - залишок від розподілу a на b.

Алгоритм Евкліда

Приклад Знайти найбільший спільний дільник чисел 7920 і 594

Знайдемо НОД( 7920 , 594 ) за допомогою алгоритму Евкліда, обчислювати залишок від поділу будемо за допомогою калькулятора.

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

В результаті отримуємо НОД( 7920 , 594 ) = 198

Найменше загальне кратне

Для того, щоб знаходити спільний знаменник при складанні та відніманні дробів з різними знаменниками необхідно знати та вміти розраховувати найменше загальне кратне(НОК).

Кратне числу "a" - це число, яке саме ділиться на число "a" без залишку.

Числа кратні 8 (тобто ці числа поділяться на 8 без залишку): це числа 16, 24, 32 …

Кратні 9: 18, 27, 36, 45 …

Чисел, кратних даному числу a нескінченно багато, на відміну дільників цього числа. Дільників – кінцева кількість.

Загальним кратним двох натуральних чисел називається число, яке ділиться на обидва ці числа націло.

Найменшим загальним кратним(НОК) двох і більше натуральних чисел називається найменше натуральне число, яке ділиться націло на кожне з цих чисел.

Як знайти НОК

НОК можна знайти та записати двома способами.

Перший спосіб знаходження НОК

Цей спосіб зазвичай застосовується для невеликих чисел.

1. Виписуємо в рядок кратні для кожного з чисел, доки не знайдеться кратне, однакове для обох чисел.
2. Кратне числа "a" позначаємо великою літерою "К".

приклад. Знайти НОК 6 та 8 .

Другий спосіб знаходження НОК

Цей спосіб зручно використовувати, щоб знайти НОК для трьох чи більше чисел.

Кількість однакових множників у розкладах чисел може бути різною.

Оформити знаходження найменшого загального кратного (НОК) можна також в такий спосіб. Знайдемо НОК (12, 16, 24).

24 = 2 · 2 · 2 · 3

Як бачимо з розкладання чисел, всі множники 12 увійшли до розкладання 24 (найбільшого з чисел), тому в НОК додаємо тільки одну 2 з розкладання числа 16 .

НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

Відповідь: НОК (12, 16, 24) = 48

Особливі випадки знаходження НОК

Наприклад, НОК (60, 15) = 60
Оскільки взаємно прості числа немає загальних простих дільників, їх найменше загальне кратне дорівнює добутку цих чисел.

На нашому сайті ви також можете за допомогою спеціального калькулятора знайти найменше загальне онлайн, щоб перевірити свої обчислення.

Якщо натуральне число ділиться тільки на 1 і на себе, воно називається простим.

Будь-яке натуральне число завжди ділиться на 1 і на себе.

Число 2 – найменше просте число. Це єдине парне просте число, інші прості числа - непарні.

Простих чисел багато, і серед них - число 2 . Однак немає останнього простого числа. У розділі «Для навчання» можна скачати таблицю простих чисел до 997 .

Але багато натуральних чисел діляться націло ще й на інші натуральні числа.

• число 12 ділиться на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
• число 36 ділиться на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, куди число ділиться націло (для 12 це 1, 2, 3, 4, 6 і 12) називаються дільниками числа.

Дільник натурального числа a – це таке натуральне число, яке ділить це число «a» без залишку.

Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складовим.

Зверніть увагу, що числа 12 та 36 мають спільні дільники. Це числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Найбільший із дільників цих чисел - 12 .

Загальний дільник двох даних чисел "a" і "b" - це число, на яке діляться без залишку обидва дані числа "a" і "b".

Найбільший спільний дільник(НОД) двох даних чисел «a» та «b» - це найбільше число, на яке обидва числа «a» та «b» діляться без залишку.

Коротко найбільший спільний дільник чисел a і b записують так:

Приклад: НОД (12; 36) = 12 .

Дільники чисел у записі рішення позначають великою літерою "Д".

Числа 7 і 9 мають лише один загальний дільник - число 1 . Такі числа називають взаємно простими числами.

Взаємно прості числа- це натуральні числа, які мають лише один спільний дільник – число 1 . Їхній НОД дорівнює 1 .

Як знайти найбільший спільний дільник

Щоб знайти НОД двох чи більше натуральних чисел потрібно:

• розкласти дільники чисел на прості множники;

Обчислення зручно записувати за допомогою вертикальної межі. Зліва від риси спочатку записуємо ділене, праворуч - дільник. Далі у лівому стовпці записуємо значення приватних.

Пояснимо одразу на прикладі. Розкладемо на прості множники числа 28 та 64 .

Підкреслюємо однакові прості множники в обох числах.
28 = 2 · 2 · 7

64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
Знаходимо добуток однакових простих множників та записати відповідь;
НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4

Відповідь: НОД (28; 64) = 4

Оформити перебування НОД можна двома способами: у стовпчик (як робили вище) або «в рядок».

Перший спосіб запису НІД

Знайти НОД 48 і 36 .

НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12

Другий спосіб запису НОД

Тепер запишемо рішення пошуку НОД у рядок. Знайти НОД 10 та 15 .

На нашому інформаційному сайті ви можете також за допомогою програми помічника знайти найбільший спільний дільник онлайн, щоб перевірити свої обчислення.

Знаходження найменшого загального кратного, методи, приклади знаходження НОК.

Поданий матеріал є логічним продовженням теорії зі статті під заголовком НОК — найменше загальне кратне, визначення, приклади, зв'язок між НОК і НОД. Тут ми поговоримо про знаходження найменшого загального кратного (НОК), та особливу увагу приділимо рішенню прикладів. Спочатку покажемо, як обчислюється НОК двох чисел через НОД цих чисел. Далі розглянемо знаходження найменшого загального кратного за допомогою розкладання чисел на звичайні множники. Після цього зупинимося на знаходженні НОК трьох та більшої кількості чисел, а також приділимо увагу обчисленню НОК негативних чисел.

Навігація на сторінці.

Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД

Один із способів знаходження найменшого загального кратного ґрунтується на зв'язку між НОК та НОД. Існуючий зв'язок між НОК та НОД дозволяє обчислювати найменше загальне кратне двох цілих позитивних чисел через відомий найбільший спільний дільник. Відповідна формула має вигляд НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Розглянемо приклади знаходження НОК за наведеною формулою.

Знайдіть найменше загальне кратне двох чисел 126 та 70 .

У цьому прикладі a = 126, b = 70. Скористаємося зв'язком НОК з НОД, що виражається формулою НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Тобто спочатку нам належить знайти найбільший спільний дільник чисел 70 і 126 , після чого ми зможемо обчислити НОК цих чисел за записаною формулою.

Знайдемо НОД (126, 70), використовуючи алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 +56, 70 = 56 · 1 +14, 56 = 14 · 4, отже, НОД (126, 70) = 14 .

Тепер знаходимо необхідне найменше загальне кратне: НОК (126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630 .

Чому дорівнює НОК(68, 34)?

Оскільки 68 ділиться націло на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Тепер обчислюємо найменше загальне кратне: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34: 34 = 68 .

Зауважимо, що попередній приклад підходить під наступне правило знаходження НОК для цілих позитивних чисел a і b: якщо число a ділиться на b , то найменше кратне цих чисел дорівнює a .

Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники

Інший спосіб знаходження найменшого загального кратного базується на розкладанні чисел на прості множники. Якщо скласти твір з усіх простих множників даних чисел, після чого з цього твору виключити всі загальні прості множники, присутні в розкладах даних чисел, то отриманий добуток дорівнює найменшому загальному кратному даних чисел .

Озвучене правило знаходження НОК випливає з рівності НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Справді, добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, що беруть участь у розкладах чисел a та b . У свою чергу НОД(a, b) дорівнює добутку всіх простих множників, що одночасно присутні в розкладах чисел a і b (про що написано в розділі знаходження НОД за допомогою розкладання чисел на прості множники).

Наведемо приклад. Нехай ми знаємо, що 75 = 3 · 5 · 5 і 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Складемо добуток із усіх множників даних розкладів: 2·3·3·5·5·5·7 . Тепер з цього твору виключимо всі множники, присутні і в розкладанні числа 75 і в розкладанні числа 210 (такими множниками є 3 і 5), тоді добуток набуде вигляду 2·3·5·5·7 . Значення цього твору дорівнює найменшому загальному кратному чисел 75 і 210, тобто НОК (75, 210) = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050 .

Розклавши числа 441 і 700 на прості множники, знайдіть найменше загальне кратне цих чисел.

Розкладемо числа 441 і 700 на прості множники:

Отримуємо 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

Тепер складемо твір з усіх множників, що беруть участь у розкладах даних чисел: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Виключимо з цього твору всі множники, одночасно присутні в обох розкладах (такий множник тільки один – це число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким чином, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

НОК (441, 700) = 44 100 .

Правило знаходження НОК з використанням розкладання чисел на прості множники можна сформулювати трохи інакше. Якщо до множників з розкладання числа a додати множники з розкладання числа b , то значення отриманого твору дорівнюватиме найменшому загальному кратному чисел a і b .

Наприклад візьмемо ті самі числа 75 і 210 , їх розкладання на прості множники такі: 75=3·5·5 і 210=2·3·5·7 . До множників 3, 5 і 5 з розкладання числа 75 додаємо відсутні множники 2 і 7 з розкладання числа 210, отримуємо добуток 2 · 3 · 5 · 5 · 7 , значення якого дорівнює НОК (75, 210) .

Знайдіть найменше загальне кратне чисел 84 та 648 .

Отримуємо спочатку розкладання чисел 84 та 648 на прості множники. Вони мають вигляд 84 = 2 · 2 · 3 · 7 і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 . До множників 2 , 2 , 3 і 7 з розкладання числа 84 додаємо множники 2 , 3 , 3 і 3 з розкладання числа 648 , що відсутні , отримуємо добуток 2·2·2·3·3·3·3·7 , який дорівнює 4 536 . Таким чином, шукане найменше загальне кратне чисел 84 і 648 дорівнює 4536 .

Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел

Найменше загальне кратне трьох чи більшої кількості чисел може бути знайдено через послідовне перебування НОК двох чисел. Нагадаємо відповідну теорему, що дає спосіб знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел.

Нехай дані цілі позитивні числа a 1 , a 2 , …, a k , найменше загальне кратне m k цих чисел знаходиться при послідовному обчисленні m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , … , m k =НОК(m k−1 , a k) .

Розглянемо застосування цієї теореми з прикладу знаходження найменшого загального кратного чотирьох чисел.

Знайдіть НОК чотирьох чисел 140 , 9 , 54 та 250 .

Спочатку знаходимо m 2 = НОК (a 1, a 2) = НОК (140, 9) . Для цього за алгоритмом Евкліда визначаємо НОД(140, 9) , маємо 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , отже, НОД(140, 9) = 1, звідки НОК (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1260. Тобто, m 2 = 1260 .

Тепер знаходимо m3 = НОК (m2, a3) = НОК (1260, 54). Обчислимо його через НОД (1260, 54), який також визначимо за алгоритмом Евкліда: 1260 = 54 · 23 +18, 54 = 18 · 3 . Тоді НОД (1260, 54) = 18, звідки НОК (1260, 54) = 1260 · 54: НОД (1260, 54) = 1260 · 54:18 = 3780. Тобто, m3 = 3780 .

Залишилося знайти m 4 = НОК (m 3 , a 4) = НОК (3 780, 250) . Для цього знаходимо НОД (3780, 250) за алгоритмом Евкліда: 3780 = 250 · 15 +30, 250 = 30 · 8 +10, 30 = 10 · 3. Отже, НОД (3780, 250) = 10, звідки НОК (3780, 250) = 3780 · 250: НОД (3780, 250) = 3780 · 250: 10 = 94500 . Тобто, m 4 = 94500 .

Таким чином, найменше загальне кратне вихідних чотирьох чисел дорівнює 94500 .

НОК (140, 9, 54, 250) = 94500 .

У багатьох випадках найменша загальна кратність трьох і більшої кількості чисел зручно знаходити з використанням розкладів даних чисел на прості множники. При цьому слід дотримуватись наступного правила. Найменше загальне кратне кількох чисел дорівнює добутку, яке складається так: до всіх множників з розкладання першого числа додаються відсутні множники з розкладання другого числа, до отриманих множників додаються відсутні множники з розкладання третього числа і так далі.

Розглянемо приклад знаходження найменшого загального кратного із використанням розкладання чисел на прості множники.

Знайдіть найменше загальне кратне п'ять чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Спочатку отримуємо розкладання даних чисел на прості множники: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – просте число, воно збігається зі своїм розкладанням на прості множники) і 143 = 11 · 13 .

Для знаходження НОК даних чисел до множників першого числа 84 (ними є 2 , 2 , 3 і 7) потрібно додати множники, що відсутні, з розкладання другого числа 6 . Розкладання числа 6 не містить множників, що відсутні, так як і 2 і 3 вже присутні в розкладанні першого числа 84 . Далі до множників 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 2 і 2 , що відсутні , з розкладання третього числа 48 , отримуємо набір множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 . До цього набору на наступному кроці не доведеться додавати множників, тому що 7 міститься в ньому. Нарешті, до множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 11 і 13 з розкладання числа 143 . Отримуємо добуток 2·2·2·2·3·7·11·13 , який дорівнює 48 048 .

Отже, НОК(84, 6, 48, 7, 143) = 48048 .

НОК(84, 6, 48, 7, 143) = 48048 .

Знаходження найменшого загального кратного негативних чисел

Іноді зустрічаються завдання, у яких потрібно знайти найменше загальне кратне чисел, серед яких одне, кілька чи всі числа є негативними. У цих випадках всі негативні числа слід замінити протилежними їм числами, після чого знаходити НОК позитивних чисел. У цьому полягає спосіб знаходження НОК негативних чисел. Наприклад, НОК(54, −34)=НОК(54, 34) , а НОК(−622, −46, −54, −888)= НОК(622, 46, 54, 888).

Ми можемо так чинити, тому що безліч кратних числа a збігаються з безліччю кратних числа −a (a та −a – протилежні числа). Дійсно, нехай b – якесь кратне числа a тоді b ділиться на a і поняття подільності стверджує існування такого цілого числа q, що b = a · q. Але буде справедливим і рівність b=(−a)·(−q) , яка з тієї ж поняття ділимості означає, що b ділиться на −a , тобто, b є кратне числа −a . Справедливе і зворотне твердження: якщо b – якесь кратне числа a, то b є кратним і числа a.

Знайдіть найменше загальне кратне від'ємних чисел −145 та −45 .

Замінимо негативні числа −145 та −45 на протилежні їм числа 145 та 45 . Маємо НОК(−145, −45)=НОК(145, 45) . Визначивши НОД(145, 45)=5 (наприклад, за алгоритмом Евкліда), обчислюємо НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Таким чином, найменше загальне кратне негативних цілих чисел -145 і -45 дорівнює 1305 .

www.cleverstudents.ru

Продовжуємо вивчати поділ. У цьому уроці ми розглянемо такі поняття, як НІДі НОК.

НІД– це найбільший спільний дільник.

НОК- це найменша загальна кратність.

Тема досить нудна, але розібратись у ній потрібно обов'язково. Не розуміючи цієї теми, не вдасться ефективно працювати з дробами, які є справжньою перешкодою математики.

Найбільший спільний дільник

Визначення. Найбільшим спільним дільником чисел aі b aі bділяться без залишку.

Щоб добре зрозуміти це визначення, підставимо замість змінних aі bбудь-які два числа, наприклад, замість змінної aпідставимо число 12, а замість змінної bчисло 9. Тепер спробуємо прочитати це визначення:

Найбільшим спільним дільником чисел 12 і 9 називається найбільше число, на яке 12 і 9 діляться без залишку.

З визначення зрозуміло, що йдеться про загальний дільник чисел 12 і 9, причому цей дільник є найбільшим з усіх дільників. Цей найбільший спільний дільник (НДД) потрібно знайти.

Для знаходження найбільшого загального дільника двох чисел використовується три способи. Перший спосіб досить трудомісткий, але дозволяє добре зрозуміти суть теми і відчути весь її сенс.

Другий і третій способи задоволені прості і дають можливість швидко знайти НОД. Ми з вами розглянемо всі три способи. А який застосовувати на практиці – вибирати вам.

Перший спосіб полягає у пошуку всіх можливих дільників двох чисел та у виборі найбільшого з них. Розглянемо цей спосіб на наступному прикладі: знайти найбільший спільний дільник чисел 12 та 9.

Спочатку знайдемо всі можливі дільники числа 12. Для цього розділимо 12 на всі дільники в діапазоні від 1 до 12. Якщо дільник дозволить розділити 12 без залишку, ми виділятимемо його синім кольором і в дужках робити відповідне пояснення.

12: 1 = 12
(12 розділилося на 1 без залишку, значить 1 є дільником числа 12)

12: 2 = 6
(12 розділилося на 2 без залишку, отже 2 є дільником числа 12)

12: 3 = 4
(12 розділилося на 3 без залишку, отже 3 є дільником числа 12)

12: 4 = 3
(12 розділилося на 4 без залишку, отже 4 є дільником числа 12)

12: 5 = 2 (2 у залишку)
(12 не поділилося на 5 без залишку, значить 5 не є дільником числа 12)

12: 6 = 2
(12 розділилося на 6 без залишку, отже 6 є дільником числа 12)

12: 7 = 1 (5 у залишку)
(12 не розділилося на 7 без залишку, отже 7 не є дільником числа 12)

12: 8 = 1 (4 у залишку)
(12 не розділилося на 8 без залишку, отже 8 не є дільником числа 12)

12: 9 = 1 (3 у залишку)
(12 не розділилося на 9 без залишку, значить 9 не є дільником числа 12)

12: 10 = 1 (2 у залишку)
(12 не розділилося на 10 без залишку, значить 10 не є дільником числа 12)

12: 11 = 1 (1 у залишку)
(12 не розділилося на 11 без залишку, значить 11 не є дільником числа 12)

12: 12 = 1
(12 розділилося на 12 без залишку, отже 12 є дільником числа 12)

Тепер знайдемо дільники числа 9. Для цього перевіримо всі дільники від 1 до 9

9: 1 = 9
(9 поділилося на 1 без залишку, значить 1 є дільником числа 9)

9: 2 = 4 (1 у залишку)
(9 не розділилося на 2 без залишку, значить 2 не є дільником числа 9)

9: 3 = 3
(9 розділилося на 3 без залишку, отже 3 є дільником числа 9)

9: 4 = 2 (1 у залишку)
(9 не розділилося на 4 без залишку, значить 4 не є дільником числа 9)

9: 5 = 1 (4 у залишку)
(9 не поділилося на 5 без залишку, значить 5 не є дільником числа 9)

9: 6 = 1 (3 у залишку)
(9 не розділилося на 6 без залишку, значить 6 не є дільником числа 9)

9: 7 = 1 (2 у залишку)
(9 не розділилося на 7 без залишку, значить 7 не є дільником числа 9)

9: 8 = 1 (1 у залишку)
(9 не поділилося на 8 без залишку, значить 8 не є дільником числа 9)

9: 9 = 1
(9 розділилося на 9 без залишку, отже 9 є дільником числа 9)

Тепер випишемо дільники обох чисел. Числа виділені синім кольором та є дільниками. Їх і випишемо:

Виписавши дільники, можна одразу визначити, який є найбільшим та загальним.

Згідно з визначенням, найбільшим загальним дільником чисел 12 і 9 є число, на яке 12 і 9 діляться без залишку. Найбільшим та загальним дільником чисел 12 та 9 є число 3

І число 12 і число 9 діляться на 3 без залишку:

Отже НОД (12 і 9) = 3

Другий спосіб знаходження НІД

Тепер розглянемо другий спосіб знаходження найбільшого спільного дільника. Суть цього способу полягає в тому, щоб розкласти обидва числа на прості множники та перемножити загальні з них.

Приклад 1. Знайти НОД чисел 24 та 18

Спочатку розкладемо обидва числа на прості множники:

Тепер перемножимо їх спільні множники. Щоб не заплутатися, спільні множники можна наголосити.

Дивимось на розкладання числа 24. Перший його множник це 2. Шукаємо такий самий множник у розкладанні числа 18 і бачимо, що він там теж є. Підкреслюємо обидві двійки:

Знову дивимося на розкладання числа 24. Другий його множник теж 2. Шукаємо такий самий множник у розкладанні числа 18 і бачимо, що його там вдруге вже немає. Тоді нічого не наголошуємо.

Наступна двійка у розкладанні числа 24 також відсутня у розкладанні числа 18.

Переходимо до останнього множника у розкладанні числа 24. Це множник 3. Шукаємо такий самий множник у розкладанні числа 18 і бачимо, що там він теж є. Підкреслюємо обидві трійки:

Отже, спільними множниками чисел 24 та 18 є множники 2 та 3. Щоб отримати НОД, ці множники необхідно перемножити:

Значить НОД (24 та 18) = 6

Третій спосіб знаходження НІД

Тепер розглянемо третій спосіб знаходження найбільшого спільного дільника. Суть даного способу полягає в тому, що числа, які підлягають пошуку найбільшого загального дільника, розкладають на прості множники. Потім розкладання першого числа викреслюють множники, які входять у розкладання другого числа. Решта числа в першому розкладі перемножують і отримують НОД.

Наприклад, знайдемо НОД для чисел 28 та 16 цим способом. Насамперед, розкладаємо ці числа на прості множники:

Отримали два розкладання: і

Тепер з розкладання першого числа викреслимо множники, які не входять до розкладання другого числа. До розкладання другого числа не входить сімка. Її і викреслимо з першого розкладання:

Тепер перемножуємо множники, що залишилися, і отримуємо НОД:

Число 4 є найбільшим загальним дільником чисел 28 і 16. Обидва ці числа діляться на 4 без залишку:

приклад 2.Знайти НОД чисел 100 та 40

Розкладаємо на множники число 100

Розкладаємо на множники число 40

Отримали два розкладання:

Тепер з розкладання першого числа викреслимо множники, які не входять до розкладання другого числа. До розкладання другого числа не входить одна п'ятірка (там лише одна п'ятірка). Її і викреслимо з першого розкладання

Перемножимо числа, що залишилися:

Отримали відповідь 20. Значить, число 20 є найбільшим загальним дільником чисел 100 і 40. Ці два числа діляться на 20 без залишку:

НОД (100 та 40) = 20.

приклад 3.Знайти НОД чисел 72 та 128

Розкладаємо на множники число 72

Розкладаємо на множники число 128

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Тепер з розкладання першого числа викреслимо множники, які не входять до розкладання другого числа. До розкладання другого числа не входять дві трійки (там їх взагалі немає). Їх і викреслимо з першого розкладання:

Отримали відповідь 8. Значить, число 8 є найбільшим загальним дільником чисел 72 і 128. Ці два числа діляться на 8 без залишку:

НОД (72 і 128) = 8

Знаходження НОД для кількох чисел

Найбільший спільний дільник можна знаходити і для кількох чисел, а не лише двох. Для цього числа, що підлягають пошуку найбільшого спільного дільника, розкладають на прості множники, потім знаходять добуток простих множників цих чисел.

Наприклад, знайдемо НОД для чисел 18, 24 та 36

Розкладемо на множники число 18

Розкладемо на множники число 24

Розкладемо на множники число 36

Отримали три розкладання:

Тепер виділимо та підкреслимо загальні множники у цих числах. Загальні множники повинні входити до всіх трьох числа:

Ми бачимо, що загальні множники для чисел 18, 24 і 36 це множники 2 і 3. Перемноживши ці множники, ми отримаємо НОД, який шукаємо:

Отримали відповідь 6. Значить, число 6 є найбільшим загальним дільником чисел 18, 24 і 36. Ці три числа діляться на 6 без залишку:

НОД (18, 24 та 36) = 6

приклад 2.Знайти НОД для чисел 12, 24, 36 та 42

Розкладемо на прості множники кожне число. Потім знайдемо добуток загальних множників цих чисел.

Розкладемо на множники число 12

Розкладемо на множники число 42

Отримали чотири розкладання:

Тепер виділимо та підкреслимо загальні множники у цих числах. Загальні множники повинні входити до всіх чотирьох чисел:

Ми бачимо, що загальні множники для чисел 12, 24, 36 і 42 це множники 2 і 3. Перемноживши ці множники, ми отримаємо НОД, який шукаємо:

Отримали відповідь 6. Значить, число 6 є найбільшим загальним дільником чисел 12, 24, 36 і 42. Ці числа діляться на 6 без залишку:

НОД (12, 24, 36 і 42) = 6

З попереднього уроку ми знаємо, що коли якесь число без залишку розділилося на інше, його називають кратним цього числа.

Виявляється, кратне може бути загальним у кількох чисел. І зараз нас буде цікавити кратне двох чисел, при цьому воно має бути максимально маленьким.

Визначення. Найменше загальне кратне (НОК) чисел aі b - aі b aта число b.

Визначення містить дві змінні aі b. Давайте підставимо замість цих змінних будь-які два числа. Наприклад, замість змінної aпідставимо число 9, а замість змінної bпідставимо число 12. Тепер спробуємо прочитати визначення:

Найменше загальне кратне (НОК) чисел 9 і 12 - це найменша кількість, яка кратна 9 і 12 . Іншими словами, це таке невелике число, яке ділиться без залишку на число 9 і на число 12 .

З визначення зрозуміло, що НОК це найменше число, яке ділиться без залишку на 9 і 12. Цей НОК потрібно знайти.

Для знаходження найменшого загального кратного (НОК) можна скористатися двома способами. Перший спосіб полягає в тому, що можна виписати перші кратні двох чисел, а потім вибрати серед цих кратних таке число, яке буде загальним для обох чисел та маленьким. Давайте застосуємо цей спосіб.

Насамперед, знайдемо перші кратні для числа 9. Щоб знайти кратні для 9, потрібно цю дев'ятку по черзі помножити на числа від 1 до 9. Отримані відповіді будуть кратними для числа 9. Отже, почнемо. Кратні виділятимемо червоним кольором:

Тепер знаходимо кратні для числа 12. Для цього по черзі множимо 12 на всі числа 1 до 12.

Визначення.Найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа а і b, називають найбільшим спільним дільником (НДД)цих чисел.

Знайдемо найбільший спільний дільник чисел 24 та 35.
Дільниками 24 будуть числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а дільниками 35 будуть числа 1, 5, 7, 35.
Бачимо, що числа 24 і 35 мають лише один спільний дільник – число 1. Такі числа називають взаємно простими.

Визначення.Натуральні числа називають взаємно простимиякщо їх найбільший спільний дільник (НОД) дорівнює 1.

Найбільший спільний дільник (НДД)можна знайти, не виписуючи всіх дільників цих чисел.

Розкладемо на множники числа 48 і 36, отримаємо:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
З множників, що входять до розкладання першого з цих чисел, викреслимо ті, які не входять до розкладання другого числа (тобто дві двійки).
Залишаються множники 2 * 2 * 3. Їх добуток дорівнює 12. Це число і є найбільшим спільним дільником чисел 48 і 36. Також знаходять найбільший спільний дільник трьох і більше чисел.

Щоб знайти найбільший спільний дільник

2) з множників, що входять до розкладання одного з цих чисел, викреслити ті, які не входять до розкладання інших чисел;
3) знайти виробництво множників, що залишилися.

Якщо всі дані числа діляться одне з них, це число і є найбільшим спільним дільникомданих чисел.
Наприклад, найбільшим загальним дільником чисел 15, 45, 75 і 180 буде число 15, тому що на нього діляться всі інші числа: 45, 75 та 180.

Найменше загальне кратне (НОК)

Визначення. Найменшим загальним кратним (НОК)натуральних чисел а та Ь називають найменше натуральне число, яке кратне і a, і b. Найменше загальне кратне (НОК) чисел 75 і 60 можна знайти і не виписуючи кратні поспіль цих чисел. Для цього розкладемо 75 і 60 на прості множники: 75 = 3*5*5, а 60 = 2*2*3*5.
Випишемо множники, що входять у розкладання першого з цих чисел, і додамо до них множники 2 і 2, що відсутні, з розкладання другого числа (тобто об'єднуємо множники).
Отримуємо п'ять множників 2*2*3*5*5, добуток яких дорівнює 300. Це число є найменшим загальним кратним чисел 75 та 60.

Також знаходять найменше загальне кратне для трьох і більше чисел.

Щоб знайти найменше загальне кратнекількох натуральних чисел, треба:
1) розкласти їх у прості множники;
2) виписати множники, що входять до розкладання одного з чисел;
3) додати до них множники, що відсутні, з розкладів інших чисел;
4) знайти добуток множників, що вийшли.

Зауважимо, що й одне з даних чисел ділиться попри всі інші числа, це число і є найменшим загальним кратним даних чисел.
Наприклад, найменшим загальним кратним чисел 12, 15, 20 і 60 буде число 60, оскільки воно поділяється на всі ці числа.

Піфагор (VI ст. до н. е.) та його учні вивчали питання про подільність чисел. Число, що дорівнює сумі всіх його дільників (без самого числа), вони називали досконалим числом. Наприклад, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) вчинені. Наступні досконалі числа - 496, 8128, 33550336. Піфагорійці знали тільки перші три досконалих числа. Четверте – 8128 – стало відомо в I ст. н. е. П'яте - 33550336 - було знайдено в XV ст. До 1983 було відомо вже 27 досконалих чисел. Але досі вчені не знають, чи є непарні досконалі числа, чи є найбільше досконале число.
Інтерес древніх математиків до простим числам пов'язані з тим, що будь-яке число або просте, чи то, можливо представлено як твори простих чисел, т. е. прості числа - це хіба що цеглинки, у тому числі будуються інші натуральні числа.
Ви, напевно, звернули увагу, що прості числа у ряді натуральних чисел зустрічаються нерівномірно – в одних частинах ряду їх більше, в інших – менше. Але що далі ми просуваємося по числовому ряду, то рідше зустрічаються прості числа. Виникає питання: чи існує останнє (найбільше) просте число? Давньогрецький математик Евклід (III ст. до н. е.) у своїй книзі «початку», яка була протягом двох тисяч років основним підручником математики, довів, що простих чисел нескінченно багато, тобто за кожним простим числом є ще більше просте число.
Для віднайдення простих чисел інший грецький математик того ж часу Ератосфен придумав такий спосіб. Він записував усі числа від 1 до якогось числа, а потім викреслював одиницю, яка не є ні простим, ні складовим числом, потім викреслював через одне усі числа, що йдуть після 2 (числа, кратні 2, тобто 4, 6 , 8 і т. д.). Першим числом, що залишилося після 2 було 3. Далі викреслювалися через два всі числа, що йдуть після 3 (числа, кратні 3, тобто 6, 9, 12 і т. д.). зрештою залишалися невикресленими лише прості числа.

Математичні висловлювання та завдання вимагають безлічі додаткових знань. НОК - це одне з основних, особливо часто застосовується в Тема вивчається в середній школі, при цьому не є особливо складним у розумінні матеріалом, людині знайомій зі ступенями та таблицею множення не важко виділити необхідні числа та виявити результат.

Визначення

Загальне кратне - число, здатне націло розділитись на два числа одночасно (а і b). Найчастіше це число отримують методом перемноження вихідних чисел a і b. Число має ділитися одночасно на обидва числа, без відхилень.

НОК - це прийнята для позначення коротка назва, зібрана з перших букв.

Способи отримання числа

Для знаходження НОК не завжди підходить спосіб перемноження чисел, він краще підходить для простих однозначних або двозначних чисел. прийнято розділяти на множники, що більше число, то більше вписувалося множників буде.

Приклад №1

Для найпростішого прикладу у школах зазвичай беруться прості, однозначні чи двоцифрові числа. Наприклад, необхідно вирішити наступне завдання, знайти найменше загальне кратне від чисел 7 і 3, рішення досить просте, їх просто перемножити. У результаті є число 21, менше просто немає.

Приклад №2

Другий варіант завдання набагато складніший. Дано числа 300 і 1260, знаходження НОК - обов'язково. Для вирішення завдання передбачаються такі дії:

Розкладання першого та другого чисел на найпростіші множники. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Перший етап завершено.

Другий етап передбачає роботу з отриманими даними. Кожне з отриманих чисел має брати участь у обчисленні підсумкового результату. Для кожного множника зі складу вихідних чисел береться найбільша кількість входжень. НОК - це загальна кількість, тому множники з чисел повинні в ньому повторяться все до одного, навіть ті, що присутні в одному екземплярі. Обидва початкові числа мають у своєму складі числа 2, 3 і 5, у різних ступенях, 7 є тільки в одному випадку.

Для обчислення підсумкового результату необхідно взяти кожне число у найбільшій їх представлених ступенів, до рівняння. Залишається тільки перемножити і отримати відповідь, при правильному заповненні завдання укладається у дві дії без пояснень:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) НОК = 6300.

Ось і вся задача, якщо спробувати обчислити потрібне число за допомогою перемноження, то відповідь однозначно не буде правильною, оскільки 300 * 1260 = 378000.

Перевірка:

6300/300 = 21 - вірно;

6300/1260 = 5 - вірно.

Правильність отриманого результату визначається за допомогою перевірки - розподілу НОК на обидва вихідні числа, якщо число ціле в обох випадках, то відповідь вірна.

Що означає НОК у математиці

Як відомо, у математиці немає жодної марної функції, ця – не виняток. Найпоширенішим призначенням цього є приведення дробів до спільного знаменника. Що вивчають зазвичай у 5-6 класах середньої школи. Також додатково є спільним дільником для всіх кратних чисел, якщо такі умови стоять у завданні. Подібний вираз може знайти кратне не тільки до двох чисел, але й до значно більшої кількості – трьох, п'яти тощо. Чим більше чисел – тим більше дій у завданні, але складність від цього не збільшується.

Наприклад, дані числа 250, 600 і 1500, необхідно знайти їх загальний НОК:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - на цьому прикладі детально описано розкладання на множники, без скорочення.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Для того щоб скласти вираз, потрібно згадати всі множники, в цьому випадку дано 2, 5, 3 - для всіх цих чисел потрібно визначити максимальний ступінь.

Увага: всі множники необхідно доводити до спрощення, по можливості, розкладаючи до рівня однозначних.

Перевірка:

1) 3000/250 = 12 - вірно;

2) 3000/600 = 5 - вірно;

3) 3000/1500 = 2 - вірно.

Даний метод не вимагає будь-яких хитрощів чи здібностей рівня генія, все просто і зрозуміло.

Ще один спосіб

У математиці багато що пов'язано, багато що можна вирішити двома і більше способами, те саме стосується пошуку найменшого загального кратного, НОК. Наступний спосіб можна використовувати у випадку із простими двозначними та однозначними числами. Складається таблиця, в яку вносяться по вертикалі множинне, по горизонталі множник, а в клітинах стовпця, що перетинаються, вказується твір. Можна відобразити таблицю за допомогою рядка, береться число і в ряд записуються результати множення цього числа на цілі числа, від 1 до нескінченності, іноді вистачає і 3-5 пунктів, друге та наступні числа піддаються тому ж обчислювальному процесу. Все відбувається до того, як знайдеться загальне кратне.

Дані числа 30, 35, 42 необхідно знайти НОК, що пов'язує всі числа:

1) Кратні 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 і т.д.

2) Кратні 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 і т.д.

3) Кратні 42: 84, 126, 168, 210, 252 і т.д.

Помітно, що всі числа досить різні, єдине серед них число 210, ось воно і буде НОК. Серед пов'язаних з цим обчисленням процесів є також найбільший спільний дільник, що обчислюється за схожими принципами і часто зустрічається в задачах, що сусідять. Відмінність невелика, але досить значуще, НОК передбачає обчислення числа, яке ділиться попри всі дані вихідні значення, а НОД передбачає під собою обчислення найбільшого значення яке діляться вихідні числа.

Приступимо до вивчення найменшого загального кратного двох чи більше чисел. У розділі ми дамо визначення терміна, розглянемо теорему, яка встановлює зв'язок між найменшим загальним кратним та найбільшим спільним дільником, наведемо приклади розв'язання задач.

Загальні кратні – визначення, приклади

У цій темі нас буде цікавити лише загальні кратні цілих чисел, відмінних від нуля.

Визначення 1

Загальне кратне цілих чисел- Це таке ціле число, яке кратне всім даним числам. Фактично це будь-яке ціле число, яке можна розділити на будь-яке з даних чисел.

Визначення загальних кратних чисел відноситься до двох, трьох і більшої кількості цілих чисел.

Приклад 1

Відповідно до цього визначення для числа 12 загальними кратними числами будуть 3 і 2 . Також число 12 буде загальним кратним для чисел 2, 3 та 4. Числа 12 і -12 є загальними кратними числами для чисел ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

У той же час загальним кратним числом для чисел 2 і 3 будуть числа 12, 6, 24, 72, 468, 100 010 004 і цілий ряд будь-яких інших.

Якщо ми візьмемо числа, які поділяються на перше число з пари і не поділяються на друге, такі числа не будуть загальними кратними. Так, для чисел 2 та 3 числа 16 − 27 , 5 009 , 27 001 не будуть загальними кратними.

0 є загальним кратним для будь-якої множини цілих чисел, відмінних від нуля.

Якщо згадати властивість ділимості щодо протилежних чисел, то виходить, що деяке ціле число k буде загальним кратним даних чисел так само, як і число – k . Це означає, що спільні дільники може бути як позитивними, і негативними.

Чи для всіх чисел можна знайти НОК?

Загальне кратне можна знайти будь-яких цілих чисел.

Приклад 2

Припустимо, що нам дані kцілих чисел a 1 , a 2 , … , a k. Число, яке ми отримаємо під час множення чисел a 1 · a 2 · … · a kзгідно з властивістю ділимості буде ділитися на кожен із множників, який входив у початковий твір. Це означає, що добуток чисел a 1 , a 2 , … , a kє найменшим загальним кратним цих чисел.

Скільки всього загальних кратних можуть мати цілі числа?

Група цілих чисел може мати велику кількість загальних кратних. Фактично, їхня кількість нескінченна.

Приклад 3

Припустимо, що ми маємо деяке число k . Тоді добуток чисел k · z , де z - це ціле число, буде загальним кратним чисел k і z . З урахуванням того, що кількість чисел нескінченна, то й кількість загальних кратних нескінченно.

Найменше загальне кратне (НОК) – визначення, позначення та приклади

Згадаймо поняття найменшого числа з цієї множини чисел, яку ми розглядали в розділі «Порівняння цілих чисел». З урахуванням цього поняття сформулюємо визначення найменшого загального кратного, яке має серед усіх загальних кратних найбільше практичного значення.

Визначення 2

Найменше загальне кратне даних цілих чисел– це найменше позитивне загальне кратне цих чисел.

Найменше загальне кратне існує для будь-якої кількості даних чисел. Найбільш уживаною для позначення поняття у довідковій літературі є абревіатура НОК. Короткий запис найменшого загального кратного для чисел a 1 , a 2 , … , a kматиме вигляд НОК (a 1, a 2, …, a k).

Приклад 4

Найменше загальне кратне чисел 6 та 7 – це 42 . Тобто. НОК (6, 7) = 42 . Найменше загальне кратне чотирьох чисел - 2, 12, 15 і 3 дорівнюватиме 60. Короткий запис матиме вигляд НОК (-2, 12, 15, 3) = 60 .

Не всім груп даних чисел найменше загальне кратне очевидно. Часто його доводиться обчислювати.

Зв'язок між НОК та НОД

Найменше загальне кратне та найбільший спільний дільник пов'язані між собою. Взаємозв'язок між поняттями встановлює теорема.

Теорема 1

Найменше загальне кратне двох позитивних цілих чисел a і b дорівнює добутку чисел a і b, поділеному на найбільший загальний дільник чисел a і b, тобто НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Доказ 1

Припустимо, що маємо деяке число M , яке кратно числам a і b . Якщо число M ділиться на a, також існує деяке ціле число z , при якому справедлива рівність M = a · k. Відповідно до визначення ділимості, якщо M ділиться і на b, то тоді a · kділиться на b.

Якщо ми введемо нове позначення для НОД (a, b) як d, то зможемо використовувати рівність a = a 1 · dі b = b 1 · d. При цьому обидві рівності будуть взаємно простими числами.

Ми вже встановили вище, що a · kділиться на b. Тепер цю умову можна записати так:
a 1 · d · kділиться на b 1 · dщо еквівалентно умові a 1 · kділиться на b 1згідно з властивостями ділимості.

Відповідно до властивості взаємно простих чисел, якщо a 1і b 1- Взаємно прості числа, a 1не ділиться на b 1при тому що a 1 · kділиться на b 1, то b 1має ділитися k.

У цьому випадку доречно припустити, що існує число t, для котрого k = b 1 · t, а так як b 1 = b: d, то k = b: d · t.

Тепер замість kпідставимо на рівність M = a · kвираз виду b: d · t. Це дозволяє нам прийти до рівності M = a · b: d · t. При t = 1ми можемо отримати найменше позитивне загальне кратне чисел a та b , рівне a · b: d, за умови, що числа a та b позитивні.

Так ми довели, що НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Встановлення зв'язку між НОК та НОД дозволяє знаходити найменше загальне кратне через найбільший спільний дільник двох чи більше даних чисел.

Визначення 3

Теорема має два важливі наслідки:

• кратні найменшого загального кратного двох чисел збігаються із загальними кратними цих двох чисел;
• найменше загальне кратне взаємно простих позитивних чисел a і b дорівнює їхньому твору.

Обґрунтувати ці два факти нескладно. Будь-яке загальне кратне M чисел a та b визначається рівністю M = НОК (a, b) · t при деякому цілому значенні t. Так як a і b взаємно прості, то НОД (a, b) = 1, отже, НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Найменша загальна кратна трьох і більшої кількості чисел

Щоб знайти найменше загальне кратне кількох чисел, необхідно послідовно знайти НОК двох чисел.

Теорема 2

Припустимо, що a 1 , a 2 , … , a k- Це деякі цілі позитивні числа. Щоб обчислити НОК m kцих чисел, нам необхідно послідовно обчислити m 2 = НОК(a 1 , a 2) , m 3 = НОК(m 2 , a 3) , … , m k = НОК(m k - 1, a k).

Доказ 2

Довести вірність другої теореми нам допоможе перше наслідок першої теореми, розглянутої у цій темі. Міркування будуються за таким алгоритмом:

• загальні кратні чисел a 1і a 2збігаються з кратними їх НОК, фактично, вони збігаються з кратними числа m 2;
• загальні кратні чисел a 1, a 2і a 3 m 2і a 3 m 3;
• загальні кратні чисел a 1 , a 2 , … , a kзбігаються із загальними кратними чисел m k - 1і a k, отже, збігаються з кратними числами m k;
• у зв'язку з тим, що найменшим позитивним кратним числа m kє саме число m k, то найменшим загальним кратним чисел a 1 , a 2 , … , a kє m k.

То ми довели теорему.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter