2 у різних ступенях таблиця. Детально про ступінь та зведення у ступінь

Калькулятор допомагає швидко звести число в онлайн. Підставою ступеня може бути будь-які числа (як цілі, і речові). Показник ступеня також може бути цілим або речовим, а також як позитивним, так і негативним. Слід пам'ятати, що для негативних чисел зведення в нецілу ступінь не визначено і тому калькулятор повідомить про помилку у випадку, якщо ви все ж таки спробуєте це виконати.

Калькулятор ступенів

Піднести до степеня

Зведень до ступеня: 20880

Що таке натуральний ступінь числа?

Число p називають n -ою ступенем числа a якщо p дорівнює числу a , помноженому саме на себе n разів: p = a n = a ...
n - називається показником ступеня, а число a - підставою ступеня.

Як звести число до натурального ступеня?

Щоб зрозуміти, як зводити різні числа в натуральному ступені, розглянемо кілька прикладів:

Приклад 1. Звести число три на четвертий ступінь. Тобто необхідно обчислити 3 4
Рішення: як було сказано вище, 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 .
Відповідь: 3 4 = 81 .

Приклад 2. Звести число п'ять на п'яту ступінь. Тобто необхідно обчислити 5 5
Рішення: аналогічно, 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125 .
Відповідь: 5 5 = 3125 .

Таким чином, щоб звести число в натуральний ступінь, достатньо лише помножити його саме на себе n разів.

Що таке негативний рівень числа?

При цьому негативний ступінь існує тільки для відмінних від нуля чисел, тому що в іншому випадку відбувалося б поділ на нуль.

Як звести число в цілий негативний ступінь?

Щоб звести відмінне від нуля число в негативний ступінь, потрібно обчислити значення цього числа в тій же позитивній мірі та розділити одиницю на отриманий результат.

Приклад 1. Звести число два мінус четвертий ступінь. Тобто необхідно обчислити 2-4

Відповідь: 2 -4 = 0.0625 .

У таблиці ступенів є значення натуральних позитивних чисел від 1 до 10.

Запис 3 5 читають «три в п'ятому ступені». У цьому записі число 3 називають основою ступеня, число 5 показником ступеня, вираз 3 5 називають ступенем.

Щоб скачати таблицю ступенів, натисніть на зменшене зображення.

Калькулятор ступенів

Пропонуємо спробувати наш калькулятор ступенів, який допоможе звести в ступінь онлайн будь-яке число.

Використовувати калькулятор дуже просто – введіть число, яке ви хочете звести у ступінь, а потім число – ступінь та натисніть на кнопку «Порахувати».

Примітно те, що наш онлайн калькулятор ступенів може звести у ступінь як позитивний, так і негативний. А для отримання коріння на сайті є інший калькулятор.

Як звести число до ступеня.

Давайте розглянемо процес зведення на прикладі. Нехай нам необхідно звести число 5 до 3-го ступеня. Мовою математики 5 - це основа, а 3 - показник (або просто ступінь). І записати це можна коротко в такому вигляді:

Зведення в ступінь

А щоб знайти значення, нам буде потрібно число 5 помножити він 3 разу, тобто.

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

Відповідно, якщо ми хочемо знайти значення числа 7 в 5 ступеня, ми повинні число 7 помножити на себе 5 разів, тобто 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Інша справа, коли потрібно звести число в негативний ступінь.

Як зводити у негативний ступінь.

При зведенні в негативний ступінь необхідно використовувати просте правило:

як зводити в негативний ступінь

Все дуже просто - при зведенні в негативний ступінь ми повинні поділити одиницю на основу без знака мінус - тобто в позитивній мірі. Таким чином, щоб знайти значення

Таблиця ступенів натуральних чисел від 1 до 25 з алгебри

При вирішенні різних математичних вправ часто доводиться займатися зведенням числа ступінь, в основному від 1 до 10. І для того, щоб швидше знаходити ці значення і нами створена таблиця ступенів з алгебри, яку я опублікую на цій сторінці.

Для початку розглянемо числа від 1 до 6. Результати тут ще не дуже великі, всі з них ви можете перевірити на звичайному калькуляторі.

• 1 і 2 у ступені від 1 до 10

Таблиця ступенів

Таблиця ступенів є незамінним помічником, коли потрібно звести натуральне число в межах 10 ступінь, що перевищує два. Достатньо відкрити таблицю і знайти число, що знаходиться навпроти потрібної основи ступеня і в стовпці з необхідним ступенем - воно буде відповіддю на приклад. Крім зручної таблиці, внизу сторінки наведено приклади зведення до ступеня натуральних чисел до 10 . Вибравши необхідний стовпець зі ступенями потрібного числа, можна легко і просто знайти рішення, тому що всі ступені розташовані в порядку зростання.

Важливий нюанс! У таблицях не представлено зведення в нульовий ступінь, оскільки будь-яке число в ступені нуль дорівнює одиниці: a 0 = 1

Таблиця множення, квадратів та ступенів

Настав час трохи зайнятися математикою. Ви ще пам'ятаєте, скільки буде, якщо два помножити на два?

Якщо хтось забув - буде чотири. Здається, що таблицю множення пам'ятають і знають усі, проте, я виявив величезну кількість запитів до Яндекса типу «таблиця множення» або навіть «завантажити таблицю множення»(!). Саме для цієї категорії користувачів, а також для більш просунутих, яких вже цікавлять ще й квадрати та ступені, викладаю всі ці таблиці. Можете навіть качати на здоров'я! Отже:

10в2 ступеня+ 11 в2 ступеня + 12 у 2 ступеня+ 13 у 2 ступеня + 14 у другому ступені/365

Інші питання з категорії

Допоможіть вирішити будь ласка)

Читайте також

рішення: 3х(в 2 ступеня)-48= 3(Х-во 2 ступеня)(х-в другому ступені)-16)=(Х-4)(Х+4)

5) три цілих п'ять сотих. 6) дев'ять цілих двісті сім тисячних. 2) запиши як звичайного дробу числа: 1)0,3. 2) 0,516. 3) 0,88. 4) 0,01. 5) 0,402. 5) 0,038. 6) 0,609. 7) 0,91.8) 0,5.9) 0,171.10) 0,815.11) 0,27.12) 0,081.13) 0,803

Скільки буде 2 мінус 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ступеня?

Скільки буде 2 мінус 1 ступеня?

Скільки буде 2 в мінус 2 ступені?

Скільки буде 2 в мінус 3 ступені?

Скільки буде 2 в мінус 4 ступені?

Скільки буде 2 мінус 5 ступеня?

Скільки буде 2 мінус 6 ступеня?

Скільки буде 2 мінус 7 ступеня?

Скільки буде 2 мінус 8 ступеня?

Скільки буде 2 мінус 9 ступеня?

Скільки буде 2 мінус 10 ступеня?

Негативний ступінь числа n ^(-a) можна виразити у наступній формі 1/n^a.

2 у ступеня -1 = 1/2, якщо подати у вигляді десяткового дробу, то 0,5.

2 у ступені - 2 = 1/4, або 0,25.

2 ступеня -3= 1/8, чи 0,125.

2 у ступені -4 = 1/16, або 0,0625.

2 у ступені -5 = 1/32, або 0,03125.

2 у ступені - 6 = 1/64, або 0,015625.

2 у ступені - 7 = 1/128, або 0,.

2 у ступені -8 = 1/256, або 0,.

2 у ступені -9 = 1/512, або 0,.

2 у ступені - 10 = 1/1024, або 0,.

Аналогічні розрахунки для інших чисел можна подивитися тут: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Негативний ступінь числа, здавалося б, складна тема в алгебрі.

Насправді, все дуже просто - математичні обчислення з числом "2" проводимо за формулою алгебри (див. вище), де замість "a" підставляємо число "2", а замість "n" - ступінь числа. Калькулятор допоможе значно скоротити час у підрахунках.

На жаль, текстовий редактор сайту не дозволяє застосовувати математичні символи дробу та негативного ступеня. Обмежимося великою літерно-числовою інформацією.

Ось такі нехитрі числові сходинки вийшли.

Мінусова ступінь числа означає, що це число множать на себе стільки разів, скільки написано в мірі і потім одиницю ділять на отримане число. Для двійки:

• (-1) ступінь - це 1/2 = 0,5;
• (-2) ступінь - це 1/(2 2) = 0,25;
• (-3) ступінь - це 1/(2 2 2) = 0,125;
• (-4) ступінь - це 1/(2 2 2 2) = 0,0625;
• (-5) ступінь - це 1/(2 2 2 2 2) = 0,03125;
• (-6) ступінь - це 1/(2 2 2 2 2 2) = 0,015625;
• (-7) ступінь - це 1 / (2 2 2 2 2 2 2) = 0,078125;
• (-8) ступінь - це 1/(2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-9) ступінь - це 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-10) ступінь - це 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,.

Насправді кожне попереднє значення просто ділимо на 2.

shkolnyie-zadachi.pp.ua

1) 33 ²: 11 = (3 * 11) ²: 11 = 3 ² * 11 ²: 11 = 9 * 11 = 99

2) 99²: 81=(9*11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121

Другий ступінь означає, що цифра, яка вийшла при обчисленнях, множиться на саму себе.

Російська мова: 15 словосполучень на тему весна

Рання весна, пізня весна, весняне листя, весняне сонечко, весняний день, настала весна, весняні птахи, холодна весна, весняна трава, весняний вітерець, весняний дощ, весняний одяг, весняні чоботи, весна червона, весняна подорож.

Питання: 5 * 4 в другому ступені - (33 в другому ступені: 11) в 2 ступені: 81 ВІДПОВІДЬ СКАЖИТЬ ПО ДІЯМ

5*4 у другому ступені -(33 у другому ступені:11) у 2 ступені:81 ВІДПОВІДЬ СКАЖИТЬ ПО ДІЯМ

Відповіді:

5*4²-(33²: 11)²: 81= -41 1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99 2) 99²: 81=(9* 11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121 3) 5*4²=5*16=80 4)= -41

5*4 (2) = 400 1) 5*4= 20 2) 20*20=:11(2)= 9 1) 33:11= 3 2) 3*3= 9 Другий ступінь означає, що цифра, яка вийшла при обчисленнях множиться на саму себе.

10 -2 ступеня - це скільки.

1. 10 -2 ступеня це теж саме, що 1/10-2 ступеня, зводиш 10 в квадрат і виходить 1/100,а це дорівнює 0,01.

10^-2 = 1/10 * 1/10 = 1/(10*10) = 1/100 = 0.01

=) Темна кажеш? ..хех (з «Біле сонце пустелі»)

Протягом розмови про рівень числа логічно дати раду знаходженням значення ступеня. Цей процес отримав назву зведення в ступінь. У цій статті ми вивчимо, як виконується зведення в ступінь, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня – натуральний, цілий, раціональний та ірраціональний. І за традицією докладно розглянемо рішення прикладів зведення чисел у різні ступені.

Навігація на сторінці.

Що означає «зведення у ступінь»?

Почати слід із пояснення, що називають зведенням у ступінь. Ось відповідне визначення.

Визначення.

Зведення в ступінь- Це знаходження значення ступеня числа.

Таким чином, знаходження значення ступеня числа a з показником r і зведення числа a у ступінь r – це те саме. Наприклад, якщо поставлено завдання «обчисліть значення ступеня (0,5) 5», то його можна переформулювати так: «Зведіть число 0,5 до ступеня 5».

Тепер можна переходити безпосередньо до правил, за якими виконується зведення у ступінь.

Зведення числа до натурального ступеня

Насправді рівність виходячи з звичайно застосовується як . Тобто, при зведенні числа a в дрібний ступінь m/n спочатку витягується корінь n-ого ступеня з числа a, після чого отриманий результат зводиться в цілий ступінь m.

Розглянемо рішення прикладів зведення на дробовий ступінь.

приклад.

Обчисліть значення ступеня.

Рішення.

Покажемо два способи розв'язання.

Перший метод. За визначенням ступеня з дробовим показником. Обчислюємо значення ступеня під знаком кореня, після чого отримуємо кубічний корінь: .

Другий спосіб. За визначенням ступеня з дробовим показником та на підставі властивостей коренів справедливі рівністі . Тепер витягаємо корінь , нарешті, зводимо в цілий ступінь .

Очевидно, що отримані результати зведення в дрібний ступінь збігаються.

Відповідь:

Зазначимо, що дробовий показник ступеня може бути записаний у вигляді десяткового дробу або змішаного числа, у цих випадках його слід замінити відповідним звичайним дробом, після чого виконувати зведення в ступінь.

приклад.

Обчисліть (44,89) 2,5.

Рішення.

Запишемо показник ступеня у вигляді звичайного дробу (при необхідності дивіться статтю): . Тепер виконуємо зведення в дробовий ступінь:

Відповідь:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Слід також сказати, що зведення чисел у раціональні ступені є досить трудомістким процесом (особливо коли в чисельнику та знаменнику дробового показника ступеня знаходяться досить великі числа), який зазвичай проводиться з використанням обчислювальної техніки.

На закінчення цього пункту зупинимося на зведенні числа нуль у дрібний ступінь. Дробного ступеня нуля виду ми надали наступного змісту: якщо маємо , а за нуль у ступені m/n не визначено. Отже, нуль у дробовому позитивному ступені дорівнює нулю, наприклад, . А нуль у дробовій негативною мірою немає сенсу, наприклад, немає сенсу висловлювання і 0 -4,3 .

Зведення в ірраціональний ступінь

Іноді виникає необхідність дізнатися значення ступеня числа з ірраціональним показником. При цьому в практичних цілях зазвичай достатньо отримати значення ступеня з точністю деякого знака. Відразу відзначимо, що це значення на практиці обчислюється за допомогою електронної обчислювальної техніки, оскільки зведення в ірраціональний ступінь вручну вимагає великої кількості громіздких обчислень. Але все ж таки опишемо в загальних рисах суть дій.

Щоб отримати наближене значення ступеня числа a з ірраціональним показником, береться деяке десяткове наближення показника ступеня і обчислюється значення ступеня. Це значення є наближеним значенням ступеня числа a з ірраціональним показником . Чим точніше десяткове наближення числа буде взято спочатку, тим точніше значення ступеня буде отримано в результаті.

Як приклад обчислимо наближене значення ступеня 2 1,174367. Візьмемо наступне десяткове наближення ірраціонального показника: . Тепер зведемо 2 раціональну ступінь 1,17 (суть цього процесу ми описали в попередньому пункті), отримуємо 2 1,17 ≈2,250116 . Таким чином, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Якщо взяти точніше десяткове наближення ірраціонального показника ступеня, наприклад, то отримаємо більш точне значення вихідного ступеня: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Список літератури.

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Давайте розглянемо послідовність чисел, перше з яких дорівнює 1, а кожне наступне вдвічі більше: 1, 2, 4, 8, 16, ... Використовуючи показники ступеня, її можна записати в еквівалентному вигляді: 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , ... Називається вона цілком очікувано: послідовність ступенів двійки.Здавалося б, нічого видатного в ній немає - послідовність як послідовність, не краща і не гірша за інших. Тим не менш, вона має дуже примітні властивості.

Безперечно, багато читачів зустрічали її в класичній історії про винахідника шахів, який попросив у правителя в нагороду за першу клітку шахової дошки одне пшеничне зерно, за другу - два, за третю - чотири, і так далі весь час подвоюючи число зерен. Зрозуміло, що сумарна їх кількість дорівнює

S= 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)

Але оскільки ця сума неймовірно велика і в багато разів перевищує річний урожай зернових по всьому світу, вийшло, що мудрець обдер правителя як липку.

Однак поставимо зараз іншим питанням: як з найменшими витратами праці підрахувати величину S? Власники калькулятора (або, більше того, комп'ютера) цілком можуть за доступний для огляду час виконати перемноження, а потім скласти отримані 64 числа, отримавши відповідь: 18 446 744 073 709 551 615. А оскільки обсяг обчислень чималий, то і ймовірність помилки дуже велика.

Хто хитріший, можуть побачити в цій послідовності геометричну прогресію. Не знайомі ж із цим поняттям (або ті, хто просто забув стандартну формулу суми геометричної прогресії) можуть використовувати такі міркування. Давайте помножимо обидві частини рівності (1) на 2. Так як при подвоєнні ступеня двійки її показник збільшується на 1, то отримаємо

2S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)

Тепер із (2) віднімемо (1). У лівій частині, зрозуміло, вийде 2 S – S = S. У правій частині відбудеться масове взаємне знищення майже всіх ступенів двійки - від 2 1 до 2 63 включно, і залишиться лише 2 64 – 2 0 = 2 64 – 1. Отже:

S = 2 64 – 1.

Що ж, вираз помітно спростився, і тепер, маючи калькулятор, що дозволяє будувати ступінь, можна знайти значення цієї величини без жодних проблем.

А якщо і калькулятора немає – як бути? Перемножувати в стовпчик 64 двійки? Ще чого не вистачало! Досвідчений інженер або математик-прикладник, для якого головний фактор – час, зумів би швидко оцінитивідповідь, тобто. знайти його приблизно з прийнятною точністю. Як правило, у побуті (та й у більшості природничих наук) цілком припустима похибка в 2–3%, а якщо вона не перевищує 1%, то це просто чудово! Виявляється, підрахувати наші зерна з такою похибкою можна взагалі без калькулятора і лише за кілька хвилин. Як? Зараз побачите.

Отже, треба точніше знайти твір 64 двійок (одиницю в силу її нікчемності відкинемо відразу). Розіб'ємо їх на окрему групу з 4 двійок і ще на 6 груп по 10 двійок. Твір двійок в окремій групі дорівнює 24 = 16. А добуток 10 двійок у кожній з інших груп дорівнює 210 = 1024 (переконайтеся, хто сумнівається!). Але 1024 - близько 1000, тобто. 10 3 . Тому Sмає бути близько до добутку числа 16 на 6 чисел, кожне з яких дорівнює 103, тобто. S ≈ 16 · 10 18 (бо 18 = 3 · 6). Правда, похибка тут все ж таки завелика: адже 6 разів при заміні 1024 на 1000 ми помилялися в 1,024 рази, а всього ми помилилися, як легко бачити, в 1,024 6 разів. Тож тепер – додатково перемножувати 1,024 шість разів саме на себе? Ні, обійдемося! Відомо, що для числа х, що у багато разів менше 1, з високою точністю справедлива наступна наближена формула: (1 + x) n ≈ 1 + xn.

Тому 1,024 6 = (1 + 0,24) 6 ≈ 1 + 0,24 · 6 = 1,144. Тому треба знайдене нами число 16 · 1018 помножити на число 1,144, в результаті чого вийде 18304000000000000000, а це відрізняється від правильної відповіді менш ніж на 1%. Чого ми домагалися!

У даному випадку нам пощастило: один із ступенів двійки (а саме - десятий) виявився дуже близьким до одного зі ступенів десятки (а саме - третього). Це дозволяє нам швидко оцінювати значення будь-якого ступеня двійки, не обов'язково 64-го. Серед ступенів інших чисел таке трапляється нечасто. Наприклад, 5 10 відрізняється від 10 7 також у 1,024 рази, але... у меншу сторону. Втім, це ж поля ягода: оскільки 2 10 ·5 10 = 10 10 , то у скільки разів 2 10 перевершує 10 3 , стільки ж разів 5 10 менше, ніж 10 7 .

Інша цікава особливість послідовності полягає в тому, що будь-яке натуральне число можна побудувати з різнихстепенів двійки, причому єдиним способом. Наприклад, для номера поточного року маємо

2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .

Довести ці можливість і єдиність не складає особливих труднощів. Почнемо з можливості.Нехай нам треба подати у вигляді суми різних ступенів двійки деяке натуральне число N. Спочатку запишемо його у вигляді суми Nодиниць. Так як одиниця - це 20, то спочатку Nє сума однаковихступенів двійки. Потім почнемо поєднувати їх по парах. Сума двох чисел, рівних 2 0 - це 2 1 , так що в результаті вийде явно меншекількість доданків, рівних 2 1 і, можливо, одне число 2 0 якщо йому не знайшлося пари. Далі попарно об'єднуємо однакові доданки 2 1 отримуючи ще меншу кількість чисел 2 2 (тут теж можлива поява непарного ступеня двійки 2 1). Потім знову об'єднуємо рівні доданки попарно, і так далі. Рано чи пізно процес завершиться, оскільки кількість однакових ступенів двійки після кожного об'єднання зменшується. Коли воно стане рівним 1 – справа закінчена. Залишилося скласти всі непарні ступеня двійки, що вийшло, - і уявлення готове.

Щодо доказу єдиностіуявлення, то тут добре підходить метод «від неприємного». Нехай те саме число Nвдалося уявити у вигляді двохнаборів різних ступенів двійки, які не повністю збігаються (тобто є ступеня двійки, що входять до одного набору, але не входять до іншого, і навпаки). Для початку відкинемо всі збігаються ступені двійки з обох наборів (якщо такі є). Вийдуть два уявлення одного і того ж числа (меншого або рівного N) у вигляді суми різних ступенів двійки, причому Усеступеня в уявленнях різні. У кожному з уявлень виділимо найбільшуступінь. З огляду на вище, для двох уявлень ці ступені різні. Те уявлення, для якого цей ступінь більший, назвемо першим, інше - другим. Отже, нехай у першому поданні найбільший ступінь дорівнює 2 m, Тоді в другому вона, очевидно, не перевищує 2 m-1. Але оскільки (і ми з цим вже стикалися вище, підраховуючи зерна на шахівниці) справедлива рівність

2m = (2m –1 + 2m –2 + ... + 2 0) + 1,

то 2 m строго більшесуми всіх ступенів двійки, що не перевищують 2 m-1. Тому вже найбільший ступінь двійки, що входить у першу виставу, напевно більше суми всіхступенів двійки, що входять у другу виставу. Суперечність!

Фактично ми щойно обґрунтували можливість запису чисел у двійковійсистемі числення. Як відомо, у ній використовуються лише дві цифри - нуль і одиниця, і кожне натуральне число записується в двійковій системі єдиним способом (наприклад, згадане вище 2012 року - як 11 111 011 100). Якщо пронумерувати розряди (двійкові цифри) справа наліво, починаючи з нуля, то номери тих розрядів, в яких стоять одиниці, якраз і будуть показниками ступенів двійок, що входять до вистави.

Менш відома наступна властивість безлічі цілих невід'ємних ступенів двійки. Давайте деяким з них довільним чином надамо знак «мінус», тобто з позитивних зробимо негативними. Єдина вимога – щоб у результаті і позитивних, і негативних чисел виявилося нескінченну кількість.Наприклад, можна присвоїти знак «мінус» кожного п'ятого ступеня двійки або, припустимо, залишити позитивними тільки числа 2 10 , 2 100 , 2 1000 і так далі - варіантів тут скільки завгодно.

Як не дивно, але будь-яке цілечисло можна (і до того єдиним способом) у вигляді суми різних складових нашої «позитивно-отрицательной» послідовності. І довести це не дуже складно (наприклад, індукцією за показниками ступенів двійок). Головна ідея доказу - наявність скільки завгодно великих за абсолютною величиною як позитивних, і негативних доданків. Спробуйте виконати підтвердження самі.

Цікаво поспостерігати за останніми цифрами членів послідовності ступенів двійки. Оскільки кожне наступне число послідовності виходить подвоєнням попереднього, то остання цифра кожного їх повністю визначається останньою цифрою попереднього числа. Оскільки різних цифр обмежена кількість, послідовність останніх цифр ступенів двійки просто зобов'язанабути періодичною! Довжина періоду, звичайно, не перевищує 10 (оскільки саме стільки цифр ми використовуємо), але це дуже підвищене значення. Спробуємо оцінити його, не виписуючи поки що саму послідовність. Ясно, що останні цифри всіх ступенів двійки, починаючи з 2 1 , парні. Крім того, серед них не може бути нуля - тому що число, що закінчується нулем, ділиться на 5, у чому запідозрити ступеня двійки неможливо. Оскільки парних цифр без нуля є лише чотири, те й довжина періоду вбирається у 4.

Перевірка показує, що так і є, причому періодичність проявляється майже відразу: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... - у повній відповідності з теорією!

Не менш успішно можна оцінити і довжину періоду останньої пари цифр послідовності ступенів двійки. Оскільки всі ступеня двійки, починаючи з 2 2 , діляться на 4, те й числа, утворені їх останніми двома цифрами, діляться на 4. ), але з них треба викинути п'ять чисел, що закінчуються нулем: 00, 20, 40, 60 та 80. Отже період може містити не більше 25 – 5 = 20 чисел. Перевірка показує, що так і є, починається період з числа 22 і містить пари цифр: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72 44, 88, 76, 52, а потім знову 04 і так далі.

Аналогічно можна довести, що довжина періоду останніх mцифр послідовності ступенів двійки вбирається у 4·5 m-1 (Більше того - насправді вона дорівнює 4·5 m-1, Але довести це значно складніше).

Отже, останні цифри ступенів двійки накладено досить жорсткі обмеження. А як щодо першихцифр? Тут ситуація практично протилежна. Виявляється, для будь-якогонабору цифр (перша з яких не нуль) знайдеться ступінь двійки, що починається з цього набору цифр. І таких ступенів двійки нескінченно багато!Наприклад, існує нескінченна кількість ступенів двійки, що починаються з цифр 2012 або, скажімо, 3333333333333333333333.

А якщо розглянути тільки одну першу цифру різних ступенів двійки - які значення вона може набувати? Неважко переконатися, що будь-які – від 1 до 9 включно (нуля серед них, звичайно, немає). Але які з них зустрічаються найчастіше, а які рідше? Якось відразу не видно причин, через які одна цифра має зустрічатися частіше за іншу. Однак більш глибокі роздуми показують, що саме рівної кількості цифр очікувати не доводиться. Дійсно, якщо перша цифра будь-якого ступеня двійки є 5, 6, 7, 8 або 9, то перша цифра наступного за нею ступеня двійки буде обов'язковою. одиницею!Тому повинен мати місце «перекіс» принаймні у бік одиниці. Отже, навряд чи інші цифри будуть «рівнопредставленими».

Практика (а саме – прямий комп'ютерний розрахунок для перших кількох десятків тисяч ступенів двійки) підтверджує наші підозри. Ось яка відносна частка перших цифр ступенів двійки із заокругленням до 4 знаків після коми:

1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458

Як бачимо, зі зростанням цифр ця величина зменшується (і тому та сама одиниця приблизно в 6,5 разів частіше буває першою цифрою ступенів двійки, ніж дев'ятка). Як не здасться дивним, але практично таке ж співвідношення кількостей перших цифр матиме місце майже для будь-якої послідовності ступенів – не тільки двійки, але, скажімо, і трійки, п'ятірки, вісімки та взагалі майже будь-якогочисла, зокрема і нецелого (виняток становлять лише деякі «особливі» числа). Причини цього дуже глибокі та непрості, і для їх з'ясування треба знати логарифми. Для тих, хто з ними знайомий, відкриємо завісу: виявляється, відносна частка ступенів двійки, десятковий запис яких починається з цифри F(для F= 1, 2, ..., 9), становить lg ( F+ 1) - lg ( F), де lg - так званий десятковий логарифм,рівний показнику ступеня, в який треба звести число 10, щоб отримати число, що стоїть під знаком логарифму.

Використовуючи згаданий вище зв'язок між ступенями двійки та п'ятірки, А. Канель виявив цікаве явище. Давайте із послідовності перших цифр ступенів двійки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, ...) виберемо кілька цифр поспільі запишемо їх у зворотному порядку. Виявляється, ці цифри неодмінно зустрінуться теж поспільпочинаючи з деякого місця, в послідовності перших цифр ступенів п'ятірки.

Ступінь двійки також є своєрідним «генератором» для виробництва широко відомих досконалих чиселякі рівні сумі всіх своїх дільників, за винятком себе самого. Наприклад, у числа 6 чотири дільники: 1, 2, 3 і 6. Відкинемо той, який дорівнює самому числу 6. Залишилося три дільники, сума яких якраз дорівнює 1 + 2 + 3 = 6. Тому 6 - досконале число.

Для отримання досконалого числа візьмемо два послідовні ступені двійки: 2 n-1 і 2 n. Зменшимо велику з них на 1, отримаємо 2 n- 1. Виявляється, якщо це - просте число, то, примноживши його на попередній ступінь двійки, ми утворимо досконале число 2 n –1 (2n- 1). Наприклад, при п= 3 отримуємо вихідні числа 4 і 8. Так як 8 - 1 = 7 - просте число, то 4 7 = 28 - досконале число. Більше того - свого часу Леонард Ейлер довів, що всі парнідосконалі числа мають саме такий вид. Непарні досконалі числа поки не виявлені (і мало хто вірить у їхнє існування).

Тісний зв'язок мають ступеня двійки з так званими числами Каталана, Послідовність яких має вигляд 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429 ... Вони часто виникають при вирішенні різних комбінаторних завдань. Наприклад, скільки способів можна розбити опуклий n-кутник на трикутники діагоналі, що не перетинаються? Все той же Ейлер з'ясував, що це значення одно ( n- 1)-му числу Каталана (позначимо його K n-1), і він з'ясував, що K n = K n-1 · (4 n – 6)/n. Послідовність чисел Каталана має безліч цікавих властивостей, і одна з них (саме пов'язана з темою цієї статті) полягає в тому, що порядкові номери всіх непарних чисел Каталана є ступенями двійки!

Ступені двійки нерідко зустрічаються у різних завданнях, причому у умовах, а й у відповідях. Візьмемо, наприклад, популярну колись (та й досі не забуту) Ханойську вежу. Так називалася гра-головоломка, вигадана в XIX столітті французьким математиком Е. Люка. Вона містить три стрижні, на один з яких одягнено nдисків з отвором у середині кожного. Діаметри всіх дисків різні, і вони розташовані в порядку зменшення знизу вгору, тобто найбільший диск - внизу (див. малюнок). Вийшла ніби вежа з дисків.

Потрібно перенести цю вежу на інший стрижень, дотримуючись таких правил: перекладати диски строго по одному (знімаючи верхній диск з будь-якого стрижня) і завжди класти менший диск на більший, але не навпаки. Постає питання: яка найменша кількість ходів для цього знадобиться? (Ходом ми називаємо зняття диска з одного стрижня і надягання його на інший.) Відповідь: воно дорівнює 2 n- 1, що легко доводиться по індукції.

Нехай для nдисків потрібна найменша кількість ходів дорівнює X n. Знайдемо X n+1. У процесі роботи рано чи пізно доведеться знімати найбільший диск зі стрижня, який спочатку були надіті всі диски. Так як цей диск можна надягати тільки на порожній стрижень (інакше він «придавить» менший диск, що заборонено), всі верхні nдисків доведеться заздалегідь перенести на третій стрижень. Для цього потрібно не менше X nходів. Далі переносимо найбільший диск на порожній стрижень – ще один хід. Зрештою, щоб зверху його «притиснути» меншими nдисками, знову знадобиться не менше X nходів. Отже, X n +1 ≥ X n + 1 + X n = 2X n+ 1. З іншого боку, описані вище дії показують, як можна впоратися із завданням саме 2 X n+ 1 ходами. Тому остаточно X n +1 =2X n+ 1. Отримано рекурентне співвідношення, але для того, щоб його привести до «нормального» вигляду, треба ще знайти X 1 . Ну, це простіше простого: X 1 = 1 (менше просто не буває!). Нескладно, ґрунтуючись на цих даних, з'ясувати, що X n = 2n– 1.

Ось ще одне цікаве завдання:

Знайдіть усі натуральні числа, які не можна подати у вигляді суми кількох (не менше двох) послідовних натуральних чисел.

Давайте перевіримо спочатку найменші числа. Зрозуміло, що число 1 у вказаному вигляді непредставне. Зате всі непарні, які більше 1, уявити, звісно, ​​можна. Насправді, будь-яке непарне число, більше 1, можна записати як 2 k + 1 (k- натуральне), що є сумою двох послідовних натуральних чисел: 2 k + 1 = k + (k + 1).

А як справи з парними числами? Легко переконатися, що числа 2 і 4 не можна уявити у необхідному вигляді. Може, й у всіх парних чисел так? На жаль, наступне парне число спростовує наше припущення: 6 = 1 + 2 + 3. Зате число 8 знову не піддається. Щоправда, такі числа знову поступаються натиску: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, тоді як 16 - знову непредставимо.

Що ж, накопичена інформація дозволяє зробити попередні висновки. Зверніть увагу: не вдалося подати у вказаному вигляді тільки ступеня двійки. Чи це правда для інших чисел? Виявляється, так! Справді, розглянемо суму всіх натуральних чисел від mдо nвключно. Оскільки всього їх, за умовою, не менше двох, то n > m. Як відомо, сума послідовних членів арифметичної прогресії (адже саме з нею ми маємо справу!) дорівнює добутку напівсуми першого та останнього членів на їх кількість. Напівсума дорівнює ( n + m)/2, а кількість чисел дорівнює n – m+ 1. Тому сума дорівнює ( n + m)(n – m+ 1)/2. Зауважимо, що в чисельнику знаходяться два співмножники, кожен з яких строго більше 1, і при цьому парність їх – різна. Виходить, що сума всіх натуральних чисел від mдо nвключно ділиться на непарне число, більше 1, і тому може бути ступенем двійки. Тож тепер зрозуміло, чому не вдалося уявити ступеня двійки у потрібному вигляді.

Залишилось переконатися, що не ступеня двійкиуявити можна. Щодо непарних чисел, то з ними ми вже розібралися вище. Візьмемо якесь парне число, яке не є ступенем двійки. Нехай найбільший ступінь двійки, на яку воно ділиться, це 2 a (a- Натуральне). Тоді якщо число поділити на 2 a, вийде вже непарнечисло, більше 1, яке ми запишемо у знайомому вигляді - як 2 k+ 1 (k- Теж натуральне). Отже, загалом наше парне число, що не є ступенем двійки, дорівнює 2 a (2k+ 1). А тепер розглянемо два варіанти:

1. 2 a+1 > 2k+ 1. Візьмемо суму 2 k+ 1 послідовних натуральних чисел, середняз яких дорівнює 2 a. Легко бачити, що тоді найменшез них дорівнює 2 a - k, а найбільше дорівнює 2 a + k, причому найменше (і, отже, решта) - позитивне, т. е. справді натуральне. Ну, а сума, очевидно, становить якраз 2 a(2k + 1).
2. 2 a+1 < 2k+ 1. Візьмемо суму 2 a+1 Послідовних натуральних чисел. Тут не можна вказати середнячисло, бо кількість чисел парна, але вказати пару середніхчисел можна: нехай це числа kі k+ 1. Тоді найменшез усіх чисел одно k+ 1 – 2a(і теж позитивне!), а найбільше одно k+ 2a. Сума їх також дорівнює 2 a(2k + 1).

От і все. Отже, відповідь: непредставні числа - це ступеня двійки, і лише вони.

А ось ще одне завдання (вперше її запропонував В. Свавілов, але в дещо іншому формулюванні):

Садова ділянка оточена суцільним парканом з N дощок. Згідно з наказом тітки Поллі Том Сойєр білить паркан, але за власною системою: просуваючись весь час за годинниковою стрілкою, спочатку білить дошку, потім пропускає одну дошку і білить наступну, потім пропускає дві дошки і білить наступну, потім пропускає три дошки і білить наступну, і так далі, щоразу пропускаючи на одну дошку більше (при цьому деякі дошки можуть бути побілені кілька разів - Тома це не бентежить).

Том вважає, що за такої схеми рано чи пізно всі дошки будуть побілені, а тітка Поллі впевнена, що хоча б одна дошка залишиться непобіленою, хоч би скільки Том працював. За яких N правий Том, а за яких - тітка Поллі?

Описана система побілки є досить хаотичною, тому спочатку може здатися, що для будь-якого (або майжебудь-якого) Nкожній дошці колись дістанеться своя частка вапна, тобто, в основному, Має рацію Том. Але перше враження оманливе, тому що насправді Том правий тільки для значень N, що є ступенями двійки. Для інших Nзнайдеться дошка, яка так і залишиться навіки непобіленою. Доказ цього факту досить громіздкий (хоча, в принципі, нескладний). Пропонуємо читачеві виконати його самому.

Ось які вони – ступеня двійки. На вигляд - простіше простого, а як копнеш... І торкнулися ми тут далеко не всі дивовижні та загадкові властивості цієї послідовності, а лише ті, що кинулися у вічі. Ну, а читачеві надається право самостійно продовжити дослідження у цій галузі. Безперечно, вони виявляться плідними.

Нульова їхня кількість).
І не лише двійки, як було зазначено раніше!
Спраглих подробиць можуть прочитати статтю В. Болтянського «Чи часто ступеня двійки починаються з одиниці?» («Квант» №5 за 1978 р.), а також статтю В. Арнольда «Статистика перших цифр ступенів двійки та переділ світу» («Квант» №1 за 1998 р.).
задачу М1599 з «Задачника «Кванта» («Квант» №6 за 1997 р.).
В даний час відомі 43 досконалих числа, найбільше з яких дорівнює 230402456 (230402457 - 1). Воно містить понад 18 мільйонівцифр.