Порахувати мат очікування. Формула математичного очікування

Математичне очікування та дисперсія – найчастіше застосовувані числові характеристики випадкової величини. Вони характеризують найважливіші риси розподілу: його становище та рівень розкиданості. Багато завдань практики повна, вичерпна характеристика випадкової величини - закон розподілу - або взагалі може бути отримана, або взагалі не потрібна. У таких випадках обмежуються приблизним описом випадкової величини з допомогою числових характеристик.

Математичне очікування часто називають просто середнім значенням випадкової величини. Дисперсія довільної величини - характеристика розсіювання, розкиданості довільної величини у її математичного очікування.

Математичне очікування дискретної випадкової величини

Підійдемо до поняття математичного очікування спочатку виходячи з механічної інтерпретації розподілу дискретної випадкової величини. Нехай одинична маса розподілена між точками осі абсцис x1 , x 2 , ..., x n, причому кожна матеріальна точка має відповідну їй масу p1 , p 2 , ..., p n. Потрібно вибрати одну точку на осі абсцис, що характеризує становище всієї системи матеріальних точок, з урахуванням їх мас. Природно як така точка взяти центр маси системи матеріальних точок. Це середнє зважене значення випадкової величини X, в яке абсциса кожної точки xiвходить з "вагою", що дорівнює відповідній ймовірності. Отримане в такий спосіб середнє значення випадкової величини Xназивається її математичним очікуванням.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів всіх можливих її значень на ймовірності цих значень:

приклад 1.Організована безпрограшна лотерея. Є 1000 виграшів, їх 400 по 10 крб. 300 – по 20 руб. 200 – по 100 руб. і 100 – по 200 руб. Який середній розмір виграшу для того, хто купив один квиток?

Рішення. Середній виграш ми знайдемо, якщо загальну суму виграшів, яка дорівнює 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50 000 руб, розділимо на 1000 (загальна сума виграшів). Тоді отримаємо 50 000/1000 = 50 руб. Але вираз для підрахунку середнього виграшу можна уявити й у такому вигляді:

З іншого боку, в умовах розмір виграшу є випадковою величиною, яка може приймати значення 10, 20, 100 і 200 руб. із ймовірностями, рівними відповідно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Отже, очікуваний середній виграш дорівнює сумі творів розмірів виграшів на ймовірність їх отримання.

приклад 2.Видавець вирішив видати нову книгу. Продавати книгу він збирається за 280 руб., З яких 200 отримає він сам, 50 - книгарня і 30 - автор. У таблиці наведено інформацію про витрати на видання книги та ймовірність продажу певної кількості екземплярів книги.

Знайти очікуваний прибуток видавця.

Рішення. Випадкова величина "прибуток" дорівнює різниці доходів від продажу та вартості витрат. Наприклад, якщо буде продано 500 екземплярів книги, то доходи від продажу дорівнюють 200 * 500 = 100000, а витрати на видання 225 000 руб. Таким чином, видавцеві загрожує збиток розміром 125000 руб. У наступній таблиці узагальнено очікувані значення випадкової величини - прибутку:

Таким чином, отримуємо математичне очікування прибутку видавця:

.

приклад 3.Імовірність влучення при одному пострілі p= 0,2. Визначити витрати снарядів, які забезпечують математичне очікування числа влучень, що дорівнює 5.

Рішення. З тієї ж формули математичного очікування, яку ми використовували досі, висловлюємо x- Витрата снарядів:

.

приклад 4.Визначити математичне очікування випадкової величини xчисла попадань при трьох пострілах, якщо ймовірність попадання при кожному пострілі p = 0,4 .

Підказка: ймовірність значень випадкової величини знайти за формулі Бернуллі .

Властивості математичного очікування

Розглянемо властивості математичного очікування.

Властивість 1.Математичне очікування постійної величини дорівнює цій постійній:

Властивість 2.Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:

Властивість 3.Математичне очікування суми (різниці) випадкових величин дорівнює сумі (різниці) їх математичних очікувань:

Властивість 4.Математичне очікування добутку випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань:

Властивість 5.Якщо всі значення випадкової величини Xзменшити (збільшити) на одне й те саме число З, то її математичне очікування зменшиться (збільшиться) на те число:

Коли не можна обмежуватися лише математичним очікуванням

Найчастіше лише математичне очікування неспроможна достатньою мірою характеризувати випадкову величину.

Нехай випадкові величини Xі Yзадані такими законами розподілу:

Математичні очікування цих величин однакові - дорівнюють нулю:

Проте характер розподілу їх різний. Випадкова величина Xможе приймати тільки значення, що мало відрізняються від математичного очікування, а випадкова величина Yможе приймати значення, які значно відхиляються від математичного очікування. Аналогічний приклад: середня заробітна плата не дає можливості судити про питому вагу високо-і низькооплачуваних робітників. Іншими словами, з математичного очікування не можна судити про те, які відхилення від нього, хоч би в середньому, можливі. Для цього необхідно визначити дисперсію випадкової величини.

Дисперсія дискретної випадкової величини

Дисперсієюдискретної випадкової величини Xназивається математичне очікування квадрата відхилення її від математичного очікування:

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Xназивається арифметичне значення квадратного кореня її дисперсії:

.

Приклад 5.Обчислити дисперсії та середні квадратичні відхилення випадкових величин Xі Y, закони розподілу яких наведені у таблицях вище.

Рішення. Математичні очікування випадкових величин Xі YЯк було знайдено вище, дорівнюють нулю. Згідно з формулою дисперсії при Е(х)=Е(y)=0 отримуємо:

Тоді середні квадратичні відхилення випадкових величин Xі Yскладають

.

Таким чином, при однакових математичних очікуваннях дисперсія випадкової величини Xдуже мала, а випадкової величини Y- Значна. Це наслідок розбіжності у тому розподілі.

Приклад 6.У інвестора є 4 альтернативні проекти інвестицій. У таблиці узагальнено дані про очікуваний прибуток у цих проектах з відповідною ймовірністю.

Знайти для кожної альтернативи математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

Рішення. Покажемо, як обчислюються ці величини для 3 альтернативи:

У таблиці узагальнено знайдені величини всім альтернатив.

У всіх альтернатив однакові математичні очікування. Це означає, що у довгостроковому періоді в усіх - однакові доходи. Стандартне відхилення можна інтерпретувати як одиницю виміру ризику - що більше, тим більше ризик інвестицій. Інвестор, який бажає великого ризику, вибере проект 1, оскільки він має найменше стандартне відхилення (0). Якщо ж інвестор віддає перевагу ризику та більшим доходам у короткий період, він вибере проект найбільшим стандартним відхиленням - проект 4.

Властивості дисперсії

Наведемо властивості дисперсії.

Властивість 1.Дисперсія постійної величини дорівнює нулю:

Властивість 2.Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат:

.

Властивість 3.Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному очікуванню квадрата цієї величини, з якого віднімається квадрат математичного очікування самої величини:

,

де .

Властивість 4.Дисперсія суми (різниці) випадкових величин дорівнює сумі (різниці) їх дисперсій:

Приклад 7.Відомо, що дискретна випадкова величина Xприймає лише два значення: −3 та 7. Крім того, відоме математичне очікування: E(X) = 4 . Знайти дисперсію дискретної випадкової величини.

Рішення. Позначимо через pймовірність, з якою випадкова величина набуває значення x1 = −3 . Тоді ймовірністю значення x2 = 7 буде 1 − p. Виведемо рівняння для математичного очікування:

E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

звідки отримуємо ймовірність: p= 0,3 та 1 − p = 0,7 .

Закон розподілу випадкової величини:

Дисперсію даної випадкової величини обчислимо за формулою з якості дисперсії 3:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Знайти математичне очікування випадкової величини самостійно, а потім переглянути рішення

Приклад 8.Дискретна випадкова величина Xнабуває лише два значення. Більше значень 3 вона приймає з ймовірністю 0,4. Крім того, відома дисперсія випадкової величини D(X) = 6 . Знайти математичне очікування випадкової величини.

Приклад 9.В урні 6 білих та 4 чорні кулі. З урни виймають 3 кулі. Число білих куль серед вийнятих куль є дискретною випадковою величиною X. Знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.

Рішення. Випадкова величина Xможе приймати значення 0, 1, 2, 3. Відповідні їм ймовірності можна обчислити за правилу множення ймовірностей. Закон розподілу випадкової величини:

Звідси математичне очікування цієї випадкової величини:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Дисперсія даної випадкової величини:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Математичне очікування та дисперсія безперервної випадкової величини

Для безперервної випадкової величини механічна інтерпретація математичного очікування збереже той самий зміст: центр маси для одиничної маси, розподіленої безперервно на осі абсцис із щільністю f(x). На відміну від дискретної випадкової величини, яка має аргумент функції xiзмінюється стрибкоподібно, у безперервної випадкової величини аргумент змінюється безперервно. Але математичне очікування безперервної випадкової величини пов'язане з її середнім значенням.

Щоб знаходити математичне очікування та дисперсію безперервної випадкової величини, потрібно знаходити певні інтеграли . Якщо дана функція щільності безперервної випадкової величини, вона безпосередньо входить у подынтегральное вираз. Якщо дана функція розподілу ймовірностей, то, диференціюючи її, необхідно визначити функцію щільності.

Арифметичне середнє всіх можливих значень безперервної випадкової величини називається її математичним очікуванням, що позначається або .

Основні числові характеристики дискретних та безперервних випадкових величин: математичне очікування, дисперсія та середнє квадратичне відхилення. Їх властивості та приклади.

Закон розподілу (функція розподілу та ряд розподілу або щільність імовірності) повністю описують поведінку випадкової величини. Але в ряді завдань достатньо знати деякі числові характеристики досліджуваної величини (наприклад, її середнє значення і можливе відхилення від нього), щоб відповісти на поставлене запитання. Розглянемо основні числові характеристики дискретних випадкових величин.

Визначення 7.1.Математичним очікуваннямдискретної випадкової величини називається сума творів її можливих значень на відповідні їм ймовірності:

М(Х) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п.(7.1)

Якщо число можливих значень випадкової величини нескінченно, то якщо отриманий ряд сходиться абсолютно.

Примітка 1.Математичне очікування називають іноді виваженим середнім, тому що воно приблизно дорівнює середньому арифметичному спостерігаються значень випадкової величини при великій кількості дослідів.

Примітка 2.З визначення математичного очікування випливає, що його значення не менше найменшого можливого значення випадкової величини і не більше найбільшого.

Примітка 3.Математичне очікування дискретної випадкової величини є невипадкова(Постійна) величина. Надалі побачимо, що це справедливо і для безперервних випадкових величин.

Приклад 1. Знайдемо математичне очікування випадкової величини Х- числа стандартних деталей серед трьох, відібраних із партії у 10 деталей, серед яких 2 браковані. Складемо ряд розподілу для Х. З умови завдання випливає, що Хможе набувати значень 1, 2, 3. Тоді

Приклад 2. Визначимо математичне очікування випадкової величини Х- Числа кидків монети до першої появи герба. Ця величина може приймати нескінченну кількість значень (безліч можливих значень є безліч натуральних чисел). Ряд її розподілу має вигляд:

+ (при обчисленні двічі використовувалася формула суми нескінченно спадної геометричної прогресії: , звідки ).

Властивості математичного очікування.

1) Математичне очікування постійної і найпостійнішої:

М(З) = З.(7.2)

Доведення. Якщо розглядати Зяк дискретну випадкову величину, що приймає лише одне значення Зз ймовірністю р= 1, то М(З) = З?1 = З.

2) Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:

М(СГ) = З М(Х). (7.3)

Доведення. Якщо випадкова величина Хзадана поруч розподілу

Тоді М(СГ) = Сх 1 р 1 + Сх 2 р 2 + … + Сх п р п = З(х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п) = СМ(Х).

Визначення 7.2.Дві випадкові величини називаються незалежнимиякщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які значення прийняла інша. В іншому випадку випадкові величини залежні.

Визначення 7.3.Назвемо твором незалежних випадкових величин Хі Y випадкову величину XY, можливі значення якої дорівнюють творам усіх можливих значень Хна всі можливі значення Y, А відповідні їм імовірності дорівнює творам ймовірностей співмножників.

3) Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Доведення. Для спрощення обчислень обмежимося випадком, коли Хі Yприймають лише по два можливі значення:

Отже, M(XY) = x 1 y 1 ?p 1 g 1 + x 2 y 1 ?p 2 g 1 + x 1 y 2 ?p 1 g 2 + x 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + y 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M(X)?M(Y).

Примітка 1.Аналогічно можна довести цю властивість для більшої кількості можливих значень співмножників.

Примітка 2.Властивість 3 справедливо добутку будь-якого числа незалежних випадкових величин, що доводиться методом математичної індукції.

Визначення 7.4.Визначимо суму випадкових величин Хі Y як випадкову величину Х+Y, можливі значення якої дорівнюють сумам кожного можливого значення Хз кожним можливим значенням Y; ймовірності таких сум рівні творам ймовірностей доданків (для залежних випадкових величин - творам ймовірності одного доданку на умовну ймовірність другого).

4) Математичне очікування суми двох випадкових величин (залежних або незалежних) дорівнює сумі математичних очікувань доданків:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Доведення.

Знову розглянемо випадкові величини, задані рядами розподілу, наведеними за доказом властивості 3. Тоді можливими значеннями X+Yє х 1 + у 1 , х 1 + у 2 , х 2 + у 1 , х 2 + у 2 . Позначимо їх ймовірності відповідно як р 11 , р 12 , р 21 і р 22 . Знайдемо М(Х+Y) = (x 1 + y 1)p 11 + (x 1 + y 2)p 12 + (x 2 + y 1)p 21 + (x 2 + y 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).

Доведемо, що р 11 + р 22 = р 1 . Дійсно, подія, яка полягає в тому, що X+Yнабуде значення х 1 + у 1 або х 1 + у 2 і ймовірність якого дорівнює р 11 + р 22 , збігається з подією, що полягає в тому, що Х = х 1 (його ймовірність - р 1). Аналогічно доводиться, що p 21 + p 22 = р 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2 . Значить,

M(X+Y) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Зауваження. З якості 4 випливає, що сума будь-якого числа випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків.

приклад. Знайти математичне очікування суми числа очок, що випали під час кидка п'яти гральних кісток.

Знайдемо математичне очікування числа очок, що випали під час кидка однієї кістки:

М(Х 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Тому ж числу дорівнює математичне очікування числа очок, що випали на будь-якій кістці. Отже, за якістю 4 М(Х)=

Дисперсія.

Щоб мати уявлення про поведінку випадкової величини, недостатньо знати лише її математичне очікування. Розглянемо дві випадкові величини: Хі Y, задані рядами розподілу виду

Знайдемо М(Х) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Як видно, математичні очікування обох величин рівні, але якщо для Х М(Х) добре описує поведінку випадкової величини, будучи її найбільш ймовірним можливим значенням (причому інші значення ненабагато відрізняються від 50), то значення Yістотно відстоять від М(Y). Отже, поряд з математичним очікуванням бажано знати, наскільки значення випадкової величини відхиляються від нього. Для характеристики цього є дисперсія.

Визначення 7.5.Дисперсією (розсіянням)випадкової величини називається математичне очікування квадрата її відхилення від її математичного очікування:

D(X) = M (X - M(X))². (7.6)

Знайдемо дисперсію випадкової величини Х(Числа стандартних деталей серед відібраних) у прикладі 1 даної лекції. Обчислимо значення квадрата відхилення кожного можливого значення від математичного очікування:

(1 – 2,4) 2 = 1,96; (2 – 2,4) 2 = 0,16; (3 – 2,4) 2 = 0,36. Отже,

Примітка 1.У визначенні дисперсії оцінюється не саме відхилення від середнього, яке квадрат. Це зроблено для того, щоб відхилення різних знаків не компенсували одне одного.

Примітка 2.З визначення дисперсії випливає, що ця величина набуває лише невід'ємних значень.

Примітка 3.Існує зручніша для розрахунків формула для обчислення дисперсії, справедливість якої доводиться в наступній теоремі:

Теорема 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Доведення.

Використовуючи те, що М(Х) - постійна величина, та властивості математичного очікування, перетворимо формулу (7.6) на вигляд:

D(X) = M(X - M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), що й потрібно було довести.

приклад. Обчислимо дисперсії випадкових величин Хі Y, Розглянуті на початку цього розділу. М(Х) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

М(Y) = (0 2? 0,5 ​​+ 100? 0,5) - 50? = 5000 - 2500 = 2500. Отже, дисперсія другої випадкової величини в кілька тисяч разів більше дисперсії першої. Таким чином, навіть не знаючи законів розподілу цих величин, за відомими значеннями дисперсії ми можемо стверджувати, що Хмало відхиляється від свого математичного очікування, у той час як для Yце відхилення дуже суттєво.

Властивості дисперсії.

1) Дисперсія постійної величини Здорівнює нулю:

D (C) = 0. (7.8)

Доведення. D(C) = M((C - M(C))²) = M((C - C)²) = M(0) = 0.

2) Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, звівши його у квадрат:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Доведення. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX - CM(X))²) = M(C²( X - M(X))²) =

= C² D(X).

3) Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Доведення. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Наслідок 1.Дисперсія суми кількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій.

Наслідок 2.Дисперсія суми постійної та випадкової величин дорівнює дисперсії випадкової величини.

4) Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:

D(X - Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Доведення. D(X - Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Дисперсія дає середнє значення квадрата відхилення випадкової величини середнього; з метою оцінки самого відхилення служить величина, звана середнім квадратичним відхиленням.

Визначення 7.6.Середнім квадратичним відхиленнямσ випадкової величини Хназивається квадратний корінь з дисперсії:

приклад. У попередньому прикладі середні квадратичні відхилення Хі Yрівні відповідно

Теорія ймовірності – особливий розділ математики, який вивчають лише студенти вищих навчальних закладів. Ви любите розрахунки та формули? Вас не лякають перспективи знайомства з нормальним розподілом, ентропією ансамблю, математичним очікуванням та дисперсією дискретної випадкової величини? Тоді цей предмет вам буде дуже цікавим. Познайомимося з кількома найважливішими базовими поняттями цього розділу науки.

Згадаймо основи

Навіть якщо ви пам'ятаєте найпростіші поняття теорії ймовірності, не зневажайте перших абзаців статті. Справа в тому, що без чіткого розуміння основ ви не зможете працювати з формулами, що розглядаються далі.

Отже, відбувається деяка випадкова подія, якийсь експеримент. Через війну вироблених дій ми можемо отримати кілька результатів - одні зустрічаються частіше, інші - рідше. Імовірність події - це відношення кількості реально отриманих наслідків одного типу до загального числа можливих. Тільки знаючи класичне визначення даного поняття, ви зможете розпочати вивчення математичного очікування та дисперсії безперервних випадкових величин.

Середнє арифметичне

Ще в школі на уроках математики ви починали працювати із середнім арифметичним. Це поняття широко використовується в теорії ймовірності, і тому його не можна обминути. Головним для нас зараз є те, що ми зіткнемося з ним у формулах математичного очікування та дисперсії випадкової величини.

Ми маємо послідовність чисел і хочемо знайти середнє арифметичне. Все, що від нас вимагається - підсумувати все існуюче та розділити на кількість елементів у послідовності. Нехай ми маємо числа від 1 до 9. Сума елементів дорівнюватиме 45, і це значення ми розділимо на 9. Відповідь: - 5.

Дисперсія

Говорячи науковою мовою, дисперсія – це середній квадрат відхилень отриманих значень ознаки від середньої арифметичної. Позначається одна заголовною латинською літерою D. Що потрібно, щоб її розрахувати? Для кожного елемента послідовності порахуємо різницю між наявним числом та середнім арифметичним і зведемо у квадрат. Значень вийде рівно стільки, скільки може бути результатів у події, що ми розглядаємо. Далі ми підсумовуємо все отримане та ділимо на кількість елементів у послідовності. Якщо у нас можливі п'ять наслідків, то ділимо на п'ять.

У дисперсії є й властивості, які потрібно запам'ятати, щоб застосовувати під час вирішення завдань. Наприклад, зі збільшенням випадкової величини в X разів, дисперсія збільшується в X у квадраті разів (тобто X*X). Вона ніколи не буває менше нуля і не залежить від зсуву значень на рівне значення у більшу чи меншу сторону. Крім того, для незалежних випробувань дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій.

Тепер нам обов'язково слід розглянути приклади дисперсії дискретної випадкової величини та математичного очікування.

Припустимо, що ми провели 21 експеримент та отримали 7 різних результатів. Кожен з них ми спостерігали, відповідно, 1,2,2,3,4,4 та 5 разів. Чому дорівнюватиме дисперсія?

Спочатку порахуємо середнє арифметичне: сума елементів, зрозуміло, дорівнює 21. Ділимо її на 7, отримуючи 3. Тепер із кожного числа вихідної послідовності віднімемо 3, кожне значення зведемо в квадрат, а результати складемо разом. Вийде 12. Тепер нам залишається розділити число на кількість елементів, і, начебто, все. Але є проблема! Давайте її обговоримо.

Залежність кількості експериментів

Виявляється, при розрахунку дисперсії у знаменнику може стояти одне з двох чисел: або N або N-1. Тут N - це число проведених експериментів або число елементів у послідовності (що, по суті, те саме). Від чого це залежить?

Якщо кількість випробувань вимірюється сотнями, ми повинні ставити в знаменник N. Якщо одиницями, то N-1. Кордон вчені вирішили провести досить символічно: на сьогоднішній день вона проходить за цифрою 30. Якщо експериментів ми провели менше 30, то ділити суму будемо на N-1, а якщо більше – то на N.

Завдання

Давайте повернемося до нашого прикладу розв'язання задачі на дисперсію та математичне очікування. Ми отримали проміжне число 12, яке потрібно було поділити на N чи N-1. Оскільки експериментів ми провели 21, що менше 30 виберемо другий варіант. Отже, відповідь: дисперсія дорівнює 12/2 = 2.

Математичне очікування

Перейдемо до другого поняття, яке ми обов'язково маємо розглянути цій статті. Математичне очікування - це результат складання всіх можливих наслідків, помножених на відповідні ймовірності. Важливо розуміти, що отримане значення, як і результат розрахунку дисперсії, виходить лише один раз для цілого завдання, скільки результатів у ній не розглядалося.

Формула математичного очікування досить проста: беремо результат, множимо з його ймовірність, додаємо те саме для другого, третього результату тощо. буд. Усе, що з цим поняттям, розраховується нескладно. Наприклад, сума матожиданий дорівнює маточку суми. Для твору актуально те саме. Такі прості операції дозволяє із собою виконувати далеко не кожна величина теорії ймовірності. Давайте візьмемо завдання і порахуємо значення одразу двох вивчених понять. Крім того, ми відволікалися на теорію - настав час попрактикуватися.

Ще один приклад

Ми провели 50 випробувань і отримали 10 видів результатів – цифри від 0 до 9 – які з'являються у різному відсотковому відношенні. Це відповідно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Нагадаємо, що для отримання ймовірностей потрібно розділити значення у відсотках на 100. Таким чином отримаємо 0,02; 0,1 і т.д. Представимо для дисперсії випадкової величини та математичного очікування приклад розв'язання задачі.

Середнє арифметичне розрахуємо за такою формулою, яку пам'ятаємо з молодшої школи: 50/10 = 5.

Тепер переведемо ймовірність у кількість наслідків «в штуках», щоб було зручніше рахувати. Отримаємо 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 і 9. З кожного отриманого значення віднімемо середнє арифметичне, після чого кожен із отриманих результатів зведемо в квадрат. Подивіться, як це зробити, з прикладу першого елемента: 1 - 5 = (-4). Далі: (-4) * (-4) = 16. Для решти значень проробіть ці операції самостійно. Якщо ви все зробили правильно, то після додавання всіх ви отримаєте 90.

Продовжимо розрахунок дисперсії та математичного очікування, розділивши 90 на N. Чому ми вибираємо N, а не N-1? Правильно тому, що кількість проведених експериментів перевищує 30. Отже: 90/10 = 9. Дисперсію ми отримали. Якщо у вас вийшло інше число, не засмучуйтесь. Швидше за все, ви припустилися банальної помилки при розрахунках. Перевірте ще раз написане, і напевно все стане на свої місця.

Зрештою, згадаємо формулу математичного очікування. Не будемо наводити всіх розрахунків, напишемо лише відповідь, з якою ви зможете звіритися, закінчивши всі необхідні процедури. Матоожидання дорівнюватиме 5,48. Нагадаємо лише, як здійснювати операції, з прикладу перших елементів: 0*0,02 + 1*0,1… тощо. Як бачите, ми просто множимо значення результату з його ймовірність.

Відхилення

Ще одне поняття, тісно пов'язане з дисперсією та математичним очікуванням – середнє квадратичне відхилення. Позначається воно або латинськими літерами sd, або грецькою рядковою "сигмою". Це поняття показує, наскільки у середньому відхиляються значення від центральної ознаки. Щоб знайти її значення, потрібно розрахувати квадратне коріння з дисперсії.

Якщо ви збудуєте графік нормального розподілу і захочете побачити безпосередньо на ньому квадратичного відхилення, це можна зробити в кілька етапів. Візьміть половину зображення зліва або праворуч від моди (центрального значення), проведіть перпендикуляр до горизонтальної осі так, щоб площі фігур були рівні. Величина відрізка між серединою розподілу і проекцією, що вийшла, на горизонтальну вісь і буде середнім квадратичним відхиленням.

Програмне забезпечення

Як видно з описів формул і наведених прикладів, розрахунки дисперсії та математичного очікування - не найпростіша процедура з арифметичної точки зору. Щоб не витрачати час, є сенс скористатися програмою, яка використовується у вищих навчальних закладах - вона називається «R». У ній є функції, що дозволяють розраховувати значення для багатьох понять із статистики та теорії ймовірності.

Наприклад, ви задаєте вектор значень. Робиться це так: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

На закінчення

Дисперсія та математичне очікування - це без яких складно надалі щось розрахувати. В основному курсі лекцій у вишах вони розглядаються вже у перші місяці вивчення предмета. Саме через нерозуміння цих найпростіших понять та невміння їх розрахувати багато студентів відразу починають відставати за програмою і пізніше отримують погані позначки за результатами сесії, що позбавляє їх стипендії.

Потренуйтесь хоча б один тиждень по півгодини на день, вирішуючи завдання, схожі на представлені в цій статті. Тоді на будь-якій контрольній теорії ймовірності ви впораєтеся з прикладами без сторонніх підказок і шпаргалок.

Поняття математичного очікування можна розглянути з прикладу з киданням грального кубика. При кожному кидку фіксуються окуляри, що випали. Для їхнього вираження використовуються натуральні значення в діапазоні 1 – 6.

Після певної кількості кидків за допомогою не складних розрахунків можна знайти середнє арифметичне значення очок, що випали.

Так само, як і випадання будь-якого з значень діапазону, ця величина буде випадковою.

А якщо збільшити кількість кидків у кілька разів? При великих кількостях кидків середнє арифметичне значення очок буде наближатися до конкретного числа, що отримало теоретично ймовірностей назву математичного очікування.

Отже, під математичним очікуванням розуміється середнє значення випадкової величини. Даний показник може представлятися і як виважена сума значень ймовірної величини.

Це поняття має кілька синонімів:

• середнє значення;
• середня величина;
• показник центральної тенденції;
• перший момент.

Іншими словами, воно є нічим іншим як числом, навколо якого розподіляються значення випадкової величини.

У різних сферах людської діяльності підходи до розуміння математичного очікування дещо відрізнятимуться.

Воно може розглядатися як:

• середня вигода, отримана від ухвалення якогось рішення, у тому випадку, коли таке рішення розглядається з точки зору теорії великих чисел;
• Можлива сума виграшу чи програшу (теорія азартних ігор), розрахована загалом кожної зі ставок. На сленгу вони звучать як "перевага гравця" (позитивно для гравця) або "перевага казино" (негативно для гравця);
• відсоток прибутку, отриманого від виграшу.

Матеріювання не є обов'язковим для всіх випадкових величин. Воно відсутнє для тих, у яких спостерігається розбіжність відповідної суми або інтеграла.

Властивості математичного очікування

Як і будь-якого статистичного параметра, математичному очікуванню притаманні властивості:

Основні формули для математичного очікування

Обчислення математичного очікування може виконуватися як випадкових величин, що характеризуються як безперервністю (формула А), і дискретністю (формула Б):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, де xi – значення випадкової величини, pi – ймовірності:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, де f(x) – задана щільність ймовірностей.

Приклади обчислення математичного очікування

Приклад А.

Чи можна дізнатися середнє зростання гномів у казці про Білосніжку. Відомо, що кожен із 7 гномів мав певне зростання: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 та 0,81 м.

Алгоритм обчислень досить простий:

• знаходимо суму всіх значень показника зростання (випадкова величина):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• отриману суму ділимо на кількість гномів:
  6,31:7=0,90.

Таким чином, середнє зростання гномів у казці дорівнює 90 см. Іншими словами таке математичне очікування зростання гномів.

Робоча формула - М (х) = 4 0,2 +6 0,3 +10 0,5 = 6

Практична реалізація математичного очікування

До обчислення статистичного показника математичного очікування вдаються у різних галузях практичної діяльності. Насамперед йдеться про комерційну сферу. Адже введення Гюйгенсом цього показника пов'язане з визначенням шансів, які можуть бути сприятливими або навпаки несприятливими для якоїсь події.

Цей параметр широко застосовується для оцінки ризиків, особливо якщо йдеться про фінансові вкладення.
Так, у підприємництві розрахунок математичного очікування виступає як метод для оцінювання ризику при розрахунку цін.

Також цей показник може використовуватися для розрахунку ефективності проведення тих чи інших заходів, наприклад, з охорони праці. Завдяки йому можна визначити ймовірність настання події.

Ще одна сфера застосування цього параметра – менеджмент. Також він може розраховуватися під час контролю якості продукції. Наприклад, з допомогою мат. очікування можна розрахувати можливу кількість виготовлення бракованих деталей.

Незамінним мат.ожидание виявляється і під час проведення статистичної обробки отриманих під час наукових досліджень результатів. Він дозволяє розрахувати і можливість прояву бажаного чи небажаного результату експерименту чи дослідження залежно від рівня досягнення поставленої мети. Адже її досягнення може асоціюватися з виграшем і вигодою, а її не досягнення - як програш або збиток.

Використання математичного очікування на Форекс

Практичне застосування даного статистичного параметра можливе під час операцій на валютному ринку. З його допомогою можна здійснювати аналіз успішності торгових угод. При чому збільшення значення очікування свідчить про збільшення їхньої успішності.

Також важливо пам'ятати, що математичне очікування не повинно розглядатися як єдиний статистичний параметр, який використовується для аналізу роботи трейдера. Використання кількох статистичних параметрів поряд із середнім значенням підвищує точність аналізованого в рази.

Цей параметр добре зарекомендував себе під час моніторингових спостережень за торговими рахунками. Завдяки йому виконується швидка оцінка робіт, які здійснюються на депозитному рахунку. У випадках, коли діяльність трейдера вдала і він уникає збитків, користуватися виключно розрахунком математичного очікування не рекомендується. У таких випадках не враховуються ризики, що знижує ефективність аналізу.

Проведені дослідження тактик трейдерів свідчать, що:

• найбільш ефективними виявляються тактики, що базуються на випадковому вході;
• Найменш ефективні – тактики, що базуються на структурованих входах.

У досягненні позитивних результатів не менш важливі:

• тактика управління капіталом;
• стратегії виходів

Використовуючи такий показник як математичне очікування, можна припустити яким буде прибуток або збиток при вкладенні 1 долара. Відомо, що цей показник, розрахований для всіх ігор, які практикуються у казино, на користь закладу. Саме це дає змогу заробляти гроші. У разі довгої серії ігор ймовірність втрати грошей клієнтом суттєво зростає.

Ігри професійних гравців обмежені невеликими проміжками часу, що збільшує ймовірність виграшу і знижує ризик програшу. Така сама закономірність спостерігається і під час виконання інвестиційних операцій.

Інвестор може заробити значну суму при позитивному очікуванні та вчиненні великої кількості угод за невеликий часовий проміжок.

Очікування може розглядатися як різниця між добутком відсотка прибутку (PW) на середній прибуток (AW) та ймовірність збитку (PL) на середній збиток (AL).

Як приклад, можна розглянути наступний: позиція – 12,5 тис. доларів, портфель – 100 тис. доларів, ризик на депозит – 1%. Прибутковість угод становить 40% випадків за середньої прибутку 20%. У разі збитку середні втрати становлять 5%. Розрахунок математичного очікування для угоди дає значення 625 доларів.

Математичним очікуванням випадкової величини X називається середнє значення.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), де C= const

3. M(X±Y) = M(X)±M(Y)

4. Якщо випадкові величини Xі Yнезалежні, то M(XY) = M(X)·M(Y)

Дисперсія

Дисперсією випадкової величини X називається

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – M 2 (X).

Дисперсія є мірою відхилення значень випадкової величини від свого середнього значення.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(СX) = C 2 D(X), де C= const

4. Для незалежних випадкових величин

D(X±Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X±Y) = D(X) + D(Y)±2Cov(x, y)

Квадратний корінь із дисперсії випадкової величини X називається середнім квадратичним відхиленням .

@ Завдання 3: Нехай випадкова величина X приймає всього два значення (0 або 1) з ймовірностями q, p, де p + q = 1. Знайти математичне очікування та дисперсію.

Рішення:

M(X) = 1p + 0q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 – p) 2 q = pq.

@ Завдання 4: Математичне очікування та дисперсія випадкової величини. Xрівні 8. Знайти математичне очікування та дисперсія випадкових величин: а) X – 4; б) 3X – 4.

Рішення: M(X - 4) = M (X) - 4 = 8 - 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.

@ Завдання 5: Сукупність сімей має наступний розподіл за кількістю дітей:

Визначити x 1, x 2і p 2якщо відомо, що M(X) = 2; D(X) = 0,9.

Рішення: ймовірність p 2 дорівнює p 2 = 1 - 0,1 - 0,4 - 0,35 = 0,15. Невідомі x перебувають з рівнянь: M(X) = x 1 · 0,1 + x 2 · 0,15 + 2 · 0,4 + 3 · 0,35 = 2; D(X) = · 0,1 + · 0,15 + 4 · 0,4 + 9 · 0,35 - 4 = 0,9. x1=0; x2=1.

Генеральна сукупність та вибірка. Оцінки параметрів

Вибіркове спостереження

Статистичне спостереження можна організувати суцільне і суцільне. Суцільне спостереження передбачає обстеження всіх одиниць сукупності, що вивчається (генеральної сукупності). Генеральна сукупність це безліч фізичних чи юридичних осіб, яку дослідник вивчає згідно зі своїм завданням. Це часто економічно невигідно, інколи ж і неможливо. У зв'язку з цим вивчається лише частина генеральної сукупності – вибіркова сукупність .

Результати, отримані на основі вибіркової сукупності, можна поширити на генеральну сукупність, якщо дотримуватися таких принципів:

1. Вибіркова сукупність має визначатися випадковим чином.

2. Число одиниць вибіркової сукупності має бути достатнім.

3. Повинна забезпечуватись репрезентативність ( представництво) вибірки. Репрезентативна вибірка є меншою за розміром, але точну модель тієї генеральної сукупності, яку вона повинна відображати.

Типи вибірок

У практиці застосовуються такі типи вибірок:

а) власне-випадкова; б) механічна; в) типова; г) серійна; д) комбінована.

Власно-випадкова вибірка

При власне-випадковій вибірці відбір одиниць вибіркової сукупності проводиться випадковим чином, наприклад за допомогою жеребкування або генератора випадкових чисел.

Вибірки бувають повторні та безповторні. При повторній вибірці одиниця, що потрапила у вибірку, повертається та зберігає рівну можливість знову потрапити у вибірку. При безповторній вибірці одиниця сукупності, що потрапила у вибірку, надалі у вибірці не бере участі.

Помилки властиві вибірковому спостереженню, що виникають через те, що вибіркова сукупність в повному обсязі відтворює генеральну сукупність, називаються стандартними помилками . Вони є середнім квадратичним розбіжністю між значеннями показників, отриманих за вибіркою, і відповідними значеннями показників генеральної сукупності.

Розрахункові формули стандартної помилки при випадковому повторному відборі наступна: , а при випадковому безповторному відборі наступна: , де S 2 - дисперсія вибіркової сукупності, n/N –частка вибірки, n, N- кількості одиниць у вибірковій та генеральній сукупності. При n = Nстандартна помилка m=0.

Механічна вибірка

При механічної вибірки генеральна сукупність розбивається на рівні інтервали і з кожного інтервалу випадково відбирається по одній одиниці.

Наприклад, при 2%-ї частки вибірки зі списку генеральної сукупності відбирається кожна 50-та одиниця.

Стандартна помилка механічної вибірки окреслюється помилка власне-випадкової безповторної вибірки.

Типова вибірка

При типовій вибірці генеральна сукупність розбивається на однорідні типові групи, потім із кожної групи випадково проводиться відбір одиниць.

Типовою вибіркою користуються у разі неоднорідної генеральної сукупності. Типова вибірка дає точніші результати, тому що забезпечується репрезентативність.

Наприклад, вчителі, як генеральна сукупність, розбиваються на групи за такими ознаками: стать, стаж, кваліфікація, освіта, міські та сільські школи тощо.

Стандартні помилки типової вибірки визначаються як помилки власне-випадкової вибірки, з тією різницею, що S 2замінюється середньою величиною від внутрішньогрупових дисперсій.

Серійна вибірка

При серійної вибірки генеральна сукупність розбивається деякі групи (серії), потім випадковим чином обрані групи піддаються суцільному спостереженню.

Стандартні помилки серійної вибірки визначаються як помилки власне-випадкової вибірки, з тією різницею, що S 2замінюється середньою величиною міжгрупових дисперсій.

Комбінована вибірка

Комбінована вибіркає комбінацією двох чи більше типів вибірок.

Точкова оцінка

Кінцевою метою вибіркового спостереження є визначення показників генеральної сукупності. Оскільки цього неможливо зробити безпосередньо, то генеральну сукупність поширюють характеристики вибіркової сукупності.

Принципова можливість визначення середньої арифметичної генеральної сукупності за даними середньої вибірки доводиться теорема Чебишева. При необмеженому збільшенні nймовірність того, що відмінність вибіркової середньої від генеральної середньої буде скільки завгодно, прагне 1.

Це означає, що характеристика генеральної сукупності з точністю . Така оцінка називається точковий .

Інтервальна оцінка

Базисом інтервальної оцінки є центральна гранична теорема.

Інтервальна оцінкадозволяє відповісти на запитання: всередині якого інтервалу і з якою ймовірністю знаходиться невідоме значення параметра генеральної сукупності?

Зазвичай говорять про довірчу ймовірність p = 1 – a, з якою перебуватиме в інтервалі – D< < + D, где D = t кр m > 0 гранична помилка вибірки, a - рівень значущості (ймовірність того, що нерівність буде невірною), t кр- критичне значення, що залежить від значень nта a. При малій вибірці n< 30 t крзадається за допомогою критичного значення t-розподілу Ст'юдента для двостороннього крітерія з n– 1 ступенями свободи з рівнем значущості a ( t кр(n – 1, a) знаходиться з таблиці "Критичні значення t-розподілу Ст'юдента", додаток 2). За n > 30, t кр- це квантиль нормального закону розподілу ( t крперебуває з таблиці значень функції Лапласа F(t) = (1 – a)/2 як аргумент). При p = 0,954 критичне значення t кр= 2 при p = 0,997 критичне значення t кр= 3. Це означає, що гранична помилка зазвичай більша за стандартну помилку в 2-3 рази.

Таким чином, суть методу вибірки полягає в тому, що на підставі статистичних даних деякої малої частини генеральної сукупності вдається знайти інтервал, у якому з вірогідністю pзнаходиться потрібна характеристика генеральної сукупності (середня чисельність робочих, середній бал, середня врожайність, середнє квадратичне відхилення і т.д.).

@ Завдання 1.Для визначення швидкості розрахунків із кредиторами підприємств корпорації в комерційному банку було проведено випадкову вибірку 100 платіжних документів, за якими середній термін перерахування та отримання грошей дорівнював 22 дням ( = 22) зі стандартним відхиленням 6 днів (S = 6). Імовірно p= 0,954 визначити граничну помилку вибіркової середньої та довірчий інтервал середньої тривалості розрахунків підприємств даної корпорації.

Рішення: Гранична помилка вибіркової середньої згідно(1)дорівнює D = 2· 0,6 = 1,2, а довірчий інтервал визначається (22 – 1,2; 22 + 1,2), тобто. (20,8; 23,2).

§6.5 Кореляція та регресія