Початковий рівень

Квадратні рівняння. Вичерпний гід (2019)

У терміні "квадратне рівняння" ключовим є слово "квадратне". Це означає, що в рівнянні обов'язково має бути присутня змінна (той самий ікс) у квадраті, і при цьому не повинно бути іксів у третій (і більшій) мірі.

Вирішення багатьох рівнянь зводиться до розв'язання саме квадратних рівнянь.

Давай навчимося визначати, що перед нами квадратне рівняння, а не якесь інше.

приклад 1.

Позбавимося знаменника і домножимо кожен член рівняння на

Перенесемо все в ліву частину і розташуємо члени в порядку спаду ступенів ікса

Тепер можна з упевненістю сказати, що це рівняння є квадратним!

приклад 2.

Домножимо ліву та праву частину на:

Це рівняння, хоч у ньому спочатку був, не є квадратним!

приклад 3.

Домножимо все на:

Страшно? Четвертий і другий ступені... Однак, якщо зробити заміну, то ми побачимо, що перед нами просте квадратне рівняння:

приклад 4.

Начебто є, але давай подивимося уважніше. Перенесемо все до лівої частини:

Бачиш, скоротився – і тепер це просте лінійне рівняння!

Тепер спробуй сам визначити, які з наступних рівнянь є квадратними, а які:

Приклади:

Відповіді:

1. квадратне;
2. квадратне;
3. не квадратне;
4. не квадратне;
5. не квадратне;
6. квадратне;
7. не квадратне;
8. квадратне.

Математики умовно ділять усі квадратні рівняння на вигляд:

• Повні квадратні рівняння- Рівняння, в яких коефіцієнти і, а також вільний член з не дорівнюють нулю (як у прикладі). Крім того, серед повних квадратних рівнянь виділяють наведені- це рівняння, у яких коефіцієнт (рівняння з прикладу один є не тільки повним, але ще й наведеним!)

• Неповні квадратні рівняння- Рівняння, в яких коефіцієнт або вільний член з рівні нулю:

  Неповні вони, бо в них не вистачає якогось елемента. Але в рівнянні завжди повинен бути присутнім ікс у квадраті! Інакше це буде вже не квадратне, а якесь інше рівняння.

Навіщо вигадали такий поділ? Здавалося б, є ікс у квадраті, та гаразд. Такий поділ зумовлений методами рішення. Розглянемо кожен із них докладніше.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь

Для початку зупинимося на розв'язанні неповних квадратних рівнянь – вони набагато простіші!

Неповні квадратні рівняння бувають типів:

1. , у цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.
2. , у цьому рівнянні вільний член дорівнює.
3. , у цьому рівнянні коефіцієнт та вільний член рівні.

1. в. Оскільки ми знаємо, як видобувати квадратний корінь, то давайте висловимо з цього рівняння

Вираз може бути як негативним, і позитивним. Число, зведене у квадрат, може бути негативним, адже за перемноженні двох негативних чи двох позитивних чисел - результатом завжди буде позитивне число, отже: якщо, то рівняння немає рішень.

А якщо, то отримуємо два корені. Ці формули не слід запам'ятовувати. Головне, ти маєш знати і пам'ятати завжди, що не може бути менше.

Давайте спробуємо вирішити кілька прикладів.

Приклад 5:

Розв'яжіть рівняння

Тепер залишилося витягти корінь із лівої та правої частини. Адже ти пам'ятаєш, як добувати коріння?

Відповідь:

Ніколи не забувай про коріння з негативним знаком!

Приклад 6:

Розв'яжіть рівняння

Відповідь:

Приклад 7:

Розв'яжіть рівняння

Ой! Квадрат числа не може бути негативним, а отже, у рівняння

немає коріння!

Для таких рівнянь, в яких немає коріння, математики вигадали спеціальний значок - (порожня безліч). І відповідь можна записати так:

Відповідь:

Таким чином, це квадратне рівняння має два корені. Тут немає жодних обмежень, оскільки коріння ми не витягували.
Приклад 8:

Розв'яжіть рівняння

Винесемо загальний множник за дужки:

Таким чином,

У цього рівняння два корені.

Відповідь:

Найпростіший тип неповних квадратних рівнянь (хоча вони всі прості, чи не так?). Очевидно, що дане рівняння завжди має лише один корінь:

Тут обійдемося без прикладів.

Розв'язання повних квадратних рівнянь

Нагадуємо, що повне квадратне рівняння, це рівняння виду рівняння де

Вирішення повних квадратних рівнянь трохи складніше (зовсім трохи), ніж наведених.

Запам'ятай, будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанту! Навіть неповне.

Інші способи допоможуть зробити це швидше, але якщо у тебе виникають проблеми з квадратними рівняннями, спершу освойте рішення за допомогою дискримінанта.

1. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою дискримінанта.

Рішення квадратних рівнянь у цей спосіб дуже просте, головне запам'ятати послідовність дій і кілька формул.

Якщо, то рівняння має кореня Потрібно особливу увагу звернути на крок. Дискримінант () вказує на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то формула на кроці скоротиться до. Таким чином, рівняння матиме всього корінь.
• Якщо, то ми не зможемо витягти коріння з дискримінанта на кроці. Це свідчить про те, що рівняння немає коренів.

Повернемося до наших рівнянь та розглянемо кілька прикладів.

Приклад 9:

Розв'яжіть рівняння

Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

А отже рівняння має два корені.

Крок 3

Відповідь:

Приклад 10:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлене у стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

Отже, рівняння має один корінь.

Відповідь:

Приклад 11:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлене у стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

Отже ми не зможемо витягти коріння з дискримінанта. Коренів рівняння немає.

Тепер знаємо, як правильно записувати такі відповіді.

Відповідь:Коренів немає

2. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта.

Якщо ти пам'ятаєш, тобто такий тип рівнянь, які називаються наведеними (коли коефіцієнт дорівнює):

Такі рівняння дуже просто вирішувати, використовуючи теорему Вієта:

Сума коренів наведеногоквадратного рівняння дорівнює, а добуток коріння дорівнює.

Приклад 12:

Розв'яжіть рівняння

Це рівняння підходить рішення з використанням теореми Виета, т.к. .

Сума коренів рівняння дорівнює, тобто. отримуємо перше рівняння:

А твір одно:

Складемо і вирішимо систему:

• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Відповідь: ; .

Приклад 13:

Розв'яжіть рівняння

Відповідь:

Приклад 14:

Розв'яжіть рівняння

Наведене рівняння, а значить:

Відповідь:

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Що таке квадратне рівняння?

Іншими словами, квадратне рівняння – це рівняння виду, де – невідоме, – деякі числа, причому.

Число називають старшим або першим коефіцієнтомквадратного рівняння, - другим коефіцієнтом, а - вільним членом.

Чому? Тому що якщо рівняння відразу стане лінійним, т.к. пропаде.

При цьому і можуть дорівнювати нулю. У цьому стулче рівняння називають неповним. Якщо все складові дома, тобто, рівняння - повне.

Розв'язання різних типів квадратних рівнянь

Методи розв'язання неповних квадратних рівнянь:

Для початку розберемо методи розв'язків неповних квадратних рівнянь – вони простіші.

Можна виділити тип таких рівнянь:

I. , у цьому рівнянні коефіцієнт та вільний член рівні.

ІІ. , у цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.

ІІІ. , у цьому рівнянні вільний член дорівнює.

Тепер розглянемо рішення кожного із цих підтипів.

Очевидно, що дане рівняння завжди має лише один корінь:

Число, зведене у квадрат, може бути негативним, адже за перемноженні двох негативних чи двох позитивних чисел результатом завжди буде позитивне число. Тому:

якщо, то рівняння немає рішень;

якщо, маємо навчаємо два корені

Ці формули не слід запам'ятовувати. Головне пам'ятати, що не може бути менше.

Приклади:

Рішення:

Відповідь:

Ніколи не забувай про коріння із негативним знаком!

Квадрат числа не може бути негативним, а отже, у рівняння

немає коріння.

Щоб коротко записати, що завдання немає рішень, використовуємо значок порожньої множини.

Відповідь:

Отже, це рівняння має два корені: і.

Відповідь:

Винесемо загальним множник за дужки:

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. А це означає, що рівняння має рішення, коли:

Отже, це квадратне рівняння має два корені: і.

Приклад:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Розкладемо ліву частину рівняння на множники і знайдемо коріння:

Відповідь:

Методи розв'язання повних квадратних рівнянь:

1. Дискримінант

Вирішувати квадратні рівняння цим способом легко, головне запам'ятати послідовність дій та пару формул. Запам'ятай будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанта! Навіть неповне.

Ти помітив корінь із дискримінанта у формулі для коріння? Але дискримінант може бути негативним. Що робити? Потрібно особливу увагу звернути на крок 2. Дискримінант вказує на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то рівняння має коріння:
• Якщо, то рівняння має однакові корені, а по суті, один корінь:

  Таке коріння називається дворазовим.

• Якщо, то корінь із дискримінанта не витягується. Це свідчить про те, що рівняння немає коренів.

Чому можлива різна кількість коренів? Звернемося до геометричного змісту квадратного рівняння. Графік функції є параболою:

У окремому випадку, яким є квадратне рівняння, . І це означає, що коріння квадратного рівняння, це точки перетину з віссю абсцис (вісь). Парабола може взагалі не перетинати вісь або перетинати її в одній (коли вершина параболи лежить на осі) або двох точках.

Крім того, за напрямок гілок параболи відповідає коефіцієнт. Якщо, то гілки параболи спрямовані вгору, а якщо – то вниз.

Приклади:

Рішення:

Відповідь:

Відповідь: .

Відповідь:

Отже, рішень немає.

Відповідь: .

2. Теорема Вієта

Використовувати теорему Вієта дуже легко: потрібно лише підібрати таку пару чисел, добуток яких дорівнює вільному члену рівняння, а сума - другому коефіцієнту, взятому зі зворотним знаком.

Важливо пам'ятати, що теорему Вієта можна застосовувати тільки в наведені квадратні рівняння ().

Розглянемо кілька прикладів:

Приклад №1:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Це рівняння підходить рішення з використанням теореми Виета, т.к. . Інші коефіцієнти: ; .

Сума коренів рівняння дорівнює:

А твір одно:

Підберемо такі пари чисел, добуток яких рівний, і перевіримо, чи дорівнює їх сума:

• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Таким чином, і – коріння нашого рівняння.

Відповідь: ; .

Приклад №2:

Рішення:

Підберемо такі пари чисел, які у творі дають, а потім перевіримо, чи дорівнює їхня сума:

та: у сумі дають.

та: у сумі дають. Щоб отримати, досить просто поміняти знаки передбачуваного коріння: і твір.

Відповідь:

Приклад №3:

Рішення:

Вільний член рівняння негативний, отже, і твір коренів - негативне число. Це можливо тільки якщо один із коренів негативний, а інший - позитивний. Тому сума коренів дорівнює різниці їх модулів.

Підберемо такі пари чисел, які у творі дають, і різниця яких дорівнює:

і: їхня різниця дорівнює - не підходить;

та: - не підходить;

та: - не підходить;

та: - підходить. Залишається лише згадати, що одне з коренів негативне. Так як їх сума повинна дорівнювати, то негативним має бути менший за модулем корінь: . Перевіряємо:

Відповідь:

Приклад №4:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Наведене рівняння, а значить:

Вільний член негативний, отже, і твір коренів негативно. А це можливо тільки тоді, коли один корінь рівняння негативний, а інший позитивний.

Підберемо такі пари чисел, добуток яких дорівнює, а потім визначимо, яке коріння має мати негативний знак:

Очевидно, що під першу умову підходять тільки коріння та:

Відповідь:

Приклад №5:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Наведене рівняння, а значить:

Сума коренів негативна, а це означає що, принаймні, один із коренів негативний. Але оскільки їхній твір позитивний, то значить обидва корені зі знаком мінус.

Підберемо такі пари чисел, добуток яких дорівнює:

Очевидно, що корінням є числа в.

Відповідь:

Погодься, це дуже зручно – вигадувати коріння усно, замість того, щоб вважати цей неприємний дискримінант. Намагайся використовувати теорему Вієта якнайчастіше.

Але теорема Вієта потрібна для того, щоб полегшити та прискорити знаходження коріння. Щоб тобі було вигідно її використати, ти маєш довести дії до автоматизму. А для цього вирішуй ще п'ять прикладів. Але не шахрай: дискримінант використовувати не можна! Тільки теорему Вієта:

Розв'язання завдань для самостійної роботи:

Завдання 1. ((x)^(2))-8x+12=0

За теоремою Вієта:

Як завжди, починаємо підбір з твору:

Не підходить, оскільки сума;

: сума - те що треба

Відповідь: ; .

Завдання 2.

І знову наша улюблена теорема Вієта: у сумі має вийти, а твір рівний.

Але оскільки має бути не, а, міняємо знаки коріння: і (у сумі).

Відповідь: ; .

Завдання 3.

Хм… А де тут що?

Потрібно перенести всі складові в одну частину:

Сума коренів дорівнює, твір.

Так стоп! Рівняння не наведене. Але теорема Вієта застосовна лише у наведених рівняннях. Тож спочатку потрібно рівняння навести. Якщо навести не виходить, кидай цю витівку і вирішуй іншим способом (наприклад, через дискримінант). Нагадаю, що навести квадратне рівняння - значить зробити старший коефіцієнт рівним:

Чудово. Тоді сума коренів дорівнює, а твір.

Тут підібрати простіше простого: адже - просте число (вибач за тавтологію).

Відповідь: ; .

Завдання 4.

Вільний член негативний. Що у цьому особливого? А те, що коріння буде різних знаків. І тепер під час підбору перевіряємо не суму коренів, а різницю їх модулів: ця різниця дорівнює, а твір.

Отже, коріння рівні і, але один із них з мінусом. Теорема Вієта говорить нам, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту зі зворотним знаком, тобто. Значить, мінус буде у меншого кореня: і оскільки.

Відповідь: ; .

Завдання 5.

Що потрібно зробити насамперед? Правильно, навести рівняння:

Знову: підбираємо множники числа, і їх різниця повинна дорівнювати:

Коріння рівні і, але одне з них з мінусом. Який? Їхня сума має дорівнювати, отже, з мінусом буде більший корінь.

Відповідь: ; .

Підіб'ю підсумок:

1. Теорема Вієта використовується лише у наведених квадратних рівняннях.
2. Використовуючи теорему Вієта, можна знайти коріння підбором, усно.
3. Якщо рівняння не наводиться або не знайшлося жодної відповідної пари множників вільного члена, значить цілих коренів немає, і потрібно вирішувати іншим способом (наприклад, через дискримінант).

3. Метод виділення повного квадрата

Якщо всі доданки, що містять невідоме, подати у вигляді доданків із формул скороченого множення - квадрата суми або різниці - то після заміни змінних можна уявити рівняння у вигляді неповного квадратного рівняння типу.

Наприклад:

Приклад 1:

Розв'яжіть рівняння: .

Рішення:

Відповідь:

Приклад 2:

Розв'яжіть рівняння: .

Рішення:

Відповідь:

У загальному вигляді перетворення виглядатиме так:

Звідси випливає: .

Нічого не нагадує? Це ж дискримінант! Саме так, формулу дискримінанта так і отримали.

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Квадратне рівняння- це рівняння виду, де невідоме, - коефіцієнти квадратного рівняння, - вільний член.

Повне квадратне рівняння- Рівняння, в якому коефіцієнти, не дорівнюють нулю.

Наведене квадратне рівняння- Рівняння, у якому коефіцієнт, тобто: .

Неповне квадратне рівняння- рівняння, в якому коефіцієнт або вільний член з рівні нулю:

• якщо коефіцієнт, рівняння має вигляд: ,
• якщо вільний член, рівняння має вигляд:
• якщо і, рівняння має вигляд: .

1. Алгоритм розв'язання неповних квадратних рівнянь

1.1. Неповне квадратне рівняння виду, де:

1) Виразимо невідоме: ,

2) Перевіряємо знак виразу:

• якщо, то рівняння немає рішень,
• якщо, то рівняння має два корені.

1.2. Неповне квадратне рівняння виду, де:

1) Винесемо загальним множник за дужки: ,

2) Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, рівняння має два корені:

1.3. Неповне квадратне рівняння виду, де:

Дане рівняння має тільки один корінь: .

2. Алгоритм розв'язання повних квадратних рівнянь виду де

2.1. Рішення за допомогою дискримінанта

1) Наведемо рівняння до стандартного вигляду: ,

2) Обчислимо дискримінант за формулою: , який вказує на кількість коренів рівняння:

3) Знайдемо коріння рівняння:

• якщо, то рівняння має корені, що знаходяться за формулою:
• якщо, то рівняння має корінь, що знаходиться за формулою:
• якщо, то рівняння не має коріння.

2.2. Рішення за допомогою теореми Вієта

Сума коренів наведеного квадратного рівняння (рівняння виду, де) дорівнює, а добуток коренів дорівнює, тобто. , а.

2.3. Рішення методом виділення повного квадрата

Протягом теми «Рішення рівнянь» матеріал цієї статті познайомить вас із квадратними рівняннями.

Розглянемо все докладно: суть і запис квадратного рівняння, поставимо супутні терміни, розберемо схему розв'язання неповних і повних рівнянь, познайомимося з формулою коренів і дискримінантом, встановимо зв'язки між корінням і коефіцієнтами, і наведемо наочне рішення практичних прикладів.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадратне рівняння, його види

Квадратне рівняння– це рівняння, записане як a · x 2 + b · x + c = 0, де x- Змінна, a, b і c- Деякі числа, при цьому aнемає нуль.

Найчастіше квадратні рівняння також звуться рівнянь другого ступеня, оскільки насправді квадратне рівняння є алгебраїчне рівняння другого ступеня.

Наведемо приклад для ілюстрації заданого визначення: 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 = 0 і т.п. - Це квадратні рівняння.

Визначення 2

Числа a, b і c– це коефіцієнти квадратного рівняння a · x 2 + b · x + c = 0, при цьому коефіцієнт aносить назву першого, або старшого, або коефіцієнта при x 2 b - другого коефіцієнта, або коефіцієнта при x, а cназивають вільним членом.

Наприклад, у квадратному рівнянні 6 · x 2 − 2 · x − 11 = 0старший коефіцієнт дорівнює 6 другий коефіцієнт є − 2 , а вільний член дорівнює − 11 . Звернемо увагу на той факт, що коли коефіцієнти bта/або c є негативними, то використовується коротка форма запису виду 6 · x 2 − 2 · x − 11 = 0, а не 6 · x 2 + (−2) · x + (− 11) = 0.

Уточнимо також такий аспект: якщо коефіцієнти aта/або bрівні 1 або − 1 , то явної участі в записі квадратного рівняння вони можуть не брати, що пояснюється особливостями запису вказаних числових коефіцієнтів. Наприклад, у квадратному рівнянні y 2 − y + 7 = 0старший коефіцієнт дорівнює 1 а другий коефіцієнт є − 1 .

Наведені та ненаведені квадратні рівняння

За значенням першого коефіцієнта квадратні рівняння поділяють на наведені та ненаведені.

Визначення 3

Наведене квадратне рівняння- Це квадратне рівняння, де старший коефіцієнт дорівнює 1. За інших значень старшого коефіцієнта квадратне рівняння є ненаведеним.

Наведемо приклади: квадратні рівняння x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 є наведеними, у кожному з яких старший коефіцієнт дорівнює 1 .

9 · x 2 − x − 2 = 0- ненаведене квадратне рівняння, де перший коефіцієнт відмінний від 1 .

Будь-яке ненаведене квадратне рівняння можна перетворити на наведене рівняння, якщо розділити обидві його частини на перший коефіцієнт (рівносильне перетворення). Перетворене рівняння матиме таке ж коріння, як і задане ненаведене рівняння або не мати коріння зовсім.

Розгляд конкретного прикладу дозволить нам продемонструвати виконання переходу від ненаведеного квадратного рівняння до наведеного.

Приклад 1

Задано рівняння 6 · x 2 + 18 · x − 7 = 0 . Необхідно перетворити вихідне рівняння на наведену форму.

Рішення

Згідно з зазначеною вище схемою розділимо обидві частини вихідного рівняння на старший коефіцієнт 6 . Тоді отримаємо: (6 · x 2 + 18 · x − 7): 3 = 0: 3, і це те саме, що: (6 · x 2) : 3 + (18 · x) : 3 − 7: 3 = 0і далі: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · x − 7: 6 = 0 .Звідси: x 2 + 3 · x - 1 1 6 = 0. Таким чином, отримано рівняння, рівносильне заданому.

Відповідь: x 2 + 3 · x - 1 1 6 = 0.

Повні та неповні квадратні рівняння

Звернемося до визначення квадратного рівняння. У ньому ми уточнили, що a ≠ 0. Подібна умова необхідна, щоб рівняння a · x 2 + b · x + c = 0було саме квадратним, оскільки при a = 0воно по суті перетворюється на лінійне рівняння b · x + c = 0.

У разі, коли коефіцієнти bі cрівні нулю (що можливо, як окремо, і спільно), квадратне рівняння зветься неповного.

Визначення 4

Неповне квадратне рівняння– таке квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c = 0де хоча б один із коефіцієнтів bі c(або обидва) дорівнює нулю.

Повне квадратне рівняння- Квадратне рівняння, в якому всі числові коефіцієнти не рівні нулю.

Поміркуємо, чому типу квадратних рівнянь дано саме такі назви.

При b = 0 квадратне рівняння набуде вигляду a · x 2 + 0 · x + c = 0, що те саме, що a · x 2 + c = 0. При c = 0квадратне рівняння записано як a · x 2 + b · x + 0 = 0, що рівносильно a · x 2 + b · x = 0. При b = 0і c = 0рівняння набуде вигляду a · x 2 = 0. Рівняння, які ми отримали, відмінні від повного квадратного рівняння тим, що в їх лівих частинах не міститься або доданку зі змінною x, або вільного члена, або обох одночасно. Власне, цей факт і поставив назву такого типу рівнянь – неповна.

Наприклад, x 2 + 3 · x + 4 = 0 і − 7 · x 2 − 2 · x + 1 , 3 = 0 – це повні квадратні рівняння; x 2 = 0, − 5 · x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 · x = 0 – неповні квадратні рівняння.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь

Задане вище визначення дозволяє виділити такі види неповних квадратних рівнянь:

• a · x 2 = 0, такому рівнянню відповідають коефіцієнти b = 0і c = 0;
• a · x 2 + c = 0 при b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 при c = 0.

Розглянемо послідовно розв'язання кожного виду неповного квадратного рівняння.

Розв'язання рівняння a x 2 = 0

Як було зазначено вище, такому рівнянню відповідають коефіцієнти bі c, що дорівнює нулю. Рівняння a · x 2 = 0можна перетворити на рівносильне йому рівняння x 2 = 0, яке ми отримаємо, поділивши обидві частини вихідного рівняння на число a, Не рівне нулю. Очевидний факт, що корінь рівняння x 2 = 0це нуль, оскільки 0 2 = 0 . Іншого коріння це рівняння не має, що можна пояснити властивостями ступеня: для будь-якого числа p ,не рівного нулю, вірна нерівність p 2 > 0, з чого випливає, що за p ≠ 0рівність p 2 = 0ніколи не буде досягнуто.

Визначення 5

Таким чином, для неповного квадратного рівняння a · x 2 = 0 існує єдиний корінь x = 0.

Приклад 2

Наприклад вирішимо неповне квадратне рівняння − 3 · x 2 = 0. Йому рівносильне рівняння x 2 = 0, його єдиним коренем є x = 0тоді і вихідне рівняння має єдиний корінь - нуль.

Коротко рішення оформляється так:

− 3 · x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Розв'язання рівняння a · x 2 + c = 0

На черзі - розв'язання неповних квадратних рівнянь, де b = 0 c ≠ 0 тобто рівнянь виду a · x 2 + c = 0. Перетворимо це рівняння, перенісши доданок з однієї частини рівняння на іншу, змінивши знак на протилежний і розділивши обидві частини рівняння на число, що не дорівнює нулю:

• переносимо cу праву частину, що дає рівняння a · x 2 = − c;
• ділимо обидві частини рівняння на a, Отримуємо в результаті x = - C a.

Наші перетворення є рівносильними, відповідно отримане рівняння також рівносильно вихідному, і цей факт дає можливість робити висновок про коріння рівняння. Від того, які значення aі cзалежить значення виразу - c a: воно може мати знак мінус (припустимо, якщо a = 1і c = 2тоді - c a = - 2 1 = - 2) або знак плюс (наприклад, якщо a = − 2і c = 6, то - c a = - 6 - 2 = 3); воно не дорівнює нулю, оскільки c ≠ 0. Докладніше зупинимося на ситуаціях, коли - c a< 0 и - c a > 0 .

У разі коли - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа pрівність p 2 = - c a може бути вірним.

Все інакше, коли - c a > 0: згадаємо про квадратне коріння, і стане очевидним, що коренем рівняння x 2 = - c a буде число - c a , оскільки - c a 2 = - c a . Неважко зрозуміти, що число - - a - також корінь рівняння x 2 = - a: дійсно, - - a 2 = - c a .

Іншого коріння рівняння не матиме. Ми можемо це продемонструвати, використовуючи метод протилежного. Для початку поставимо позначення знайдених вище коренів як x 1і − x 1. Висловимо припущення, що рівняння x 2 = - a має також корінь x 2, який відрізняється від коріння x 1і − x 1. Ми знаємо, що, підставивши в рівняння замість xйого коріння, перетворимо рівняння на справедливу числову рівність.

Для x 1і − x 1запишемо: x 1 2 = - c a , а для x 2- x 2 2 = - C a. Спираючись на властивості числових рівностей, почленно віднімемо одну правильну рівність з іншої, що дасть нам: x 1 2 − x 2 2 = 0. Використовуємо властивості дій з числами, щоб переписати останню рівність як (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Відомо, що добуток двох чисел є нуль тоді і лише тоді, коли хоча б одне із чисел є нулем. Зі сказаного випливає, що x 1 − x 2 = 0та/або x 1 + x 2 = 0, що те саме, x 2 = x 1та/або x 2 = − x 1. Виникла очевидна суперечність, адже спочатку було зумовлено, що корінь рівняння x 2відрізняється від x 1і − x 1. Так, ми довели, що рівняння не має іншого коріння, крім x = - c a і x = - c a .

Резюмуємо всі міркування вище.

Визначення 6

Неповне квадратне рівняння a · x 2 + c = 0рівносильне рівнянню x 2 = - c a , яке:

• не матиме коріння при - c a< 0 ;
• матиме два корені x = - c a та x = - - c a при - c a > 0 .

Наведемо приклади розв'язування рівнянь a · x 2 + c = 0.

Приклад 3

Задано квадратне рівняння 9 · x 2 + 7 = 0.Потрібно знайти його рішення.

Рішення

Перенесемо вільний член у праву частину рівняння, тоді рівняння набуде вигляду 9 · x 2 = − 7 .
Розділимо обидві частини отриманого рівняння на 9 прийдемо до x 2 = - 7 9 . У правій частині бачимо число зі знаком мінус, що означає: задане рівняння не має коріння. Тоді й вихідне неповне квадратне рівняння 9 · x 2 + 7 = 0не матиме коріння.

Відповідь:рівняння 9 · x 2 + 7 = 0не має коріння.

Приклад 4

Необхідно вирішити рівняння − x 2 + 36 = 0.

Рішення

Перенесемо 36 у праву частину: − x 2 = − 36.
Розділимо обидві частини на − 1 , отримаємо x 2 = 36. У правій частині - позитивне число, звідси можна дійти невтішного висновку, що x = 36 або x = -36.
Виймемо корінь і запишемо остаточний підсумок: неповне квадратне рівняння − x 2 + 36 = 0має два корені x = 6або x = − 6.

Відповідь: x = 6або x = − 6.

Розв'язання рівняння a x 2 + b x = 0

Розберемо третій вид неповних квадратних рівнянь, коли c = 0. Щоб знайти розв'язок неповного квадратного рівняння a · x 2 + b · x = 0, скористаємося методом розкладання на множники Розкладемо на множники багаточлен, що знаходиться в лівій частині рівняння, винісши за дужки загальний множник x. Цей крок дасть можливість перетворити вихідне неповне квадратне рівняння на рівносильне йому x · (a · x + b) = 0. А це рівняння, у свою чергу, рівносильне сукупності рівнянь x = 0і a · x + b = 0. Рівняння a · x + b = 0лінійне, і корінь його: x = − b a.

Визначення 7

Таким чином, неповне квадратне рівняння a · x 2 + b · x = 0матиме два корені x = 0і x = − b a.

Закріпимо матеріал прикладом.

Приклад 5

Необхідно знайти рішення рівняння 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Рішення

Винесемо xза дужки та отримаємо рівняння x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Це рівняння рівносильне рівнянням x = 0та 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Тепер слід розв'язати отримане лінійне рівняння: 2 3 · x = 2 2 7 x = 2 2 7 2 3 .

Коротко рішення рівняння запишемо так:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0

x = 0 або 2 3 · x - 2 2 7 = 0

x = 0 або x = 3 3 7

Відповідь: x = 0, x = 3 3 7 .

Дискримінант, формула коренів квадратного рівняння

Для знаходження розв'язання квадратних рівнянь існує формула коренів:

Визначення 8

x = - b ± D 2 · a де D = b 2 − 4 · a · c- Так званий дискримінант квадратного рівняння.

Запис x = - b ± D 2 · a по суті означає, що x 1 = - b + D 2 · a x 2 = - b - D 2 · a .

Не зайвим буде розуміти, як було виведено зазначену формулу і як її застосовувати.

Висновок формули коріння квадратного рівняння

Нехай перед нами стоїть завдання розв'язати квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c = 0. Здійснимо ряд рівносильних перетворень:

• розділимо обидві частини рівняння на число a, Відмінне від нуля, отримаємо наведене квадратне рівняння: x 2 + b a · x + c a = 0;
• виділимо повний квадрат в лівій частині рівняння, що вийшло:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Після цього рівняння набуде вигляду: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• тепер можна зробити перенесення двох останніх доданків у праву частину, змінивши знак на протилежний, після чого отримуємо: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• нарешті, перетворимо вираз, записаний у правій частині останньої рівності:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Таким чином, ми дійшли рівняння x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , рівносильному вихідному рівнянню a · x 2 + b · x + c = 0.

Вирішення подібних рівнянь ми розбирали в попередніх пунктах (вирішення неповних квадратних рівнянь). Вже отриманий досвід дає можливість зробити висновок щодо коренів рівняння x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• при b 2 - 4 · a · c 4 · a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• при b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 рівняння має вигляд x + b 2 · a 2 = 0 тоді x + b 2 · a = 0 .

Звідси очевидний єдиний корінь x = - b 2 · a;

• при b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 вірним буде: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 або x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , що те саме, що x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 або x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, тобто. рівняння має два корені.

Можливо зробити висновок, що наявність або відсутність коренів рівняння x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (а значить і вихідного рівняння) залежить від знака виразу b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, записаного у правій частині. А знак цього виразу задається знаком чисельника, (знаменник 4 · a 2завжди буде позитивним), тобто, знаком виразу b 2 − 4 · a · c. Цьому виразу b 2 − 4 · a · cдано назву - дискримінант квадратного рівняння і визначена як його позначення літера D. Тут можна записати суть дискримінанта - за його значенням і знаком роблять висновок, чи буде квадратне рівняння мати дійсне коріння, і, якщо буде, то яка кількість коренів - один або два.

Повернемося до рівняння x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Перепишемо його, використовуючи позначення дискримінанта: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Знову сформулюємо висновки:

Визначення 9

• при D< 0 рівняння не має дійсних коренів;
• при D = 0рівняння має єдиний корінь x = - b 2 · a;
• при D > 0рівняння має два корені: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 або x = - b 2 · a - D 4 · a 2 . Це коріння на основі властивості радикалів можна записати у вигляді: x = - b 2 · a + D 2 · a або - b 2 · a - D 2 · a . А коли розкриємо модулі і приведемо дроби до спільного знаменника, отримаємо: x = - b + D 2 · a , x = - b - D 2 · a .

Так, результатом наших міркувань стало виведення формули коріння квадратного рівняння:

x = - b + D 2 · a , x = - b - D 2 · a , дискримінант Dобчислюється за формулою D = b 2 − 4 · a · c.

Дані формули дають можливість при дискримінанті більше нуля визначити обидва дійсні корені. Коли дискримінант дорівнює нулю, застосування обох формул дасть той самий корінь, як єдине рішення квадратного рівняння. У випадку, коли дискримінант негативний, спробувавши використати формулу кореня квадратного рівняння, ми зіткнемося з необхідністю витягти квадратний корінь із негативного числа, що виведе нас за межі дійсних чисел. При негативному дискримінанті у квадратного рівняння не буде дійсних коренів, але можлива пара комплексно пов'язаних коренів, що визначаються тими самими отриманими нами формулами коренів.

Алгоритм розв'язання квадратних рівнянь за формулами коренів

Вирішити квадратне рівняння можливо, відразу задіюючи формулу коренів, але в основному так роблять при необхідності знайти комплексне коріння.

У більшості випадків зазвичай мається на увазі пошук не комплексних, а дійсних коренів квадратного рівняння. Тоді оптимально перед тим, як використовувати формули коренів квадратного рівняння, спочатку визначити дискримінант і переконатися, що він не є негативним (інакше зробимо висновок, що у рівняння немає дійсних коренів), а потім приступити до обчислення значення коренів.

Міркування вище дають можливість сформулювати алгоритм розв'язання квадратного рівняння.

Визначення 10

Щоб розв'язати квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c = 0, необхідно:

• за формулою D = b 2 − 4 · a · cвизначити значення дискримінанта;
• при D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• при D = 0 знайти єдиний корінь рівняння за формулою x = - b 2 · a;
• при D > 0 визначити два дійсних кореня квадратного рівняння за формулою x = - b ± D 2 · a.

Зазначимо, що коли дискримінант є нуль, можна використовувати формулу x = - b ± D 2 · a , вона дасть той же результат, що і формула x = - b 2 · a .

Розглянемо приклади.

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Наведемо рішення прикладів за різних значень дискримінанта.

Приклад 6

Необхідно знайти коріння рівняння x 2 + 2 · x − 6 = 0.

Рішення

Запишемо числові коефіцієнти квадратного рівняння: a = 1, b = 2 і c = − 6. Далі діємо алгоритмом, тобто. приступимо до обчислення дискримінанта, для чого підставимо коефіцієнти a, b і cу формулу дискримінанта: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Отже, ми отримали D > 0 , а це означає, що вихідне рівняння матиме два дійсні корені.
Для їхнього знаходження використовуємо формулу кореня x = - b ± D 2 · a і, підставивши відповідні значення, отримаємо: x = - 2 ± 28 2 · 1 . Спростимо отриманий вираз, винісши множник за знак кореня з наступним скороченням дробу:

x = - 2 ± 2 · 7 2

x = - 2 + 2 · 7 2 або x = - 2 - 2 · 7 2

x = - 1 + 7 або x = - 1 - 7

Відповідь: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7 .

Приклад 7

Необхідно розв'язати квадратне рівняння − 4 · x 2 + 28 · x − 49 = 0.

Рішення

Визначимо дискримінант: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. При такому значенні дискримінанта вихідне рівняння матиме лише один корінь, який визначається за формулою x = - b 2 · a .

x = - 28 2 · (- 4) x = 3 , 5

Відповідь: x = 3, 5.

Приклад 8

Необхідно вирішити рівняння 5 · y 2 + 6 · y + 2 = 0

Рішення

Числові коефіцієнти цього рівняння будуть: a = 5 b = 6 і c = 2 . Використовуємо ці значення для знаходження дискримінанта: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Обчислений дискримінант негативний, таким чином, вихідне квадратне рівняння не має дійсних коренів.

У разі, коли стоїть завдання вказати комплексне коріння, застосуємо формулу коренів, виконуючи дії з комплексними числами:

x = - 6 ± - 4 2 · 5

x = - 6 + 2 · i 10 або x = - 6 - 2 · i 10

x = - 3 5 + 1 5 · i або x = - 3 5 - 1 5 · i.

Відповідь:дійсне коріння відсутнє; комплексні коріння наступні: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

У шкільній програмі стандартно немає вимоги шукати комплексне коріння, тому, якщо в ході рішення дискримінант визначений як негативний, відразу записується відповідь, що дійсних коренів немає.

Формула коренів для парних других коефіцієнтів

Формула коренів x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) дає можливість отримати ще одну формулу, більш компактну, що дозволяє знаходити розв'язки квадратних рівнянь з парним коефіцієнтом при x (або з коефіцієнтом виду 2 · n, наприклад, 2 · 3 або 14 · ln 5 = 2 · 7 · ln 5). Покажемо, як виводиться ця формула.

Нехай перед нами стоїть завдання знайти розв'язок квадратного рівняння a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Діємо за алгоритмом: визначаємо дискримінант D = (2 · n) 2 - 4 · a · c = 4 · n 2 - 4 · a · c = 4 · (n 2 - a · c), а потім використовуємо формулу коренів:

x = - 2 · n ± D 2 · a , x = - 2 · n ± 4 · n 2 - a · c 2 · a , x = - 2 · n ± 2 n 2 - a · c 2 · a , x = - n ± n 2 - a · c a.

Нехай вираз n 2 − a · c буде позначено як D 1 (іноді його позначають D "). Тоді формула коренів квадратного рівняння, що розглядається, з другим коефіцієнтом 2 · n набуде вигляду:

x = - n ± D 1 a , де D 1 = n 2 − a · c.

Легко побачити, що D = 4 · D 1 або D 1 = D 4 . Інакше висловлюючись, D 1 – це чверть дискримінанта. Очевидно, що знак D 1 такий самий, як знак D , а значить знак D 1 може служити індикатором наявності або відсутності коренів квадратного рівняння.

Визначення 11

Таким чином, щоб знайти розв'язок квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2 · n необхідно:

• знайти D 1 = n 2 − a · c;
• при D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• при D 1 = 0 визначити єдиний корінь рівняння за формулою x = - n a;
• при D 1 > 0 визначити два дійсних кореня за формулою x = - n ± D 1 a.

Приклад 9

Необхідно розв'язати квадратне рівняння 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 .

Рішення

Другий коефіцієнт заданого рівняння можемо уявити як 2 · (− 3) . Тоді перепишемо задане квадратне рівняння як 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 де a = 5 , n = − 3 і c = − 32 .

Обчислимо четверту частину дискримінанта: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169 . Отримане значення позитивно, це означає, що рівняння має два дійсні корені. Визначимо їх за відповідною формулою коренів:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 або x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 або x = - 2

Можливо було б зробити обчислення і за звичайною формулою коренів квадратного рівняння, але в такому разі рішення було б більш громіздким.

Відповідь: x = 3 1 5 або x = -2.

Спрощення виду квадратних рівнянь

Іноді є можливість оптимізувати вид вихідного рівняння, що дозволить спростити процес обчислення коренів.

Наприклад, квадратне рівняння 12 · x 2 − 4 · x − 7 = 0 явно зручніше для розв'язання, ніж 1200 · x 2 − 400 · x − 700 = 0 .

Найчастіше спрощення виду квадратного рівняння виробляється процесами множення чи розподілу його обох елементів на деяке число. Наприклад, ми показали спрощену запис рівняння 1200 · x 2 − 400 · x − 700 = 0 , отриману розподілом обох його частин на 100 .

Таке перетворення можливе, коли коефіцієнти квадратного рівняння є взаємно простими числами. Тоді зазвичай здійснюють розподіл обох частин рівняння найбільший загальний дільник абсолютних величин його коефіцієнтів.

Як приклад використовуємо квадратне рівняння 12 · x 2 - 42 · x + 48 = 0. Визначимо НОД абсолютних величин його коефіцієнтів: НОД (12 , 42 , 48) = НОД (НОД (12 , 42) , 48) = НОД (6 , 48) = 6 . Зробимо поділ обох частин вихідного квадратного рівняння на 6 і отримаємо рівносильне йому квадратне рівняння 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 .

Множенням обох частин квадратного рівняння зазвичай позбавляються дробових коефіцієнтів. У цьому множать найменше загальне кратне знаменників його коефіцієнтів. Наприклад, якщо кожну частину квадратного рівняння 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 = 0 перемножити з НОК (6 , 3 , 1) = 6 , воно стане записано у простішому вигляді x 2 + 4 · x − 18 = 0.

Насамкінець зазначимо, що майже завжди позбавляються мінуса при першому коефіцієнті квадратного рівняння, змінюючи знаки кожного члена рівняння, що досягається шляхом множення (або поділу) обох частин на − 1 . Наприклад, від квадратного рівняння − 2 · x 2 − 3 · x + 7 = 0 можна перейти до спрощеної його версії 2 · x 2 + 3 · x − 7 = 0 .

Зв'язок між корінням та коефіцієнтами

Вже відома нам формула коренів квадратних рівнянь x = - b ± D 2 · a виражає коріння рівняння через його числові коефіцієнти. Спираючись на цю формулу, ми маємо можливість задати інші залежності між корінням та коефіцієнтами.

Найбільш відомими та застосовними є формули теореми Вієта:

x 1 + x 2 = - a і x 2 = c a .

Зокрема, для наведеного квадратного рівняння сума коренів є другий коефіцієнт із протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену. Наприклад, у вигляді квадратного рівняння 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0 можна відразу визначити, що його коренів дорівнює 7 3 , а добуток коренів - 22 3 .

Також можна знайти ряд інших зв'язків між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Наприклад, сума квадратів коренів квадратного рівняння може бути виражена через коефіцієнти:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 = - b a 2 - 2 · c a = b 2 a 2 - 2 · c a = b 2 - 2 · a · c a 2 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Формули коріння квадратного рівняння. Розглянуто випадки дійсних, кратних та комплексних коренів. Розкладання на множники квадратного тричлена. Геометрична інтерпретація. Приклади визначення коренів та розкладання на множники.

Основні формули

Розглянемо квадратне рівняння:
(1) .
Коріння квадратного рівняння(1) визначаються за формулами:
; .
Ці формули можна поєднати так:
.
Коли коріння квадратного рівняння відоме, то багаточлен другого ступеня можна подати у вигляді добутку співмножників (розкласти на множники):
.

Далі вважаємо, що дійсні числа.
Розглянемо дискримінант квадратного рівняння:
.
Якщо дискримінант позитивний, то квадратне рівняння (1) має два різні дійсні корені:
; .
Тоді розкладання квадратного тричлена на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант дорівнює нулю, то квадратне рівняння (1) має два кратні (рівні) дійсні корені:
.
Розкладання на множники:
.
Якщо дискримінант негативний, то квадратне рівняння (1) має два комплексно пов'язані корені:
;
.
Тут - уявна одиниця, ;
і - дійсна та уявна частини коренів:
; .
Тоді

.

Графічна інтерпретація

Якщо побудувати графік функції
,
який є параболою, то точки перетину графіка з віссю будуть корінням рівняння
.
При , графік перетинає вісь абсцис (вісь ) у двох точках.
При , графік стосується осі абсцис в одній точці.
При , графік не перетинає вісь абсцис.

Нижче наведено приклади таких графіків.

Корисні формули, пов'язані з квадратним рівнянням

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Висновок формули для коріння квадратного рівняння

Виконуємо перетворення та застосовуємо формули (f.1) та (f.3):




,
де
; .

Отже, ми отримали формулу для багаточлена другого ступеня у вигляді:
.
Звідси видно, що рівняння

виконується при
та .
Тобто і є корінням квадратного рівняння
.

Приклади визначення коренів квадратного рівняння

Приклад 1

(1.1) .

Рішення

.
Порівнюючи з нашим рівнянням (1.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант позитивний, то рівняння має два дійсні корені:
;
;
.

Звідси отримуємо розкладання квадратного тричлена на множники:

.

Графік функції y = 2 x 2 + 7 x + 3перетинає вісь абсцис у двох точках.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона пересіває вісь абсцис (вісь) у двох точках:
та .
Ці точки є корінням вихідного рівняння (1.1).

Відповідь

;
;
.

Приклад 2

Знайти коріння квадратного рівняння:
(2.1) .

Рішення

Запишемо квадратне рівняння у загальному вигляді:
.
Порівнюючи з вихідним рівнянням (2.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має два кратні (рівні) корені:
;
.

Тоді розкладання тричлена на множники має вигляд:
.

Графік функції y = x 2 - 4 x + 4стосується осі абсцис в одній точці.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона стосується осі абсцис (вісь ) в одній точці:
.
Ця точка є коренем вихідного рівняння (2.1). Оскільки цей корінь входить у розкладання на множники двічі:
,
то такий корінь прийнято називати кратним. Тобто вважають, що є два рівні корені:
.

Відповідь

;
.

Приклад 3

Знайти коріння квадратного рівняння:
(3.1) .

Рішення

Запишемо квадратне рівняння у загальному вигляді:
(1) .
Перепишемо вихідне рівняння (3.1):
.
Порівнюючи з (1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Дискримінант негативний, . Тому дійсних коренів немає.

Можна знайти комплексне коріння:
;
;
.

Тоді


.

Графік функції не перетинає вісь абсцис. Справжнього коріння немає.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона не перетинає вісь абсцис (вісь). Тому дійсних коренів немає.

Відповідь

Справжнього коріння немає. Коріння комплексне:
;
;
.

За допомогою цієї математичної програми ви можете розв'язати квадратне рівняння.

Програма не тільки дає відповідь задачі, а й відображає процес розв'язання двома способами:
- за допомогою дискримінанта
- за допомогою теореми Вієта (якщо можливо).

Причому відповідь виводиться точна, а не наближена.
Наприклад, для рівняння \(81x^2-16x-1=0\) відповідь виводиться у такій формі:

Дана програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Якщо ви не знайомі з правилами введення квадратного багаточлена, рекомендуємо ознайомитися з ними.

Правила введення квадратного багаточлена

Як змінна може виступати будь-яка латинська буква.
Наприклад: (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.

Числа можна вводити цілі або дрібні.
Причому, дробові числа можна вводити у вигляді десяткового, а й у вигляді звичайного дробу.

Правила введення десяткових дробів.
У десяткових дробах частина від цілої може відокремлюватися як точкою так і комою.
Наприклад, можна вводити десяткові дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила введення звичайних дробів.
Як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.

Знаменник може бути негативним.

При введенні числового дробу чисельник відокремлюється від знаменника знаком розподілу: /
Ціла частина відокремлюється від дробу знаком амперсанд: &
Введення: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

При введенні виразу можна використовувати дужки. У цьому випадку при розв'язанні квадратного рівняння введений вираз спочатку спрощується.
Наприклад: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Квадратне рівняння та його коріння. Неповні квадратні рівняння

Кожне із рівнянь
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
має вид
\(ax^2+bx+c=0, \)
де x – змінна, a, b та c – числа.
У першому рівнянні a = -1, b = 6 та c = 1,4, у другому a = 8, b = -7 та c = 0, у третьому a = 1, b = 0 та c = 4/9. Такі рівняння називають квадратними рівняннями.

Визначення.
Квадратним рівняннямназивається рівняння виду ax 2 +bx+c=0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому (a \neq 0 \).

Числа a, b та c - коефіцієнти квадратного рівняння. Число a називають першим коефіцієнтом, число b – другим коефіцієнтом та число c – вільним членом.

У кожному із рівнянь виду ax 2 +bx+c=0, де (a \neq 0 \), найбільша ступінь змінної x - квадрат. Звідси й назва квадратне рівняння.

Зауважимо, що квадратне рівняння називають ще рівнянням другого ступеня, оскільки його ліва частина є багаточленом другого ступеня.

Квадратне рівняння, у якому коефіцієнт при x 2 дорівнює 1, називають наведеним квадратним рівнянням. Наприклад, наведеними квадратними рівняннями є рівняння
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Якщо у квадратному рівнянні ax 2 +bx+c=0 хоча б один із коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Так, рівняння -2x2+7=0, 3x2-10x=0, -4x2=0 - неповні квадратні рівняння. У першому їх b=0, у другому c=0, у третьому b=0 і c=0.

Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
1) ax 2 +c=0, де (c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, де (b \neq 0 \);
3) ax 2 = 0.

Розглянемо рішення рівнянь кожного із цих видів.

Для вирішення неповного квадратного рівняння виду ax 2 +c=0 при (c \neq 0 \) переносять його вільний член у праву частину і ділять обидві частини рівняння на a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Оскільки \(c \neq 0 \), то \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Якщо \(-\frac(c)(a)>0 \), то рівняння має два корені.

Якщо \(-\frac(c)(a) Для розв'язання неповного квадратного рівняння виду ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 \) розкладають його ліву частину на множники і одержують рівняння
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Отже, неповне квадратне рівняння виду ax 2 +bx=0 при (b \neq 0 \) завжди має два корені.

Неповне квадратне рівняння виду ax 2 = 0 рівносильне рівнянню x 2 = 0 і тому має єдиний корінь 0.

Формула коренів квадратного рівняння

Розглянемо тепер, як вирішують квадратні рівняння, в яких обидва коефіцієнти за невідомих і вільний член відмінні від нуля.

Вирішимо квадратне рівняння в загальному вигляді і в результаті отримаємо формулу коренів. Потім цю формулу можна буде застосовувати під час вирішення будь-якого квадратного рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння ax 2 +bx+c=0

Розділивши обидві його частини на a, отримаємо рівносильне йому наведене квадратне рівняння
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Перетворимо це рівняння, виділивши квадрат двочлена:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

Підкорене вираз називають дискримінантом квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0 («дискримінант» латиною - розрізняльник). Його позначають буквою D, тобто.
\(D = b^2-4ac \)

Тепер, використовуючи позначення дискримінанта, перепишемо формулу для коріння квадратного рівняння:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), де \(D= b^2-4ac \)

Очевидно, що:
1) Якщо D>0, то квадратне рівняння має два корені.
2) Якщо D=0, то квадратне рівняння має один корінь \(x=-\frac(b)(2a) \).
3) Якщо D Таким чином, залежно від значення дискримінанта квадратне рівняння може мати два корені (при D > 0), один корінь (при D = 0) або не мати коріння (при D При вирішенні квадратного рівняння за даною формулою доцільно чинити наступним чином:
1) обчислити дискримінант та порівняти його з нулем;
2) якщо дискримінант позитивний або дорівнює нулю, то скористатися формулою коренів, якщо дискримінант негативний, то записати, що коріння немає.

Теорема Вієта

Наведене квадратне рівняння ax 2 -7x+10=0 має коріння 2 і 5. Сума коренів дорівнює 7, а добуток дорівнює 10. Ми бачимо, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену. Такою властивістю має будь-яке наведене квадратне рівняння, що має коріння.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Тобто. теорема Вієта стверджує, що коріння x 1 і x 2 наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0 мають властивість:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Квадратне рівняння вирішується просто! *Далі у тексті «КУ».Друзі, здавалося б, може бути в математиці простіше, ніж рішення такого рівняння. Але щось мені підказувало, що з ним багато хто має проблеми. Вирішив подивитися скільки показів на запит на місяць видає Яндекс. Ось що вийшло, подивіться:

Що це означає? Це означає те, що близько 70000 осіб на місяць шукають цю інформацію, причому це літо, а що буде серед навчального року — запитів буде вдвічі більше. Це й не дивно, адже ті хлопці та дівчата, які давно закінчили школу та готуються до ЄДІ, шукають цю інформацію, також і школярі прагнуть освіжити її в пам'яті.

Незважаючи на те, що є маса сайтів, де розповідається як вирішувати це рівняння, я вирішив також зробити свій внесок і опублікувати матеріал. По-перше, хочеться, щоб за цим запитом і на мій сайт приходили відвідувачі; по-друге, в інших статтях, коли зайде мова «КУ» даватиму посилання на цю статтю; по-третє, розповім вам про його рішення трохи більше, ніж зазвичай викладається на інших сайтах. Почнемо!Зміст статті:

Квадратне рівняння – це рівняння виду:

де коефіцієнти a,bі з довільними числами, причому a≠0.

У шкільному курсі матеріал дають у такому вигляді – умовно робиться поділ рівнянь на три класи:

1. Мають два корені.

2. *Мають лише один корінь.

3. Не мають коріння. Тут варто особливо відзначити, що не мають дійсних коренів

Як обчислюється коріння? Просто!

Обчислюємо дискримінант. Під цим «страшним» словом лежить цілком проста формула:

Формули коренів мають такий вигляд:

*Ці формули треба знати напам'ять.

Можна відразу записувати та вирішувати:

Приклад:

1. Якщо D > 0, то рівняння має два корені.

2. Якщо D = 0, то рівняння має один корінь.

3. Якщо D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте розглянемо рівняння:

З цього приводу, коли дискримінант дорівнює нулю, у шкільному курсі йдеться про те, що виходить один корінь, він дорівнює дев'яти. Все правильно, так і є, але…

Дане уявлення дещо некоректне. Насправді виходить два корені. Так-так, не дивуйтеся, виходить два рівні корені, і якщо бути математично точним, то у відповіді слід записувати два корені:

х 1 = 3 х 2 = 3

Але це так – невеликий відступ. У школі можете записувати та говорити, що корінь один.

Тепер такий приклад:

Як відомо – корінь із негативного числа не витягується, тому рішення у разі немає.

Ось і весь процес розв'язання.

Квадратична функція.

Тут показано, як рішення виглядає геометрично. Це дуже важливо розуміти (надалі в одній із статей ми докладно розбиратимемо рішення квадратної нерівності).

Це функція виду:

де х і у - змінні

a, b, с – задані числа, причому a ≠ 0

Графіком є ​​парабола:

Тобто виходить, що вирішуючи квадратне рівняння при «у» рівному нулю ми знаходимо точки перетину параболи з віссю ох. Цих точок може бути дві (дискримінант позитивний), одна (дискримінант дорівнює нулю) і жодної (дискримінант негативний). Детально про квадратичну функцію можете подивитисястаттю в Інни Фельдман.

Розглянемо приклади:

Приклад 1: Вирішити 2x 2 +8 x–192=0

а = 2 b = 8 c = -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Відповідь: х 1 = 8 х 2 = -12

*Можна було відразу ж ліву та праву частину рівняння розділити на 2, тобто спростити його. Обчислення будуть простішими.

Приклад 2: Вирішити x 2–22 x+121 = 0

а=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Отримали, що х 1 = 11 та х 2 = 11

У відповіді можна записати х = 11.

Відповідь: х = 11

Приклад 3: Вирішити x 2 -8x + 72 = 0

а = 1 b = -8 c = 72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискримінант негативний, рішення у дійсних числах немає.

Відповідь: рішення немає

Дискримінант негативний. Рішення є!

Тут мова піде про рішення рівняння у разі, коли виходить негативний дискримінант. Ви щось знаєте про комплексні числа? Не буду тут докладно розповідати про те, чому і звідки вони виникли і в чому їхня конкретна роль та необхідність у математиці, це тема для великої окремої статті.

Концепція комплексного числа.

Трохи теорії.

Комплексним числом z називається число виду

z = a + bi

де a і b – дійсні числа, i – так звана уявна одиниця.

a+bi - це ЄДИНЕ ЧИСЛО, а не додавання.

Уявна одиниця дорівнює кореню з мінус одиниці:

Тепер розглянемо рівняння:

Отримали два сполучені корені.

Неповне квадратне рівняння.

Розглянемо окремі випадки, коли коефіцієнт «b» або «с» дорівнює нулю (або обидва рівні нулю). Вони легко вирішуються без будь-яких дискримінантів.

Випадок 1. Коефіцієнт b=0.

Рівняння набуває вигляду:

Перетворюємо:

Приклад:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Випадок 2. Коефіцієнт = 0.

Рівняння набуває вигляду:

Перетворюємо, розкладаємо на множники:

*Твір дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

Приклад:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 або x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Випадок 3. Коефіцієнти b = 0 та c = 0.

Тут зрозуміло, що розв'язуванням рівняння завжди буде х = 0.

Корисні властивості та закономірності коефіцієнтів.

Існують властивості, які дозволяють вирішити рівняння з більшими коефіцієнтами.

аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a + b+ с = 0,то

- якщо для коефіцієнтів рівняння аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a+ с =b, то

Ці властивості допомагають вирішити певного виду рівняння.

Приклад 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сума коефіцієнтів дорівнює 5001 + ( – 4995)+(– 6) = 0, отже

Приклад 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Виконується рівність a+ с =b, значить

Закономірність коефіцієнтів.

1. Якщо в рівнянні ax 2 + bx + c = 0 коефіцієнт "b" дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт "с" чисельно дорівнює коефіцієнту "а", то його коріння дорівнює

аx 2 + (а 2 +1) х + а = 0 = > х 1 = -а х 2 = -1/a.

приклад. Розглянемо рівняння 6х2+37х+6=0.

х 1 = -6 х 2 = -1/6.

2. Якщо в рівнянні ax 2 – bx + c = 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт «с» чисельно дорівнює коефіцієнту «а», то його коріння дорівнює

аx 2 - (а 2 +1) х + а = 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

приклад. Розглянемо рівняння 15х2 -226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Якщо у рівнянні ax 2 + bx - c = 0 коефіцієнт "b" дорівнює (a 2 - 1), а коефіцієнт "c" чисельно дорівнює коефіцієнту «a», то його коріння дорівнює

аx 2 + (а 2 -1) х - а = 0 = > х 1 = - а х 2 = 1 / a.

приклад. Розглянемо рівняння 17х2 +288х - 17 = 0.

х 1 = - 17 х 2 = 1/17.

4. Якщо в рівнянні ax 2 – bx – c = 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 – 1), а коефіцієнт чисельно дорівнює коефіцієнту «а», то його коріння дорівнює

аx 2 – (а 2 –1) х – а = 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

приклад. Розглянемо рівняння 10х2 – 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = - 1/10

Теорема Вієта.

Теорема Вієта називається на ім'я знаменитого французького математика Франсуа Вієта. Використовуючи теорему Вієта, можна виразити суму та добуток коренів довільного КУ через його коефіцієнти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

У сумі число 14 дають лише 5 та 9. Це коріння. При певному навичці, використовуючи представлену теорему, багато квадратних рівнянь ви можете вирішувати відразу усно.

Теорема Вієта, крім того. зручна тим, що після вирішення квадратного рівняння звичайним способом (через дискримінант) отримане коріння можна перевіряти. Рекомендую робити це завжди.

СПОСІБ ПЕРЕБРОСКИ

При цьому способі коефіцієнт «а» множиться на вільний член, як би «перекидається» до нього, тому його називають способом «перекидання».Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теорему Вієта і що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

Якщо а± b+c≠ 0, то використовується прийом перекидання, наприклад:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

За теоремою Вієта в рівнянні (2) легко визначити, що х 1 = 10 х 2 = 1

Отримані коріння рівняння необхідно розділити на 2 (оскільки від х 2 «перекидали» двійку), отримаємо

х 1 = 5 х 2 = 0,5.

Яке обґрунтування? Подивіться, що відбувається.

Дискримінанти рівнянь (1) та (2) рівні:

Якщо подивитися на корені рівнянь, то виходять лише різні знаменники, і результат залежить саме від коефіцієнта при х 2:

У другого (зміненого) коріння виходить у 2 рази більше.

Тому результат і ділимо на 2.

*Якщо перекидатимемо трійку, то результат розділимо на 3 і т.д.

Відповідь: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие та ЄДІ.

Про його важливість скажу коротко - ВИ ПОВИННІ ВМІТИ ВИРІШУВАТИ швидко і не замислюючись, формули коренів і дискримінанта необхідно знати напам'ять. Дуже багато завдань, що входять до складу завдань ЄДІ, зводяться до розв'язання квадратного рівняння (геометричні в тому числі).

Що варто зазначити!

1. Форма запису рівняння може бути «неявною». Наприклад, можливий такий запис:

15+ 9x 2 - 45x = 0 або 15х+42+9x 2 - 45x=0 або 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необхідно привести його до стандартного вигляду (щоб не заплутатися під час вирішення).

2. Пам'ятайте, що x це невідома величина і вона може бути позначена будь-якою іншою літерою - t, q, p, h та іншими.