Як розв'язати систему диференціальних рівнянь?

Передбачається, що читач уже непогано вміє вирішувати диференціальні рівняння, зокрема, однорідні рівняння другого порядкуі неоднорідні рівняння другого порядкуіз постійними коефіцієнтами. У системах диференціальних рівнянь немає нічого складного, і якщо ви впевнено розправляєтеся з вищевказаними типами рівнянь, то освоєння систем не складе особливих труднощів.

Існують два основні типи систем диференціальних рівнянь:

- Лінійні однорідні системи диференціальних рівнянь
- Лінійні неоднорідні системи диференціальних рівнянь

І два основні способи розв'язання системи диференціальних рівнянь:

- Метод виключення. Суть методу у тому, що під час рішення система ДК зводиться одного диференціального рівнянню.

– За допомогою характеристичного рівняння(Так званий метод Ейлера).

У переважній більшості випадків систему диференціальних рівнянь потрібно вирішити першим способом. Другий спосіб в умовах задач зустрічається значно рідше, за всю мою практику вирішив їм від сили 10-20 систем. Але його теж коротко розглянемо в останньому параграфі цієї статті.

Відразу перепрошую за теоретичну неповноту матеріалу, зате я включив в урок тільки ті завдання, які реально можуть зустрітися на практиці. Те, що випадає метеоритним дощем раз на п'ятирічку, ви навряд чи тут знайдете, і з такими нежданчиками слід звернутися до спеціалізованої цеглини по дифурах.

Лінійні однорідні системи диференціальних рівнянь

Найпростіша однорідна система диференціальних рівнянь має такий вигляд:

Власне, майже всі практичні приклади такою системою і обмежуються.

Що тут є?

- Це числа (числові коефіцієнти). Найпростіші числа. Зокрема, один, кілька чи навіть усі коефіцієнти можуть бути нульовими. Але такі подарунки підкидають рідко, тому числа найчастіше не дорівнюють нулю.

І це невідомі функції. Як незалежну змінну виступає змінна – це «ніби ікс у звичайному диференціальному рівнянні».

І – перші похідні невідомих функцій та відповідно.

Що означає розв'язати систему диференціальних рівнянь?

Це означає знайти такіфункції та , які задовольняють і першому та другомурівняння системи. Як бачите, принцип дуже схожий на звичайні системи лінійних рівнянь. Тільки там корінням є числа, а тут функції.

Знайдену відповідь записують у вигляді загального розв'язання системи диференціальних рівнянь:

У фігурних дужках!Ці функції знаходяться «в одній упряжці».

Для системи ДК можна вирішити завдання Коші, тобто знайти приватне вирішення системи, що відповідає заданим початковим умовам. Приватне рішення системи теж записують із фігурними дужками.

Більш компактно систему можна переписати так:

Але в ході традиційно найпоширеніший варіант рішення з похідними, розписаними в диференціалах, тому, будь ласка, відразу звикайте до наступних позначень:
та – похідні першого порядку;
та – похідні другого порядку.

Приклад 1

Розв'язати задачу Коші для системи диференціальних рівнянь з початковими умовами, .

Рішення:У задачах найчастіше система зустрічається з початковими умовами, тому майже всі приклади цього уроку будуть із завданням Коші. Але це не важливо, оскільки загальне рішення щодо ходу справи все одно доведеться знайти.

Вирішимо систему методом виключення. Нагадую, що суть методу – звести систему до одного диференційного рівняння. А диференційні рівняння, сподіваюся, ви вирішуєте добре.

Алгоритм рішення стандартний:

1) Беремо друге рівняння системиі висловлюємо з нього:

Дане рівняння нам знадобиться ближче до кінця рішення, і я позначу його зірочкою. У підручниках, буває, натикають 500 позначень, а потім посилаються: "за формулою (253) ...", і шукай цю формулу десь через 50 сторінок ззаду. Я ж обмежусь однією єдиною позначкою (*).

2) Диференціюємо по обидві частини отриманого рівняння:

Зі «штрихами» процес виглядає так:

Важливо, щоб цей простий момент був зрозумілий, далі я не зупинятимуся на ньому.

3) Підставимо та у перше рівняння системи:

І проведемо максимальні спрощення:

Отримане найзвичайніше однорідне рівняння другого порядкуіз постійними коефіцієнтами. Зі «штрихами» воно записується так: .

– отримано різне дійсне коріння, тому:
.

Одна з функцій знайдена, пів шляху позаду.

Так, зверніть увагу, що у нас вийшло характеристичне рівняння з «хорошим» дискримінантом, а отже, ми нічого не наплутали у підстановці та спрощеннях.

4) Ідемо за функцією. Для цього беремо вже знайдену функцію і знаходимо її похідну. Диференціюємо по:

Підставимо і рівняння (*):

Або коротше:

5) Обидві функції знайдені, запишемо загальне рішення системи:

Відповідь:приватне рішення:

Отриману відповідь досить легко перевірити, перевірку здійснимо за три кроки:

1) Перевіряємо, чи справді виконуються початкові умови :

Обидві початкові умови виконуються.

2) Перевіримо, чи задовольняє знайдену відповідь першому рівнянню системи .

Беремо з відповіді функцію і знаходимо її похідну:

Підставимо , і у перше рівняння системи:

Отримано правильну рівність, отже, знайдена відповідь задовольняє першому рівнянню системи.

3) Перевіримо, чи відповідає відповідь другому рівнянню системи

Беремо з відповіді функцію та знаходимо її похідну:

Підставимо , і у друге рівняння системи:

Отримано правильну рівність, отже, знайдена відповідь задовольняє друге рівняння системи.

Перевірку завершено. Що перевірено? Перевірено виконання початкових умов. І, найголовніше, показано той факт, що знайдене приватне рішення задовольняє кожномурівняння вихідної системи .

Аналогічно можна перевірити та загальне рішення , перевірка буде ще коротше, оскільки треба перевіряти виконання початкових умов.

Тепер повернемося до вирішеної системи і поставимо кілька запитань. Рішення починалося так: ми взяли друге рівняння системи та висловили з нього. А чи можна було висловити не ікс, а ігрек? Якщо ми висловимо, то це нам нічого не дасть – у даному виразі справа є і «гравець» і «ікс», тому нам не вдасться позбутися змінної і звести рішення системи до вирішення одного диференціального рівняння.

Питання друге. Чи можна розпочати рішення не з другого, а з першого рівняння системи? Можна, можливо. Дивимося перше рівняння системы: . У ньому у нас два «ікси» і один «гравець», тому необхідно висловити суворо «гравець» через «ікси»: . Далі знаходиться перша похідна: . Потім слід підставити і у друге рівняння системи. Рішення буде повністю рівноцінним, з тією відмінністю, що спочатку ми знайдемо функцію , а потім .

І саме на другий спосіб буде приклад для самостійного вирішення:

Приклад 2

Знайти часткове рішення системи диференціальних рівнянь, що задовольняє заданим початковим умовам.

У зразку рішення, який наведено наприкінці уроку, з першого рівняння виражено і весь танець починається від цього виразу. Спробуйте самостійно за пунктами провести дзеркальне рішення, не заглядаючи у зразок.

Можна піти шляхом Приклада №1 – з другого рівняння виразити (Зверніть увагу, що виразити слід саме «ікс»). Але цей спосіб менш раціональний, тому що у нас вийшов дріб, що не зовсім зручно.

Лінійні неоднорідні системи диференціальних рівнянь

Практично те саме, тільки рішення буде дещо довшим.

Неоднорідна система диференціальних рівнянь, яка в більшості випадків може зустрітися вам у завданнях, має такий вигляд:

Порівняно з однорідною системою у кожному рівнянні додатково додається деяка функція, яка залежить від «те». Функції можуть бути константами (причому принаймні одна з них не дорівнює нулю), експонентами, синусами, косинусами і т.д.

Приклад 3

Знайти приватне рішення системи лінійних ДК, що відповідає заданим початковим умовам

Рішення:Дана лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь, як «добавок» виступають константи. Використовуємо метод виключення, у своїй сам алгоритм рішення повністю зберігається. Для різноманітності я почну саме з першого рівняння.

1) З першого рівняння системи виражаємо:

Це важлива штуковина, тому я її знову замаркирую зірочкою. Дужки краще не розкривати, навіщо зайві дроби?

І ще раз зауважте, що з першого рівняння виражається саме «гравець» – через два «ікси» та константу.

2) Диференціюємо по обидві частини:

Константа (трійка) зникла, тому що похідна константи дорівнює нулю.

3) Підставимо і у друге рівняння системи :

Відразу після підстановки доцільно позбавитися дробів, для цього кожну частину рівняння множимо на 5:

Тепер проводимо спрощення:

В результаті отримано лінійне неоднорідне рівняння другого порядкуіз постійними коефіцієнтами. Ось, по суті, і вся відмінність від вирішення однорідної системи рівнянь, розібраного в попередньому параграфі.

Примітка: Проте в неоднорідній системі іноді може вийти однорідне рівняння..

Знайдемо загальне рішення відповідного однорідного рівняння:

Складемо та вирішимо характеристичне рівняння:

– отримано пов'язане комплексне коріння, тому:
.

Коріння характеристичного рівняння знову вийшло «хорошим», отже, ми на вірному шляху.

Приватне рішення неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді.
Знайдемо першу та другу похідну:

Підставимо в ліву частину неоднорідного рівняння:

Таким чином:

Слід зазначити, що приватне рішення легко підбирається усно і цілком допустимо замість довгих викладок написати: «Очевидно, що приватне рішення неоднорідного рівняння:».

В результаті:

4) Шукаємо функцію. Спочатку знаходимо похідну від вже знайденої функції:

Не особливо приємно, але такі похідні в дифурах доводиться знаходити часто.

Шторм у розпалі, і зараз буде дев'ятий вал. Прив'яжіть себе канатом до палуби.

Підставимо
і рівняння (*):

5) Загальне рішення системи:

6) Знайдемо приватне рішення, що відповідає початковим умовам :

Остаточно, приватне рішення:

Ось бачите, яка історія зі щасливим кінцем, тепер можна безбоязно плавати на шлюпках безтурботним морем під ласкавим сонцем.

Відповідь:приватне рішення:

До речі, якщо почати вирішувати цю систему з другого рівняння, то обчислення вийдуть помітно простіше (можете спробувати), але багато відвідувачів сайту просили розбирати і складніші речі. Як тут відмовиш? =) Нехай будуть і більш серйозні приклади.

Приклад простіше самостійного рішення:

Приклад 4

Знайти окреме рішення лінійної неоднорідної системи диференціальних рівнянь, що відповідає заданим початковим умовам

Це завдання вирішене мною на зразок Прикладу №1, тобто, з другого рівняння виражений «ікс». Рішення та відповідь наприкінці уроку.

У розглянутих прикладах я невипадково використовував різні позначення, застосовував різні шляхи рішення. Так, наприклад, похідні в тому самому завданні записувалися трьома способами: . У вищій математиці не треба боятися будь-яких заручок, головне розуміти алгоритм рішення.

Метод характеристичного рівняння(метод Ейлера)

Як зазначалося на початку статті, з допомогою характеристичного рівняння систему диференціальних рівнянь вимагають вирішити досить рідко, у заключному параграфі я розгляну лише один приклад.

Приклад 5

Дано лінійну однорідну систему диференціальних рівнянь

Знайти загальне рішення системи рівнянь за допомогою характеристичного рівняння

Рішення:Дивимося на систему рівнянь та складаємо визначник другого порядку:

За яким принципом складено визначник, гадаю, всім видно.

Складемо характеристичне рівняння, для цього з кожного числа, яке розташовується на головної діагоналі, віднімаємо деякий параметр :

На чистовику, природно, відразу слід записати характеристичне рівняння, я докладно пояснюю, по кроках, щоб було зрозуміло, що звідки взялося.

Розкриваємо визначник:

І знаходимо коріння квадратного рівняння:

Якщо характеристичне рівняння має два різних дійсних кореня, то загальне рішення системи диференціальних рівнянь має вигляд:

Коефіцієнти в показниках експонентів нам уже відомі, залишилося знайти коефіцієнти

1) Розглянемо корінь і підставимо їх у характеристичне рівняння:

(Ці два визначники на чистовику теж можна не записувати, а відразу усно скласти наведену нижче систему)

З чисел визначника складемо систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими:

З обох рівнянь випливає одна і та ж рівність:

Тепер потрібно підібрати найменшезначення таке, щоб значення було цілим. Очевидно, що слід задати. А якщо , то

Системи диференціальних рівнянь бувають двох основних типів - лінійні однорідні та неоднорідні. Вирішувати системи диференціальних рівнянь можна також двома основними способами розв'язання:

1. Метод виключення, суть якого в тому, що в процесі вирішення система дифурівнянь зводиться лише до одного диференціального рівняння.
2. За допомогою характеристичного рівняння чи метод Ейлера.

Здебільшого системи диференціальних рівнянь вирішуються першим способом.

Лінійні однорідні системи диференціальних рівнянь

Найпростішу однорідну систему диференціальних рівнянь можна представити у такому вигляді:

Де k, l, m, n – це прості числа, x(t) і y(t) – невідомі функції. Змінна t грає роль незалежної змінної (у звичайному диференціальному рівнянні її місці зазвичай зустрічається х).

І – перші похідні невідомих функцій x(t) та y(t) відповідно.

Вирішити систему диференціальних рівнянь означає визначити такі функції x(t) і y(t), які задовольняють обох рівнянь системи. Як видно, все дуже схоже на звичайні системи лінійних рівнянь, різниця лише в тому, що коріння рівняння - це числа, а тут - функції.

Відповідь запишемо у вигляді загального рішення системи дифурівань:

Можна записати систему компактніше:

Найпоширенішим є варіант рішення з похідними, розписаними в диференціалах, де прийнято такі позначення:

І – похідні 1-го порядку;

І – похідні 2-го порядку.

Потрібно знайти розв'язання задачі Коші для системи дифурівань за початкових умов x(0) = 3, y(0) = 0.

При вирішенні використовуватимемо метод виключення.

Візьмемо друге рівняння системи та висловимо з нього х:

, знак * ми використовуємо швидкого пошуку цього рівняння, т.к. воно нам знадобиться надалі.

Продиференціюємо обидві частини отриманого рівняння t:

Інакше це виглядає так:

Підставляємо і у перше рівняння системи:

Максимально спростимо це рівняння:

Як бачите, ми здобули звичайне однорідне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. З похідними воно виглядає так:

.

– ми отримали різне дійсне коріння, тому:

.

Одну функцію знайдено. Тепер приступимо до пошуку x(t).

Знайдемо похідну знайденої функції .

Диференціюємо по t:

Тепер підставимо і рівняння (*):

Спростимо отримане рівняння:

Отже, ми знайшли обидві функції.

Загальне рішення системи буде:

Тепер займемося пошуком приватного рішення, що відповідає початковим умовам x(0) = 3 та y(0) = 0. Для цього почленно віднімаємо з першого рівняння друге.

Підставимо знайдені коефіцієнти:

Це буде приватне рішення системи.

Залишається провести перевірку знайденого результату:

Перевіримо виконання початкових умов x(0) = 3 та y(0) = 0:

x(0) = 4 - 1 = 3

y(0) = 1 – 1 = 0

Перевірка пройшла успішно.

Перевіримо знайдену відповідь на задоволення першого рівняння системи

Візьмемо функцію і знайдемо її похідну.

Надворі спекотна пора, літає тополиний пух, і така погода сприяє відпочинку. За навчальний рік у всіх накопичилася втома, але очікування літніх відпусток/канікул має надихати на успішне складання іспитів та заліків. По сезону туплять, до речі, і викладачі, тож скоро теж візьму тайм-аут для розвантаження мозку. А зараз кава, мірний гул системного блоку, кілька здохлих комарів на підвіконні і цілком робочий стан… …ех, млинець… поет хронів.

До справи. У кого як, а в мене сьогодні 1 червня, і ми розглянемо ще одне типове завдання комплексного аналізу – знаходження приватного розв'язання системи диференціальних рівнянь методом операційного обчислення. Що необхідно знати та вміти, щоб навчитися її вирішувати? Насамперед, наполегливо рекомендуюзвернутися до уроку. Будь ласка, прочитайте вступну частину, розберіться із загальною постановкою теми, термінологією, позначеннями і хоча б із двома-трьома прикладами. Справа в тому, що із системами дифурів все буде майже так само і навіть простіше!

Само собою, ви повинні розуміти, що таке система диференціальних рівнянь , що означає знайти загальне рішення системи та приватне рішення системи.

Нагадую, що систему диференціальних рівнянь можна вирішити «традиційним» шляхом: методом виключенняабо за допомогою характеристичного рівняння. Спосіб операційного обчислення, про який йтиметься, застосуємо до системи ДК, коли завдання сформульовано наступним чином:

Знайти окреме рішення однорідної системи диференціальних рівнянь , що відповідає початковим умовам .

Як варіант, система може бути і неоднорідною – з «доважками» у вигляді функцій та у правих частинах:

Але, і в тому, і в іншому випадку необхідно звернути увагу на два важливі моменти умови:

1) Мова йде тільки про приватне рішення.
2) У дужках початкових умов знаходяться суворо нулі, та ніщо інше.

Загальний хід та алгоритм буде дуже схожий на вирішення диференціального рівняння операційним методом . З довідкових матеріалів потрібно та ж таблиця оригіналів та зображень .

Приклад 1

, ,

Рішення:Початок тривіальний: за допомогою таблиці перетворення Лапласа перейдемо від оригіналів до відповідних зображень. У задачі із системами ДК даний перехід зазвичай простий:

Використовуючи табличні формули №№1,2, враховуючи початкову умову, отримуємо:

Що робити з "ігреками"? Подумки змінюємо у таблиці «ікси» на «ігреки». Використовуючи самі перетворення №№1,2, враховуючи початкову умову , знаходимо:

Підставимо знайдені зображення у вихідне рівняння :

Тепер у лівих частинахрівнянь потрібно зібрати Уседоданки, в яких присутні або . У праві частинирівнянь необхідно «оформити» всі рештадоданки:

Далі в лівій частині кожного рівняння проводимо винесення за дужки:

При цьому на перших позиціях слід розмістити, а на других позиціях:

Отриману систему рівнянь із двома невідомими зазвичай вирішують за формулами Крамера . Обчислимо головний визначник системи:

Через війну розрахунку визначника отримано многочлен .

Важливий технічний прийом!Цей багаточлен краще одразу жспробувати розкласти на множники. З цією метою слід було б спробувати вирішити квадратне рівняння , проте, у багатьох читачів наметаний до другого курсу очей помітить, що .

Таким чином, наш головний визначник системи:

Подальше розбирання із системою, слава Крамеру, стандартна:

У результаті отримуємо операторне рішення системи:

Перевагою завдання, що розглядається, є та особливість, що дроби зазвичай виходять нескладними, і розбиратися з ними значно простіше, ніж з дробами в завданнях. знаходження приватного рішення ДК операційним методом . Передчуття вас не обдурило – у справу вступає старий добрий метод невизначених коефіцієнтів , за допомогою якого розкладаємо кожен дріб на елементарні дроби:

1) Розбираємося з першим дробом:

Таким чином:

2) Другий дріб розвалюємо за аналогічною схемою, при цьому коректніше використовувати інші константи (невизначені коефіцієнти):

Таким чином:

Чайникам раджу записувати розкладене операторне рішення у такому вигляді:
– так буде зрозумілішим завершальний етап – зворотне перетворення Лапласа.

Використовуючи правий стовпець таблиці, перейдемо від зображень до відповідних оригіналів:

Згідно з правилами хорошого математичного тону, результат трохи зачешемо:

Відповідь:

Перевірка відповіді здійснюється за стандартною схемою, яка детально розібрана на уроці Як розв'язати систему диференціальних рівнянь? Завжди намагайтеся її виконувати, щоб забити великий плюс завдання.

Приклад 2

За допомогою операційного обчислення знайти окреме рішення системи диференціальних рівнянь, що відповідає заданим початковим умовам.
, ,

Це приклад самостійного рішення. Зразок чистового оформлення задачі та відповідь наприкінці уроку.

Рішення неоднорідної системи диференціальних рівнянь алгоритмічно нічим не відрізняється, хіба що технічно трохи складніше:

Приклад 3

За допомогою операційного обчислення знайти окреме рішення системи диференціальних рівнянь, що відповідає заданим початковим умовам.
, ,

Рішення:За допомогою таблиці перетворення Лапласа з огляду на початкові умови , перейдемо від оригіналів до відповідних зображень:

Але це не все, у правих частинах рівнянь є самотні константи. Що робити в тих випадках, коли константа знаходиться сама по собі на самоті? Про це вже йшлося на уроці Як вирішити ДУ операційним методом . Повторимо: одиночні константи слід подумки домножити на одиницю , і до одиниць застосувати наступне перетворення Лапласа:

Підставимо знайдені зображення у вихідну систему:

Ліворуч перенесемо доданки, у яких присутні , у правих частинах розмістимо інші доданки:

У лівих частинах проведемо винесення за дужки, крім того, приведемо до спільного знаменника праву частину другого рівняння:

Обчислимо головний визначник системи, не забуваючи, що результат доцільно відразу спробувати розкласти на множники:
Отже, система має єдине рішення.

Їдемо далі:



Таким чином, операторне рішення системи:

Іноді один або навіть обидві дроби можна скоротити, причому, буває, так вдало, що і розкладати практично нічого не потрібно! А часом відразу виходить халява, до речі, наступний приклад уроку буде показовим зразком.

Методом невизначених коефіцієнтів отримаємо суми елементарних дробів.

Знищуємо перший дріб:

І добиваємо другу:

В результаті операторне рішення набуває потрібного нам вигляду:

За допомогою правого стовпця таблиці оригіналів та зображень здійснюємо зворотне перетворення Лапласа:

Підставимо отримані зображення в операторне рішення системи:

Відповідь:приватне рішення:

Як бачите, у неоднорідній системі доводиться проводити більш трудомісткі обчислення проти однорідної системою. Розберемо ще пару прикладів із синусами, косинусами, і вистачить, оскільки будуть розглянуті практично всі різновиди завдання та більшість нюансів рішення.

Приклад 4

Методом операційного обчислення знайти приватне рішення системи диференціальних рівнянь із заданими початковими умовами

Рішення:Цей приклад я теж розберу сам, але коментарі стосуватимуться лише особливих моментів. Припускаю, що ви вже добре орієнтуєтеся в алгоритмі рішення.

Перейдемо від оригіналів до відповідних зображень:

Підставимо знайдені зображення у вихідну систему дистанційного керування:

Систему вирішимо за формулами Крамера:
Отже, система має єдине рішення.

Отриманий многочлен не розкладається на множники. Що робити у таких випадках? Зовсім нічого. Зійде й такий.

В результаті операторне рішення системи:

А ось і щасливий білет! Метод невизначених коефіцієнтів використовувати взагалі не потрібно! Єдине, з метою застосування табличних перетворень перепишемо рішення у такому вигляді:

Перейдемо від зображень до відповідних оригіналів:

Підставимо отримані зображення в операторне рішення системи:

У багатьох завданнях математики, фізики та техніки потрібно визначити одразу кілька функцій, пов'язаних між собою кількома диференціальними рівняннями. Сукупність таких рівнянь називається системою диференціальних рівнянь. Зокрема, до таких систем наводять завдання, у яких вивчається рух тіл у просторі під впливом заданих сил.

Нехай, наприклад, деякою кривою (L) у просторі під дією сили F рухається матеріальна точка маси . Потрібно визначити закон руху точки, т. е. залежність координат точки від часу.

Припустимо, що

радіус вектор рухається точки. Якщо змінні координати точки позначити через , то

Швидкість і прискорення точки, що рухається, обчислюється за формулами:

(Див. гл. VI, § 5, n. 4).

Сила F, під дією якої рухається точка, взагалі кажучи, є функцією часу, координат точки та проекцій швидкості на осі координат:

З другого закону Ньютона рівняння руху точки записується так:

Проектуючи вектори, що стоять у лівій та правій частинах цієї рівності, на осі координат, отримаємо три диференціальні рівняння руху:

Ці диференціальні рівняння є системою трьох диференціальних рівнянь другого порядку щодо трьох шуканих функцій:

Надалі обмежимося вивченням лише системи рівнянь першого порядку спеціального виду щодо шуканих функцій. Ця система має вигляд

Система рівнянь (95) називається системою у нормальній формі, або нормальною системою.

У нормальній системі праві частини рівнянь не містять похідних функцій, що шукаються.

Рішенням системи (95) називається сукупність функцій, що задовольняють кожному з рівнянь цієї системи.

Системи рівнянь другого, третього та вищих порядків можна звести до нормальної системи, якщо ввести нові функції, що шукаються. Так, наприклад, систему (94) можна перетворити на нормальну форму наступним чином. Введемо нові функції поклавши. Тоді і скстема Рівняння (94) запишеться так:

Система (96) є нормальною.

Розглянемо, наприклад, нормальну систему з трьох рівнянь із трьома невідомими функціями:

Для нормальної системи диференціальних рівнянь теорема Коші існування та єдиності рішення формулюється в такий спосіб.

Теорема. Нехай праві частини рівнянь системи (97), тобто функції безперервні за всіма змінними в деякій області G і мають в ній безперервні приватні похідні.

Для інтегрування системи (97) можна застосувати метод, за допомогою якого дана система, що містить три рівняння щодо трьох функцій, зводиться до одного рівняння третього порядку щодо однієї невідомої функції. Покажемо з прикладу застосування цього.

Для простоти обмежимося системою з двох рівнянь. Нехай дана система рівнянь

Для знаходження рішення системи надаємо наступним чином. Диференціюючи перше з рівнянь системи по знаходимо

Підставляючи у цю рівність вираз із другого рівняння системи, отримаємо

Замінюючи, нарешті, функцію її виразом з першого рівняння системи

отримаємо лінійне однорідне рівняння другого порядку щодо однієї невідомої функції:

Інтегруючи це рівняння, знаходимо його загальне рішення

Диференціюючи рівність знаходимо

Підставляючи вирази для x і в рівність і наводячи подібні члени, отримаємо

є рішенням цієї системи.

Отже, інтегруючи нормальну систему двох диференціальних рівнянь, ми отримали її розв'язання, що залежить від двох довільних постійних.