Вирішення цілих раціональних нерівностей методом інтервалів. Розв'язання квадратних нерівностей методом інтервалів

Порівнювати величини та кількості при вирішенні практичних завдань доводилося ще з давніх часів. Тоді ж з'явилися і такі слова, як більше і менше, вище і нижче, легше і важче, тихіше і голосніше, дешевше і дорожче, що позначають результати порівняння однорідних величин.

Поняття більше і менше виникли у зв'язку з рахунком предметів, виміром та порівнянням величин. Наприклад, математики Стародавньої Греції знали, що сторона будь-якого трикутника менша за суму двох інших сторін і що проти більшого кута в трикутнику лежить велика сторона. Архімед, займаючись обчисленням довжини кола, встановив, що периметр будь-якого кола дорівнює потрійному діаметру з надлишком, який менше сьомої частини діаметра, але більше десяти сімдесят перших діаметра.

Символічно записувати співвідношення між числами та величинами за допомогою знаків > та b. Записи, у яких два числа з'єднані одним із знаків: > (більше), З числовими нерівностями ви зустрічалися й у молодших класах. Знаєте, що нерівності можуть бути вірними, а можуть бути й невірними. Наприклад, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) правильна числова нерівність, 0,23 > 0,235 - неправильна числова нерівність.

Нерівності, до яких входять невідомі, можуть бути вірними за одних значень невідомих і невірними за інших. Наприклад, нерівність 2x+1>5 правильна при х = 3, а при х = -3 - неправильна. Для нерівності з одним невідомим можна поставити завдання вирішити нерівність. Завдання розв'язання нерівностей практично ставляться і вирішуються не рідше, ніж завдання розв'язання рівнянь. Наприклад, багато економічних проблем зводяться до дослідження та вирішення систем лінійних нерівностей. Багато розділах математики нерівності зустрічаються частіше, ніж рівняння.

Деякі нерівності є єдиним допоміжним засобом, що дозволяє довести або спростувати існування певного об'єкта, наприклад, кореня рівняння.

Числові нерівності

Ви вмієте порівнювати цілі числа, десяткові дроби. Знаєте правила порівняння звичайних дробів із однаковими знаменниками, але різними чисельниками; з однаковими чисельниками, але різними знаменниками. Тут ви навчитеся порівнювати будь-які два числа за допомогою знаходження знака їх різниці.

Порівняння чисел широко застосовується практично. Наприклад, економіст порівнює планові показники з фактичними, лікар порівнює температуру хворого з нормальною, токар порівнює розміри деталі, що виточується, з еталоном. У таких випадках порівнюються деякі числа. Внаслідок порівняння чисел виникають числові нерівності.

Визначення.Число а більше від числа b, якщо різниця а-b позитивна. Число а менше від числа b, якщо різниця а-b негативна.

Якщо більше b, то пишуть: а > b; якщо а менше b, то пишуть: а Отже, нерівність а > b означає, що різницю а - b позитивна, тобто. а - b > 0. Нерівність а Для будь-яких двох чисел а і b з наступних трьох співвідношень a > b, a = b, a Порівняти числа а і b - означає з'ясувати, який із знаків >, = або Теорема.Якщо a > b та Ь > с, то а > с.

Теорема.Якщо до обох частин нерівності додати те саме число, то знак нерівності не зміниться.
Слідство.Будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності до іншої, змінивши знак цього доданка на протилежний.

Теорема.Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме негативне число, то знак нерівності зміниться на протилежний.
Слідство.Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме негативне число, то знак нерівності зміниться на протилежний.

Ви знаєте, що числові рівності можна почленно складати та множити. Далі ви навчитеся виконувати аналогічні дії з нерівностями. Вміння почленно складати і множити нерівності часто застосовуються практично. Ці дії допомагають вирішувати завдання оцінювання та порівняння значень виразів.

При вирішенні різних завдань часто доводиться складати або множити почленно ліві та праві частини нерівностей. При цьому іноді кажуть, що нерівності складаються чи множаться. Наприклад, якщо турист пройшов у перший день понад 20 км, а в другий – понад 25 км, то можна стверджувати, що за два дні він пройшов понад 45 км. Так само якщо довжина прямокутника менше 13 см, а ширина менше 5 см, то можна стверджувати, що площа цього прямокутника менше 65 см2.

При розгляді цих прикладів застосовувалися такі теореми про складання та множення нерівностей:

Теорема.При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака: якщо а > b і c > d, то a + c > b + d.

Теорема.При множенні нерівностей однакового знака, у яких ліві та праві частини позитивні, виходить нерівність того ж знака: якщо а > b, c > d і а, b, с, d – позитивні числа, то ac > bd.

Нерівності зі знаком > (більше) і 1/2, 3/4 b, c Поряд зі знаками строгих нерівностей > і Точно так само нерівність \(a \geq b \) означає, що число а більше або дорівнює b, тобто а не менше b.

Нерівності, що містять знак (geq) або знак (leq), називають нестрогими. Наприклад, \ (18 \ geq 12 , \; 11 \ leq 12 \) - Нестрогі нерівності.

Усі властивості суворих нерівностей справедливі й у нестрогих нерівностей. При цьому якщо для суворих нерівностей протилежними вважалися знаки і Ви знаєте, що для вирішення ряду прикладних завдань доводиться складати математичну модель у вигляді рівняння або системи рівнянь. Далі ви дізнаєтеся, що математичними моделями на вирішення багатьох завдань є нерівності з невідомими. Буде введено поняття розв'язання нерівності та показано, як перевірити, чи є дане число рішенням конкретної нерівності.

Нерівності виду
\(ax > b, \quad ax у яких а та b - задані числа, а x - невідоме, називають лінійними нерівностями з одним невідомим.

Визначення.Рішенням нерівності з одним невідомим називається значення невідомого, у якому ця нерівність звертається у правильне числове нерівність. Вирішити нерівність - це означає знайти всі його рішення або встановити, що їх немає.

Вирішення рівнянь ви здійснювали шляхом приведення їх до найпростіших рівнянь. Аналогічно при розв'язанні нерівностей їх прагнуть за допомогою властивостей призвести до найпростіших нерівностей.

Розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною

Нерівності виду
\(ax^2+bx+c >0 \) і (ax^2+bx+c де x - змінна, a, b і c - деякі числа і \(a \neq 0 \), називають нерівностями другого ступеня з однією змінною.

Розв'язання нерівності
\(ax^2+bx+c >0 \) або \(ax^2+bx+c можна розглядати як знаходження проміжків, у яких функція \(y= ax^2+bx+c \) набуває позитивних або негативних значень Для цього достатньо проаналізувати, як розташований графік функції \(y= ax^2+bx+c \) в координатній площині: куди спрямовані гілки параболи - вгору або вниз, чи перетинає парабола вісь x і якщо перетинає, то в яких точках.

Алгоритм розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною:
1) знаходять дискримінант квадратного тричлена (ax^2+bx+c) і з'ясовують, чи має тричлен коріння;
2) якщо тричлен має коріння, то відзначають їх на осі x і через зазначені точки проводять схематично параболу, гілки якої спрямовані вгору при a > 0 або вниз при a 0 або в нижній при a 3) знаходять на осі x проміжки, для яких точки параболи розташовані вище осі x (якщо вирішують нерівність \(ax^2+bx+c >0 \)) або нижче осі x (якщо вирішують нерівність
\(ax^2+bx+c Розв'язання нерівностей методом інтервалів

Розглянемо функцію
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)

Область визначення цієї функції є безліч всіх чисел. Нулями функції служать числа -2, 3, 5. Вони розбивають область визначення функції на проміжки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) і \( (5; + \ infty) \)

З'ясуємо, які знаки цієї функції у кожному із зазначених проміжків.

Вираз (х + 2) (х - 3) (х - 5) є твір трьох множників. Знак кожного з цих множників у розглянутих проміжках зазначений у таблиці:

Взагалі, нехай функція задана формулою
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
де x-змінна, а x 1, x 2, ..., x n - не рівні один одному числа. Числа x 1 , x 2 ..., x n є нулями функції. У кожному проміжку, на який область визначення розбивається нулями функції, знак функції зберігається, а при переході через нуль її знак змінюється.

Ця властивість використовується для вирішення нерівностей виду
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) де x 1 , x 2 , ..., x n - не рівні один одному числа

Розглянутий спосіб Розв'язання нерівностей називають методом інтервалів.

Наведемо приклади розв'язання нерівностей шляхом інтервалів.

Вирішити нерівність:

Наносимо на числову вісь нулі функції та обчислюємо знак на кожному проміжку:

Вибираємо проміжки, на яких функція менша або дорівнює нулю і записуємо відповідь.

Відповідь:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Метод інтервалів(або як його іноді називають метод проміжків) – це універсальний метод розв'язання нерівностей. Він підходить для розв'язання різноманітних нерівностей, проте найбільш зручний у вирішенні раціональних нерівностейз однією змінною. Тому в шкільному курсі алгебри метод інтервалів прив'язують саме до раціональних нерівностей, а вирішенню інших нерівностей з його допомогою практично не приділяють уваги.

У цій статті ми детально розберемо метод інтервалів і торкнемося всіх тонкощів розв'язання нерівностей з однією змінною за його допомогою. Почнемо з того, що наведемо алгоритм розв'язання нерівностей методом інтервалів. Далі пояснимо, на яких теоретичних аспектах він базується і розберемо кроки алгоритму, зокрема, докладно зупинимося на визначенні знаків на інтервалах. Після цього перейдемо до практики та покажемо рішення кількох типових прикладів. А на закінчення розглянемо метод інтервалів у загальному вигляді (тобто без прив'язки до раціональних нерівностей), іншими словами, узагальнений метод інтервалів.

Навігація на сторінці.

Алгоритм

Знайомство з методом інтервалів у школі починається під час вирішення нерівностей виду f(x)<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >або ≥), де f(x) – це або представлений у вигляді твору лінійних двочленівз 1 при змінній x та/або квадратних тричленівзі старшим коефіцієнтом 1 та з негативним дискримінантом та їх ступенів, або відношення таких багаточленів. Для наочності наведемо приклади подібних нерівностей: (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥0, .

Щоб зробити подальшу розмову предметною, відразу запишемо алгоритм розв'язання нерівностей зазначеного вище виду методом інтервалів, а потім розберемося, що та як і чому. Отже, за методом інтервалів:

• Спочатку знаходяться нулі чисельника та нулі знаменника. Для цього чисельник і знаменник виразу в лівій частині нерівності прирівнюються до нуля і вирішуються отримані рівняння.
• Після цього точки, що відповідають знайденим нулям, відзначаються рисками на . Достатньо схематичного креслення, на якому не обов'язково дотримуватися масштабу, головне дотримуватися розташування точок відносно один одного: точка з меншою координатою знаходиться лівіше від точки з більшою координатою. Після цього з'ясовується, якими їх слід зобразити: звичайними або виколотими (з порожнім центром). При розв'язанні суворої нерівності (зі знаком< или >) всі точки зображуються виколотими. При розв'язанні не суворої нерівності (зі знаком ≤ або ≥) точки, що відповідають нулям знаменника, робляться виколотими, а крапки, що залишилися відмічені, – звичайними. Ці точки розбивають координатну пряму кілька числових проміжків .
• Далі визначаються знаки виразу f(x) з лівої частини розв'язуваної нерівності на кожному проміжку (як це робиться, докладно розповімо в одному з наступних пунктів), і над ними проставляються + або – відповідно до визначених на них знаків.
• Нарешті, при розв'язанні нерівності зі знаком< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >або ≥ - над проміжками, що позначені знаком +. Через війну виходить , яке є шуканим рішенням нерівності.

Зауважимо, що наведений алгоритм узгоджено з описом методу інтервалів у шкільних підручниках.

На чому базується метод?

Підхід, що лежить в основі методу інтервалів, має місце з наступної властивості безперервної функції: якщо на інтервалі (a, b) функція f безперервна і не звертається в нуль, то вона на цьому інтервалі зберігає постійний знак (від себе додамо, що аналогічна властивість справедливо і для числових променів (−∞, a) та (a, +∞) ). А ця властивість у свою чергу випливає з теореми Больцано-Коші (її розгляд виходить за рамки шкільної програми), формулювання та доказ якої за потреби можна знайти, наприклад, у книзі .

Для виразів f(x) , що мають зазначений у попередньому пункті вид, сталість знака на проміжках можна обґрунтувати і інакше, відштовхуючись від властивостей числових нерівностей та враховуючи правила множення та розподілу чисел з однаковими знаками та різними знаками.

Як приклад розглянемо нерівність. Нулі його чисельника та знаменника розбивають числову пряму на три проміжки (−∞, −1) , (−1, 5) та (5, +∞) . Покажемо, що на проміжку (−∞, −1) вираз із лівої частини нерівності має постійний знак (можна взяти й інший проміжок, міркування будуть аналогічними). Візьмемо будь-яке число t із цього проміжку. Воно, очевидно, задовольнятиме нерівності t<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

Так ми плавно підійшли до питання визначення знаків на проміжках, але не будемо перескакувати через перший крок методу інтервалів, що передбачає знаходження нулів чисельника та знаменника.

Як знаходити нулі чисельника та знаменника?

Зі знаходженням нулів чисельника і знаменника дробу зазначеного в першому пункті виду зазвичай не виникає жодних проблем. Для цього вирази з чисельника та знаменника прирівнюються до нуля, і вирішуються отримані рівняння. Принцип вирішення рівнянь такого виду докладно викладено у статті розв'язання рівнянь методом розкладання на множники. Тут лише обмежимося прикладом.

Розглянемо дріб і знайдемо нули її чисельника та знаменника. Почнемо з нулів чисельника. Прирівнюємо чисельник до нуля, отримуємо рівняння x · (x-0,6) = 0, від якого переходимо до сукупності двох рівнянь x = 0 і x-0,6 = 0, звідки знаходимо два корені 0 і 0,6. Це шукані нулі чисельника. Тепер знаходимо нулі знаменника. Складаємо рівняння x 7 · (x 2 +2 · x +7) 2 · (x +5) 3 = 0, Воно рівносильне сукупності трьох рівнянь x 7 = 0, (x 2 +2 · x +7) 2 = 0, (x +5) 3 = 0, і далі x = 0, x 2 +2 · x +7 = 0 x + 5 = 0 . Корінь першого із цих рівнянь очевидний, це 0 , друге рівняння коренів немає, оскільки його дискримінант негативний, а корінь третього рівняння є −5 . Отже, ми знайшли нулі знаменника, їх було два: 0 і −5 . Зауважимо, що 0 виявився як нулем чисельника, так і нулем знаменника.

Для знаходження нулів чисельника і знаменника у випадку, як у лівої частини нерівності дріб, але обов'язково раціональна, також чисельник і знаменник прирівнюються до нуля, і вирішуються відповідні рівняння.

Як визначити знаки на інтервалах?

Найнадійніший спосіб визначення знака виразу з лівої частини нерівності на кожному проміжку полягає у обчисленні значення цього виразу в будь-якій одній точці з кожного проміжку. При цьому знаковий знак на проміжку збігається зі знаком значення виразу в будь-якій точці цього проміжку. Пояснимо це з прикладу.

Візьмемо нерівність . Вираз із його лівої частини немає нулів чисельника, а нулем знаменника є число −3. Воно ділить числову пряму на два проміжки (−∞, −3) та (−3, +∞) . Визначимо знаки на них. Для цього візьмемо по одній точці з цих проміжків і обчислимо значення виразу в них. Відразу зауважимо, що доцільно брати такі точки, щоб проводити обчислення було легко. Наприклад, із першого проміжку (−∞, −3) можна взяти −4 . При x=−4 маємо , отримали значення зі знаком мінус (негативне), тому на цьому інтервалі буде знак мінус. Переходимо до визначення знака другому проміжку (−3, +∞) . З нього зручно взяти 0 (якщо 0 входить у проміжок, то доцільно завжди брати його, тому що при x = 0 обчислення виявляються найпростішими). При x=0 маємо . Це значення зі знаком плюс (позитивне), тому на цьому інтервалі буде знак плюс.

Існує й інший підхід до визначення знаків, що перебуває у знаходженні знака одному з інтервалів та її збереженні чи зміні під час переходу до сусіднього інтервалу через нуль. Потрібно дотримуватись наступного правила. При переході через нуль чисельника, але не знаменника, або через нуль знаменника, але не чисельника, знак змінюється, якщо ступінь виразу, що дає нуль, непарна, і не змінюється, якщо парна. А при переході через точку, що є одночасно і банкрутом чисельника, і банкрутом знаменника, символ змінюється, якщо сума ступенів виразів, що дають цей нуль, непарна, і не змінюється, якщо парна.

До речі, якщо вираз у правій частині нерівності має вигляд, зазначений на початку першого пункту цієї статті, то крайньому правому проміжку буде знак плюс.

Щоб усе стало зрозумілим, розглянемо приклад.

Нехай перед нами нерівність , і ми вирішуємо методом інтервалів. Для цього знаходимо нулі чисельника 2 , 3 , 4 і нулі знаменника 1 , 3 , 4 , відзначаємо їх на координатній прямій спочатку рисками

потім нулі знаменника замінюємо зображеннями виколотих крапок

і оскільки вирішуємо несувору нерівність, то рисочки, що залишилися, замінюємо звичайними точками

А далі настає момент визначення знаків на проміжках. Як ми помітили перед цим прикладом, на крайньому правому проміжку (4, +∞) буде знак +:

Визначимо інші знаки, при цьому просуватимемося від проміжку до проміжку праворуч наліво. Переходячи до наступного інтервалу (3, 4) ми переходимо через точку з координатою 4 . Це нуль як чисельника, і знаменника, ці нулі дають вирази (x−4) 2 і x−4 , сума їхніх ступенів дорівнює 2+1=3 , але це непарне число, отже, під час переходу цю точку потрібно змінити знак. Тому на інтервалі (3, 4) буде знак мінус:

Йдемо далі до інтервалу (2, 3), при цьому переходимо через точку з координатою 3 . Це нуль також як чисельника, так і знаменника, його дають вирази (x-3) 3 і (x-3) 5 сума їх ступенів дорівнює 3 +5 = 8, а це парне число, тому, знак залишиться незмінним:

Просуваємось далі до інтервалу (1, 2) . Шлях щодо нього нам перегороджує точка з координатою 2 . Це нуль чисельника, його дає вираз x-2, його ступінь дорівнює 1, тобто вона непарна, отже, при переході через цю точку знак зміниться:

Зрештою, залишилося визначити знак на останньому інтервалі (−∞, 1) . Щоб потрапити на нього, нам необхідно подолати точку з координатою 1 . Це нуль знаменника, його дає вираз (x−1) 4 , його ступінь дорівнює 4 , тобто вона парна, отже, знак при переході через цю точку змінюватись не буде. Так ми визначили всі знаки, і малюнок набуває такого вигляду:

Зрозуміло, застосування розглянутого методу особливо виправдано, коли обчислення значення висловлювання пов'язані з великим обсягом роботи. Наприклад, обчисліть значення виразу у будь-якій точці інтервалу .

Приклади розв'язання нерівностей методом інтервалів

Тепер можна зібрати воєдино всю подану інформацію, достатню на вирішення нерівностей методом інтервалів, і розібрати рішення кількох прикладів.

приклад.

Розв'яжіть нерівність .

Рішення.

Проведемо розв'язання цієї нерівності методом інтервалів. Очевидно, нулі чисельника це 1 і −5 , а нулі знаменника та 1 . Зазначаємо їх на числовій прямій, при цьому точки з координатами і 1 виколоті як нулі знаменника, а нуль чисельника, що залишився, -5 зобразимо звичайною точкою, так як вирішуємо нестрогу нерівність:

Тепер проставляємо знаки на проміжках, дотримуючись правил збереження або зміни знака під час переходу через нулі. Над крайнім справа проміжком буде знак + (це можна перевірити, обчисливши значення виразу в лівій частині нерівності в будь-якій точці цього проміжку, наприклад, x=3). При переході через знак змінюємо, при переході через 1 – залишаємо таким самим, і при переході через −5 знову залишаємо знак без зміни:

Оскільки ми розв'язуємо нерівність зі знаком ≤, то залишилося зобразити штрихування над проміжками, позначеними знаком − та за отриманим зображенням записати відповідь.

Отже, потрібне рішення таке: .

Відповідь:

.

Заради справедливості звернемо увагу на те, що в переважній більшості випадків при вирішенні раціональних нерівностей їх попередньо доводиться перетворювати до потрібного виду, щоб стало можливим їх вирішення методом інтервалів. Як проводити такі перетворення ми детально обговоримо у статті вирішення раціональних нерівностей, а тепер наведемо приклад, що ілюструє один важливий момент, що стосується квадратних тричленів у записі нерівностей.

приклад.

Знайдіть розв'язання нерівності .

Рішення.

З першого погляду на цю нерівність здається, що її вигляд підходить для застосування методу інтервалів. Але не завадить перевірити, чи справді дискримінанти квадратних тричленів у його записі є негативними. Обчислимо їх заспокоєння совісті. Для тричлена x 2 +3 x + 3 маємо D=3 2 −4·1·3=−3<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 . Це означає, що з надання цій нерівності необхідного виду потрібні перетворення. В даному випадку досить тричлен x 2 +2 x-8 уявити як (x +4) · (x-2) , і далі вирішувати методом інтервалів нерівність .

Відповідь:

.

Узагальнений метод інтервалів

Узагальнений метод інтервалів дозволяє вирішувати нерівності виду f(x)<0 (≤, >, ≥), де f(x) – довільне з однією змінною x . Запишемо алгоритм розв'язання нерівностей узагальненим методом інтервалів:

• Спочатку треба f і нулі цієї функції.
• На числовій прямій відзначаються граничні, у тому числі окремі точки області визначення. Наприклад, якщо областю визначення функції служить безліч (−5, 1]∪(3)∪ (на інтервалі (−6, 4) знак не визначаємо, оскільки він не є частиною області визначення функції.) Для цього візьмемо по одній точці з кожного проміжку, наприклад, 16 , 8 , 6 і −8 і обчислимо в них значення функції f :
  
  

  Якщо виникли питання, як було з'ясовано, якими є обчислені значення функції, позитивними або негативними, то вивчіть матеріал статті порівняння чисел.

  Розставляємо щойно певні знаки, і наносимо штрихування над проміжками зі знаком мінус:
  

  У відповідь записуємо об'єднання двох проміжків зі знаком −, маємо (−∞, −6]∪(7, 12) Зверніть увагу, що −6 включено у відповідь (відповідна точка суцільна, а не виколота). не нуль функції (який при розв'язанні суворої нерівності ми б не включили у відповідь), а гранична точка області визначення (вона кольорова, а не чорна), що входить в область визначення Значення функції в цій точці негативно (про що свідчить знак мінус над відповідним проміжком), тобто вона задовольняє нерівності, а ось 4 включати у відповідь не потрібно (як і весь проміжок ∪(7, 12) ).

  Список літератури.

  1. Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  2. Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
  3. Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
  4. Кудрявцев Л. Д.Курс математичного аналізу (у двох томах): Підручник для студентів університетів та втузів. - М.: Вищ. школа, 1981, т. 1. - 687 с., Іл.

  А сьогодні раціональні нерівності не всі можуть вирішувати. Точніше, вирішувати можуть не тільки всі. Мало хто може це робити.
  Кличко

  Цей урок буде жорстким. Настільки жорстким, що до кінця його дійдуть лише Вибрані. Тому перед початком читання рекомендую прибрати від екранів жінок, кішок, вагітних дітей та...

  Та гаразд, насправді все просто. Припустимо, ви освоїли метод інтервалів (якщо не освоїли - рекомендую повернутися і прочитати) і навчилися вирішувати нерівності виду $P\left(x \right) \gt 0$, де $P\left(x \right)$ - який-небудь багаточлен або добуток багаточленів.

  Вважаю, що для вас не важко вирішити, наприклад, ось таку дичину (до речі, спробуйте для розминки):

  \[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

  Тепер трохи ускладнимо завдання і розглянемо не просто багаточлени, а так звані раціональні дроби виду:

  де $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ — ті самі багаточлени виду $((a)_(n))((x)^(n))+(( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, або добуток таких многочленів.

  Це і буде раціональна нерівність. Принциповим моментом є наявність змінної $x$ у знаменнику. Наприклад, ось це раціональні нерівності:

  \[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\\end(align)\]

  А це — не раціональна, а звичайнісінька нерівність, яка вирішується методом інтервалів:

  \[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

  Забігаючи вперед, відразу скажу: існує як мінімум два способи розв'язання раціональних нерівностей, але вони так чи інакше зводяться до вже відомого нам методу інтервалів. Тому перш ніж розбирати ці способи, давайте згадаємо старі факти, інакше користі від нового матеріалу не буде ніякого.

  Що вже треба знати

  Важливих фактів не буває багато. Справді знадобиться нам лише чотири.

  Формули скороченого множення

  Так, так: вони будуть переслідувати нас протягом усієї шкільної програми математики. І в університеті також. Цих формул досить багато, але нам знадобляться лише такі:

  \[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2)) \right). \\ \end(align)\]

  Зверніть увагу на останні дві формули – це сума та різниця кубів (а не куб суми чи різниці!). Їх легко запам'ятати, якщо помітити, що знак у першій дужці збігається зі знаком у вихідному виразі, а в другій протилежний знаку вихідного виразу.

  Лінійні рівняння

  Це найпростіші рівняння виду $ax+b=0$, де $a$ і $b$ — це звичайні числа, причому $a\ne 0$. Таке рівняння вирішується просто:

  \[\begin(align) & ax+b=0; \\ & ax=-b; \ & x = - \ frac (b) (a). \\ \end(align)\]

  Зазначу, що маємо право ділити на коефіцієнт $a$, адже $a\ne 0$. Ця вимога цілком логічна, оскільки за $a=0$ ми отримаємо ось що:

  По-перше, у цьому рівнянні немає змінної $x$. Це, взагалі кажучи, не повинно нас бентежити (таке трапляється, скажімо, в геометрії, причому досить часто), але все ж таки перед нами вже не лінійне рівняння.

  По-друге, рішення цього рівняння залежить лише від коефіцієнта $b$. Якщо $b$ теж нуль, то наше рівняння має вигляд $0=0$. Ця рівність вірна завжди; отже, $x$ — будь-яке число (зазвичай це записується так: $x\in \mathbb(R)$). Якщо коефіцієнт $b$ не дорівнює нулю, то рівність $b=0$ будь-коли виконується, тобто. відповідей немає (записується $x\in \varnothing$ і читається «безліч рішень порожньо»).

  Щоб уникнути всіх цих складнощів, просто вважають $a\ne 0$, що анітрохи не обмежує нас у подальших роздумах.

  Квадратні рівняння

  Нагадаю, що квадратним рівнянням називається ось це:

  Тут зліва многочлен другого ступеня, причому знову $a\ne 0$ (інакше замість квадратного рівняння отримаємо лінійне). Вирішуються такі рівняння через дискримінант:

  1. Якщо $D \gt 0$, ми отримаємо два різні корені;
  2. Якщо $ D = 0 $, то корінь буде один, але другий кратності (що це за кратність і як її враховувати про це трохи пізніше). Або можна сказати, що рівняння має два однакові корені;
  3. При $D \lt 0$ коріння взагалі немає, а знак багаточлена $a((x)^(2))+bx+c$ за будь-якого $x$ збігається зі знаком коефіцієнта $a$. Це, до речі, дуже корисний факт, про який чомусь забувають розповісти під час уроків алгебри.

  Саме коріння вважається за всією відомою формулою:

  \[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

  Звідси, до речі, обмеження на дискримінант. Адже квадратний корінь із негативного числа не існує. З приводу коріння у багатьох учнів моторошна каша в голові, тому я спеціально записав цілий урок: що таке корінь в алгебрі і як його рахувати — дуже рекомендую почитати.

  Дії з раціональними дробами

  Все, що було написано вище, ви знаєте, якщо вивчали метод інтервалів. А ось те, що ми розберемо зараз, не має аналогів у минулому, — це зовсім новий факт.

  Визначення. Раціональний дріб - це вираз виду

  \[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

  де $P\left(x \right)$ і $Q\left(x \right)$ - багаточлени.

  Очевидно, що з такого дробу легко отримати нерівність — достатньо лише приписати знак «більше» або «менше» праворуч. І трохи далі ми виявимо, що вирішувати такі завдання – одне задоволення, там усе дуже просто.

  Проблеми починаються тоді, як у одному вираженні кілька таких дробів. Їх доводиться призводити до спільного знаменника — і саме в цей момент допускається велика кількість образливих помилок.

  Тому для успішного вирішення раціональних рівнянь необхідно твердо засвоїти дві навички:

  1. Розкладання многочлена $P\left(x \right)$ на множники;
  2. Власне, приведення дробів до спільного знаменника.

  Як розкласти багаточлени на множники? Дуже просто. Нехай у нас є багаточлена виду

  Прирівнюємо його до нуля. Отримаємо рівняння $n$-го ступеня:

  \[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

  Припустимо, ми вирішили це рівняння і отримали коріння $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (не лякайтеся: у більшості випадків цього коріння буде не більше двох) . У такому разі наш вихідний багаточлен можна переписати так:

  \[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

  От і все! Зверніть увагу: старший коефіцієнт $((a)_(n))$ нікуди не зник - він буде окремим множником перед дужками, і при необхідності його можна внести в будь-яку з цих дужок (практика показує, що при $((a)_ (n))\ne \pm 1$ серед коренів майже завжди є дроби).

  Завдання. Спростіть вираз:

  \[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

  Рішення. Спочатку подивимося на знаменники: всі вони — лінійні двочлени, і розкладати на множники тут нічого. Тому давайте розкладемо на множники чисельники:

  \[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \right)\left(x-1 \right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \right)\left(2-5x \right). \\end(align)\]

  Зверніть увагу: у другому багаточлені старший коефіцієнт «2» у повній відповідності до нашої схеми спочатку опинився перед дужкою, а потім був внесений до першої дужки, оскільки там виліз дріб.

  Те саме сталося і в третьому багаточлені, тільки там ще й порядок переплутаних доданків. Однак коефіцієнт «−5» у результаті виявився внесений у другу дужку (пам'ятайте: вносити множник можна в одну і тільки в одну дужку!), що позбавило нас незручностей, пов'язаних з дробовим корінням.

  Щодо першого багаточлена, там все просто: його коріння шукається або стандартно через дискримінант, або за теоремою Вієта.

  Повернемося до вихідного виразу та перепишемо його з розкладеними на множники чисельниками:

  \[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrix)\]

  Відповідь: $5x+4$.

  Як бачите, нічого складного. Небагато математики 7-8 класу - і все. Сенс всіх перетворень у тому й полягає, щоб отримати зі складного і страшного виразу щось просте, з чим легко працювати.

  Однак, так буде не завжди. Тому зараз ми розглянемо більш серйозне завдання.

  Але спочатку розберемося з тим, як привести два дроби до спільного знаменника. Алгоритм гранично простий:

  1. Розкласти на множники обидва знаменники;
  2. Розглянути перший знаменник і додати до нього множники, що є у другому знаменнику, проте відсутні у першому. Отриманий твір буде спільним знаменником;
  3. З'ясувати, яких множників не вистачає кожного з вихідних дробів, щоб знаменники стали рівними загальному.

  Можливо, цей алгоритм вам здасться просто текстом, в якому багато літер. Тому розберемо все на конкретному прикладі.

  Завдання. Спростіть вираз:

  \[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

  Рішення. Такі об'ємні завдання краще вирішувати частинами. Випишемо те, що стоїть у першій дужці:

  \[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

  На відміну від попереднього завдання, тут із знаменниками все не так просто. Розкладемо на множники кожен із них.

  Квадратний тричлен $((x)^(2))+2x+4$ на множники не розкладається, оскільки рівняння $((x)^(2))+2x+4=0$ не має коріння (дискримінант негативний). Залишаємо його без змін.

  Другий знаменник - кубічний багаточлен $((x)^(3))-8$ - при уважному розгляді є різницею кубів і легко розкладається за формулами скороченого множення:

  \[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \right)\]

  Більше нічого розкласти на множники не можна, оскільки в першій дужці стоїть лінійний двочлен, а в другій — вже знайома нам конструкція, яка не має дійсних коренів.

  Нарешті, третій знаменник є лінійний двочлен, який не можна розкласти. Таким чином, наше рівняння набуде вигляду:

  \[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

  Цілком очевидно, що спільним знаменником буде саме $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, і для приведення до нього всіх дробів необхідно перший дроб домножити на $\left(x-2 \right)$, а останню - на $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Потім залишиться лише навести такі:

  \[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ right))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(matrix)\]

  Зверніть увагу до другий рядок: коли знаменник вже загальний, тобто. замість трьох окремих дробів ми написали один великий, не варто відразу позбавлятися дужок. Краще напишіть зайвий рядок і відзначте, що, скажімо, перед третім дробом стояв мінус — і він нікуди не подінеться, а «висітиме» в чисельнику перед дужкою. Це позбавить вас безлічі помилок.

  Ну і в останньому рядку корисно розкласти на множники чисельник. Тим більше, що це точний квадрат, і нам на допомогу знову приходять формули скороченого множення. Маємо:

  \[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

  Тепер так само розберемося з другою дужкою. Тут я просто напишу ланцюжок рівностей:

  \[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrix)\]

  Повертаємося до вихідного завдання та дивимося на твір:

  \[\frac(x-2)((((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

  Відповідь: \[\frac(1)(x+2)\].

  Сенс цього завдання такий самий, як і в попередньої: показати, наскільки можуть спрощуватися раціональні вислови, якщо підійти до їхнього перетворення з розумом.

  І ось тепер, коли ви все це знаєте, давайте перейдемо до основної теми сьогоднішнього уроку — розв'язання дрібних раціональних нерівностей. Тим більше що після такої підготовки самі нерівності ви клацатимете як горішки.:)

  Основний спосіб розв'язання раціональних нерівностей

  Існує щонайменше два підходи до вирішення раціональних нерівностей. Зараз ми розглянемо один із них — той, який є загальноприйнятим у шкільному курсі математики.

  Але спочатку відзначимо важливу деталь. Усі нерівності поділяються на два типи:

  1. Суворі: $f\left(x \right) \gt 0$ або $f\left(x \right) \lt 0$;
  2. Нестрогі: $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $ або $ f \ left (x \ right) \ le 0 $.

  Нерівності другого типу легко зводяться до першого, а також рівняння:

  Це невелике «доповнення» $f\left(x \right)=0$ призводить до такої неприємної штуки, як зафарбовані точки - ми познайомилися з ними ще в методі інтервалів. В іншому ніяких відмінностей між строгими та нестрогими нерівностями немає, тому давайте розберемо універсальний алгоритм:

  1. Зібрати всі ненульові елементи з одного боку знаку нерівності. Наприклад, ліворуч;
  2. Привести всі дроби до спільного знаменника (якщо таких дробів виявиться кілька), навести подібні. Потім по можливості розкласти на чисельник та знаменник на множники. Так чи інакше ми отримаємо нерівність виду $ \ frac (P \ left (x \ right)) (Q \ left (x \ right)) \ vee 0 $, де "галочка" - знак нерівності.
  3. Прирівнюємо чисельник до нуля: $ P \ left (x \ right) = 0 $. Вирішуємо це рівняння і отримуємо коріння $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Потім вимагаємо, щоб знаменник дорівнював нулю: $Q\left(x \right)\ne 0$. Зрозуміло, насправді доводиться вирішити рівняння $Q\left(x \right)=0$, і ми отримаємо коріння $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$, $x_(3 )^(*)$, ... (у справжніх завданнях такого коріння навряд чи буде більше трьох).
  4. Відзначаємо все це коріння (і зі зірочками, і без) на єдиній числовій прямій, причому коріння без зірок зафарбоване, а зі зірками — виколоте.
  5. Розставляємо знаки «плюс» та «мінус», вибираємо ті інтервали, які нам потрібні. Якщо нерівність має вигляд $f\left(x \right) \gt 0$, то у відповідь підуть інтервали, відзначені плюсом. Якщо $f\left(x \right) \lt 0$, то дивимося на інтервали з мінусами.

  Практика показує, що найбільші труднощі викликають пункти 2 і 4 - грамотні перетворення та правильне розміщення чисел у порядку зростання. Ну, і на останньому кроці будьте дуже уважні: ми завжди розставляємо знаки, спираючись на остання нерівність, записана перед переходом до рівнянь. Це універсальне правило, успадковане ще методу інтервалів.

  Отже, схема є. Давайте потренуємось.

  Завдання. Розв'яжіть нерівність:

  \[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

  Рішення. Перед нами сувора нерівність виду $f \ left (x \ right) \ lt 0 $. Очевидно, пункти 1 і 2 із нашої схеми вже виконані: всі елементи нерівності зібрані зліва, до спільного знаменника нічого не треба приводити. Тому переходимо одразу до третього пункту.

  Прирівнюємо до нуля чисельник:

  \[\begin(align) & x-3=0; \ & x = 3. \end(align)\]

  І знаменник:

  \[\begin(align) & x+7=0; \&((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

  У цьому місці багато хто залипає, адже за ідеєю потрібно записати $x+7\ne 0$, як того вимагає ОДЗ (на нуль ділити не можна, ось це все). Але ж надалі ми виколюватимемо точки, що прийшли зі знаменника, тому зайвий раз ускладнювати свої викладки не варто — скрізь пишіть знак рівності і не парьтеся. Ніхто за це бали не знизить.

  Четвертий пункт. Відзначаємо отримане коріння на числовій прямій:

  Усі точки виколоті, оскільки нерівність — сувора

  Зверніть увагу: всі точки виколоти, оскільки вихідна нерівність сувора. І тут уже неважливо: з чисельника ці точки прийшли чи зі знаменника.

  Та й дивимося знаки. Візьмемо будь-яке число $((x)_(0)) \gt 3$. Наприклад, $((x)_(0))=100$ (але з тим самим успіхом можна було взяти $((x)_(0))=3,1$ або $((x)_(0)) = 1 \ 000 \ 000 $). Отримаємо:

  Отже, праворуч від усіх коренів у нас позитивна область. А при переході через кожен корінь знак змінюється (так буде не завжди, але це пізніше). Тому переходимо до п'ятого пункту: розставляємо знаки та обираємо необхідне:

  

  Повертаємося до останньої нерівності, яка була перед розв'язанням рівнянь. Власне, воно збігається з вихідним, адже жодних перетворень у цьому ми не виконували.

  Оскільки потрібно вирішити нерівність виду $f\left(x \right) \lt 0$, я заштрихував інтервал $x\in \left(-7;3 \right)$ - він єдиний відзначений знаком "мінус". Це є відповідь.

  Відповідь: $x\in \left(-7;3 \right)$

  От і все! Хіба складно? Ні, не складно. Щоправда, і завдання було легке. Зараз трохи ускладнимо місію і розглянемо «навороченішу» нерівність. При його вирішенні я вже не даватиму таких докладних викладок — просто позначу ключові моменти. Загалом, оформимо його так, як оформляли б на самостійній роботі чи іспиті.

  Завдання. Розв'яжіть нерівність:

  \[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

  Рішення. Це несувора нерівність виду $ f \ left (x \ right) \ ge 0 $. Усі ненульові елементи зібрані зліва, різних знаменників немає. Переходимо до рівнянь.

  Чисельник:

  \[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

  Знаменник:

  \[\begin(align) & 13x-4=0; \ & 13x = 4; \ & ((x) ^ (*)) = \ frac (4) (13). \\ \end(align)\]

  Не знаю, що за збоченець становив це завдання, але коріння вийшло не дуже: їх буде важко розставити на числовій прямій. І якщо з коренем $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ все більш-менш ясно (це єдине позитивне число - воно буде праворуч), то $((x)_(1) ))=-(1)/(7)\;$ і $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ вимагають додаткового дослідження: яке з них більше?

  З'ясувати це можна, наприклад, так:

  \[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

  Сподіваюся, не треба пояснювати, чому числовий дріб $-(2)/(14); \gt -(2)/(11)\;$? Якщо потрібно, рекомендую згадати, як виконувати дії з дробами.

  А ми відзначаємо всі три корені на числовій прямій:

  Крапки з чисельника зафарбовані, зі знаменника - виколоти

  Розставляємо знаки. Наприклад, можна взяти $((x)_(0))=1$ і з'ясувати знак у цій точці:

  \[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

  Остання нерівність перед рівняннями була $f\left(x \right)\ge 0$, тому нас цікавить знак «плюс».

  

  Отримали дві множини: один — звичайний відрізок, а інший — відкритий промінь на числовій прямій.

  Відповідь: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

  Важливе зауваження щодо чисел, які ми підставляємо для з'ясування знака на правому інтервалі. Зовсім необов'язково підставляти число, близьке до правого кореня. Можна брати мільярди або навіть «плюс-нескінченність» — у цьому випадку знак багаточлена стоїть у дужці, чисельнику чи знаменнику, визначається виключно знаком старшого коефіцієнта.

  Давайте ще раз подивимося на функцію $f\left(x \right)$ з останньої нерівності:

  У її записі присутні три багаточлени:

  \[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \& ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \ & Q \ left (x \ right) = 13x-4. \end(align)\]

  Усі вони є лінійними двочленами, і в усіх старші коефіцієнти (числа 7, 11 та 13) позитивні. Отже, при підстановці дуже великих чисел самі багаточлени також будуть позитивними.:)

  Це може здатися надмірно складним, але спочатку, коли ми розуміємо дуже легкі завдання. У серйозних нерівностях підстановка «плюс-нескінченності» дозволить нам з'ясувати знаки набагато швидше, ніж стандартне $((x)_(0))=100$.

  Ми дуже скоро зіткнемося з такими завданнями. Але спочатку розберемо альтернативний спосіб розв'язання дрібно-раціональних нерівностей.

  Альтернативний спосіб

  Цей прийом мені підказала одна з моїх учениць. Сам я ніколи ним не користувався, проте практика показала, що багатьом учням справді зручніше вирішувати нерівності саме в такий спосіб.

  Отже, вихідні дані самі. Потрібно вирішити дробово-раціональну нерівність:

  \[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

  Давайте подумаємо: чим багаточлен $Q\left(x \right)$ "гірше" багаточлена $P\left(x \right)$? Через що нам доводиться розглядати окремі групи коренів (зі зірочкою і без), думати про виколоті точки і т.д.? Все просто: у дробу є область визначення, згідно з якою дріб має сенс лише тоді, коли його знаменник відмінний від нуля.

  В іншому ніяких відмінностей між чисельником і знаменником не простежується: ми так само прирівнюємо його до нуля, шукаємо коріння, потім відзначаємо їх на числовій прямій. То чому б не замінити дробову межу (фактично знак розподілу) звичайним множенням, а всі вимоги ОДЗ прописати у вигляді окремої нерівності? Наприклад, так:

  \[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

  Зверніть увагу: такий підхід дозволить звести завдання до методу інтервалів, але при цьому не ускладнить рішення. Адже все одно ми прирівнюватимемо багаточлен $Q\left(x \right)$ до нуля.

  Погляньмо, як це працює на реальних завданнях.

  Завдання. Розв'яжіть нерівність:

  \[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

  Рішення. Отже, переходимо до методу інтервалів:

  \[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

  Перше нерівність вирішується елементарно. Просто прирівнюємо кожну дужку до нуля:

  \[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \ & x-11 = 0 \ Rightarrow ((x)_ (2)) = 11. \\ \end(align)\]

  З другою нерівністю теж все просто:

  Зазначаємо точки $((x)_(1))$ і $((x)_(2))$ на числовій прямій. Всі вони виколоті, оскільки нерівність сувора:

  Права крапка виявилася виколотою двічі. Це нормально.

  Зверніть увагу на точку $x=11$. Виходить, що вона «двічі виколота»: з одного боку, ми виколюємо її через суворість нерівності, з іншого — через додаткову вимогу ОДЗ.

  У будь-якому випадку, це буде просто виколота крапка. Тому розставляємо знаки для нерівності $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ — останньої, яку ми бачили перед тим, як почали вирішувати рівняння:

  

  Нас цікавлять позитивні області, оскільки ми вирішуємо нерівність виду $f\left(x \right) \gt 0$ - їх і зафарбуємо. Залишилося лише записати відповідь.

  Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

  На прикладі цього рішення хотів би застерегти вас від поширеної помилки серед учнів-початківців. А саме: ніколи не розкривайте дужки у нерівностях! Навпаки, намагайтеся все розкласти на множники - це спростить рішення і позбавить вас багатьох проблем.

  Тепер спробуємо дещо складніше.

  Завдання. Розв'яжіть нерівність:

  \[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

  Рішення. Це несувора нерівність виду $ f \ left (x \ right) \ le 0 $, тому тут потрібно уважно стежити за зафарбованими точками.

  Переходимо до методу інтервалів:

  \[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\\end(align) \right.\]

  Переходимо до рівняння:

  \[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1)) = 6,5; \ \ & 12x-9 = 0 \ Rightarrow ((x)_ (2)) = 0,75; \& & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

  Враховуємо додаткову вимогу:

  Відзначаємо всі отримані коріння на числовій прямій:

  Якщо точка одночасно і виколота, і зафарбована, вона вважається виколотою

  Знову дві точки «накладаються» одна на одну – це нормально, так буде завжди. Важливо лише розуміти, що точка, позначена одночасно виколотою та зафарбованою, насправді є виколотою. Тобто. «виколювання» — сильніша дія, ніж «зафарбовування».

  Це абсолютно логічно, адже виколюванням ми відзначаємо точки, які впливають на знак функції, але самі не беруть участі у відповіді. І якщо в якийсь момент число перестає нас влаштовувати (наприклад, не потрапляє до ОДЗ), ми викреслюємо його з розгляду до кінця завдання.

  Загалом, вистачить філософствувати. Розставляємо знаки та зафарбовуємо ті інтервали, які позначені знаком «мінус»:

  

  Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

  І знову хотів звернути вашу увагу на це рівняння:

  \[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

  Ще раз: ніколи не розкривайте дужки у таких рівняннях! Ви лише ускладните собі завдання. Пам'ятайте: добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, дане рівняння просто «розвалюється» на кілька дрібніших, які ми вирішували в попередній задачі.

  Облік кратності коренів

  З попередніх завдань легко помітити, що найбільшу складність становлять саме несуворі нерівності, тому що доводиться стежити за зафарбованими точками.

  Але в світі є ще більше зло - це кратне коріння в нерівностях. Тут уже доводиться стежити не за якимись там зафарбованими точками - тут знак нерівності може раптово не змінитись при переході через ці точки.

  Нічого подібного ми у цьому уроці ще розглядали (хоча аналогічна проблема часто зустрічалася у методі інтервалів). Тому введемо нове визначення:

  Визначення. Корінь рівняння $((\left(x-a \right))^(n))=0$ дорівнює $x=a$ і називається коренем $n$-ї кратності.

  Власне, нас не дуже цікавить точне значення кратності. Важливо лише те, парним чи непарним є це число $n$. Тому що:

  1. Якщо $x=a$ корінь парної кратності, то знак функції при переході через нього не змінюється;
  2. І навпаки, якщо $x=a$ — корінь непарної кратності, знак функції зміниться.

  Приватним випадком кореня непарної кратності є попередні завдання, розглянуті у цьому уроці: там скрізь кратність дорівнює одиниці.

  І ще. Перед тим, як ми почнемо вирішувати завдання, хотів би звернути вашу увагу на одну тонкість, яка здасться очевидною для досвідченого учня, але вганяє в ступор багатьох початківців. А саме:

  Корінь кратності $n$ виникає тільки в тому випадку, коли в цей ступінь зводиться весь вираз: $((\left(x-a \right))^(n))$, а не $\left(((x)^( n))-a \right)$.

  Ще раз: дужка $((\left(x-a \right))^(n))$ дає нам корінь $x=a$ кратності $n$, а ось дужка $\left(((x)^(n)) -a \right)$ або, як часто буває, $(a-((x)^(n)))$ дає нам корінь (або два корені, якщо $n$ — парне) першої кратності незалежно від того, чому і $n$.

  Порівняйте:

  \[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

  Тут все чітко: вся дужка зводилася на п'яту ступінь, тому на виході ми отримали корінь п'ятого ступеня. А зараз:

  \[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

  Ми отримали два корені, але обидва вони мають першу кратність. Або ось ще:

  \[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

  І нехай вас не бентежить десятий ступінь. Головне, що 10 — це парне число, тому на виході маємо два корені, і вони знову мають першу кратність.

  Загалом будьте уважні: кратність виникає лише тоді, коли ступінь відноситься до всієї дужки, а не тільки до змінної.

  Завдання. Розв'яжіть нерівність:

  \[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \right))^(5)))\ge 0\]

  Рішення. Спробуємо вирішити її альтернативним способом через перехід від приватного до твору:

  \[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align ) \right.\]

  Розбираємось з першою нерівністю методом інтервалів:

  \[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \ \ & ((x) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x = 0 \ left (2k \ right); \& ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x + 4 = 0 \ Rightarrow x = -4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

  Додатково вирішуємо другу нерівність. Насправді ми вже вирішували його, але щоб перевіряючі не причепилися до рішення, краще вирішити його ще раз:

  \[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

  Зверніть увагу: жодних кратностей в останній нерівності немає. Справді: яка різниця, скільки разів викреслювати точку $x=-7$ на числовій прямій? Хоч один раз, хоч п'ять — результат буде той самий: виколота точка.

  Зазначимо все, що ми отримали, на числовій прямій:

  

  Як я й казав, точка $x=-7$ у результаті буде виколота. Кратності розставлені з рішення нерівності шляхом інтервалів.

  Залишилося розставити знаки:

  

  Оскільки точка $x=0$ є коренем парної кратності, знак під час переходу неї не змінюється. Інші точки мають непарну кратність, і з ними все просто.

  Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

  Ще раз зверніть увагу на $x=0$. Через парну кратність виникає цікавий ефект: ліворуч від неї все зафарбовано, праворуч — теж, та й сама точка цілком зафарбована.

  Як наслідок, її не потрібно відокремлювати під час запису відповіді. Тобто. не треба писати що-небудь на кшталт $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (хоча формально така відповідь теж буде правильною). Натомість відразу пишемо $x\in \left[ -4;6 \right]$.

  Такі ефекти можливі лише при коренях парної кратності. І в наступному завданні ми зіткнемося зі зворотним «виявом» цього ефекту. Чи готові?

  Завдання. Розв'яжіть нерівність:

  \[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

  Рішення. На цей раз підемо за стандартною схемою. Прирівнюємо до нуля чисельник:

  \[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \ & (( \ left (x-3 \ right)) ^ (4)) = 0 \ Rightarrow ((x)_ (1)) = 3 \ left (4k \ right); \ \ & x-4 = 0 \ Rightarrow ((x)_ (2)) = 4. \\ \end(align)\]

  І знаменник:

  \[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

  Оскільки ми вирішуємо несувору нерівність виду $f\left(x \right)\ge 0$, коріння зі знаменника (яке зі зірочками) буде виколоте, а з чисельника — зафарбоване.

  

  Розставляємо знаки та штрихуємо області, відзначені «плюсом»:

  Крапка $ x = 3 $ - ізольована. Це частина відповіді

  Перед тим, як записати остаточну відповідь, уважно подивимося на картинку:

  1. Крапка $x=1$ має парну кратність, але сама виколота. Отже, її доведеться відокремити у відповіді: потрібно записати $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а не $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
  2. Крапка $x=3$ теж має парну кратність і зафарбована. Розташування знаків свідчить, що сама точка нас влаштовує, але крок ліворуч-праворуч — і ми потрапляємо в область, яка нас точно не влаштовує. Такі точки називаються ізольованими і записуються як $x\in \left\( 3 \right\)$.

  Об'єднуємо всі отримані шматочки в загальну кількість і записуємо відповідь.

  Відповідь: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

  Визначення. Вирішити нерівність - значить знайти безліч його рішень, або довести, що це безліч порожньо.

  Здавалося б: що тут може бути незрозумілим? Та в тому й річ, що безлічі можна ставити по-різному. Давайте ще раз випишемо відповідь до останнього завдання:

  Читаємо буквально, що написано. Змінна «ікс» належить нікому множині, що виходить об'єднанням (значок «U») чотирьох окремих множин:

  • Інтервал $\left(-\infty ;1 \right)$, який буквально означає "всі числа, менші одиниці, але не сама одиниця";
  • Інтервал $ \ left (1; 2 \ right) $, тобто. «всі числа не більше від 1 до 2, але з самі числа 1 і 2»;
  • Безліч $ \ left \ (3 \ right \) $, Що складається з одного-однини - трійки;
  • Інтервал $ \ left [4; 5 \ right) $, що містить всі числа в межах від 4 до 5, а також саму четвірку, але не п'ятірку.

  Інтерес тут є третім пунктом. На відміну від інтервалів, які задають нескінченні набори чисел і лише позначають лише межі цих наборів, безліч $ \ left \ (3 \ right \) $ задає строго одне число шляхом перерахування.

  Щоб зрозуміти, що ми саме перераховуємо конкретні числа, що входять до множини (а не задаємо межі або ще), використовуються фігурні дужки. Наприклад, запис $ \ left \ (1; 2 \ right \) $ означає саме «множина, що складається з двох чисел: 1 і 2», але ніяк не відрізок від 1 до 2. У жодному разі не плутайте ці поняття.

  Правило складання кратностей

  Ну і на закінчення сьогоднішнього уроку трохи бляхи від Павла Бердова.:)

  Уважні учні вже напевно запитали: а що буде, якщо в чисельнику і знаменнику виявиться однакове коріння? Так ось, працює таке правило:

  Кратності однакового коріння складаються. Завжди. Навіть якщо це коріння зустрічається і в чисельнику, і в знаменнику.

  Іноді краще вирішувати, аніж говорити. Тому вирішуємо таке завдання:

  Завдання. Розв'яжіть нерівність:

  \[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

  \[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

  Поки що нічого особливого. Прирівнюємо до нуля знаменник:

  \[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

  Виявлено два однакові корені: $((x)_(1))=-2$ і $x_(4)^(*)=-2$. Обидва мають першу кратність. Отже, замінюємо їх одним коренем $x_(4)^(*)=-2$, але вже з кратністю 1+1=2.

  Крім того, є ще однакові корені: $((x)_(2))=-4$ і $x_(2)^(*)=-4$. Вони також першої кратності, тому залишиться лише $x_(2)^(*)=-4$ кратності 1+1=2.

  Зверніть увагу: в обох випадках ми залишили саме виколотий корінь, а зафарбований викинули з розгляду. Тому що ще на початку уроку домовилися: якщо точка одночасно і виколота, і зафарбована, ми все одно вважаємо її виколотою.

  У результаті у нас є чотири корені, причому всі виявилися виколоті:

  \[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(align)\]

  Зазначаємо їх на числовій прямій з урахуванням кратності:

  

  Розставляємо знаки і зафарбовуємо області, що цікавлять нас:

  

  Всі. Жодних ізольованих точок та інших збочень. Можна записувати відповідь.

  Відповідь. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

  Правило множення кратностей

  Іноді зустрічається ще неприємніша ситуація: рівняння, що має кратне коріння, саме зводиться в деякий ступінь. При цьому змінюються кратності всіх вихідних коренів.

  Таке зустрічається рідко, тому більшість учнів немає досвіду вирішення подібних завдань. А правило тут таке:

  При зведенні рівняння ступінь $n$ кратності всіх його коренів теж збільшуються в $n$ разів.

  Іншими словами, зведення у ступінь призводить до множення кратностей на цей же ступінь. Розглянемо це правило з прикладу:

  Завдання. Розв'яжіть нерівність:

  \[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

  Рішення. Прирівнюємо до нуля чисельник:

  Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. З першим множником зрозуміло: $x=0$. А ось далі починаються проблеми:

  \[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \&((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

  Як бачимо, рівняння $((x)^(2))-6x+9=0$ має єдиний корінь другої кратності: $x=3$. Потім усе це рівняння зводиться квадрат. Отже, кратність кореня становитиме $2\cdot 2=4$, що ми у результаті записали.

  \[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

  Зі знаменником теж жодних проблем:

  \[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

  У сумі у нас вийшло п'ять крапок: дві виколоті і три зафарбовані. Збігаються коріння в чисельнику і знаменнику не спостерігається, тому просто відзначаємо їх на числовій прямій:

  

  Розставляємо знаки з урахуванням кратностей і зафарбовуємо інтервали, що цікавлять нас:

  Знову одна ізольована точка та одна виколота

  Через коріння парної кратності знову отримали пару «нестандартних» елементів. Це $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а не $x\in \left[ 0;2 \right)$, а також ізольована точка $ x\in \left\(3 \right\)$.

  Відповідь. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

  Як бачите, все не так складно. Головне – уважність. Останній розділ цього уроку присвячений перетворенням - тим, які ми обговорювали на самому початку.

  Попередні перетворення

  Нерівності, які ми розберемо у цьому розділі, не можна назвати складними. Однак, на відміну від попередніх завдань, тут доведеться застосувати навички з теорії раціональних дробів — розкладання на множники та приведення до спільного знаменника.

  Ми детально обговорювали це питання на початку сьогоднішнього уроку. Якщо ви не впевнені, що розумієте, про що мова — рекомендую повернутися і повторити. Тому що немає жодного сенсу зубрити методи розв'язання нерівностей, якщо ви «плаваєте» у перетворенні дробів.

  У домашній роботі, до речі, також буде багато подібних завдань. Вони винесені до окремого підрозділу. І там на вас чекають дуже нетривіальні приклади. Але це буде в хаті, а зараз давайте розберемо кілька таких нерівностей.

  Завдання. Розв'яжіть нерівність:

  \[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

  Рішення. Переносимо все вліво:

  \[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

  Приводимо до спільного знаменника, розкриваємо дужки, наводимо подібні доданки в чисельнику:

  \[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \) right))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

  Тепер перед нами класична дробово-раціональна нерівність, вирішення якої вже не становить труднощів. Пропоную вирішити його альтернативним методом через метод інтервалів:

  \[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

  Не забуваємо обмеження, що прийшло зі знаменника:

  Відзначаємо всі числа та обмеження на числовій прямій:

  Усі коріння мають першу кратність. Ніяких проблем. Просто розставляємо знаки та зафарбовуємо потрібні нам області:

  

  Це все. Можна записувати відповідь.

  Відповідь. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

  Зрозуміло, це був зовсім просто приклад. Тому зараз розглянемо завдання серйозніше. І до речі, рівень цього завдання цілком відповідає самостійним та контрольним роботам з цієї теми у 8 класі.

  Завдання. Розв'яжіть нерівність:

  \[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

  Рішення. Переносимо все вліво:

  \[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

  Перед тим, як приводити обидва дроби до спільного знаменника, розкладемо ці знаменники на множники. Раптом вилізуть однакові дужки? З першим знаменником легко:

  \[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

  З другим трохи складніше. Не соромтеся вносити множник-константу в ту дужку, де виявився дріб. Пам'ятайте: вихідний багаточлен мав цілі коефіцієнти, тому велика ймовірність, що і розкладання на множники матиме цілі коефіцієнти (насправді так буде завжди, за винятком випадків, коли дискримінант є ірраціональним).

  \[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

  Як бачимо, є загальна дужка: $ \ left (x-1 \ right) $. Повертаємося до нерівності та наводимо обидва дроби до спільного знаменника:

  \[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(align)\]

  Прирівнюємо до нуля знаменник:

  \[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( align)\]

  Жодних кратностей і збігаються коріння. Зазначаємо чотири числа на прямій:

  Розставляємо знаки:

  

  Записуємо відповідь.

  Відповідь: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ right) $.

  На цьому уроці ми продовжимо вирішення раціональних нерівностей шляхом інтервалів для складніших нерівностей. Розглянемо розв'язання дробово-лінійних та дробово-квадратичних нерівностей та супутні завдання.

  

  Тепер повертаємось до нерівності

  Розглянемо деякі супутні завдання.

  Визначити найменше рішення нерівності.

  Знайти число натуральних розв'язків нерівності

  Знайти довжину інтервалів, що становлять безліч розв'язків нерівності.

  2. Портал Природних Наук ().

  3. Електронний навчально-методичний комплекс для підготовки 10-11 класів до вступних іспитів з інформатики, математики, російської мови.

  5. Центр освіти "Технологія навчання" ().

  6. Розділ College.ru з математики ().

  1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл. №№ 28(б,в); 29(б,в); 35(а,б); 37(б,в); 38(а).

  
  

  Метод інтервалів є універсальним методом розв'язання нерівностей, зокрема, дозволяє вирішувати квадратні нерівності з однією змінною. У цій статті ми докладно висвітлимо всі нюанси розв'язання квадратних нерівностей методом інтервалів. Спочатку наведемо алгоритм, після чого детально розберемо готові рішення характерних прикладів.

  Навігація на сторінці.

  Алгоритм

  Перше знайомство з методом інтервалів зазвичай відбувається під час уроків алгебри, коли вчаться вирішувати квадратні нерівності. При цьому алгоритм методу інтервалів дають у вигляді, адаптованому саме до розв'язання квадратних нерівностей. Віддаючи данину простоті, ми теж дамо його в такому вигляді, а загальний алгоритм методу інтервалів Ви можете подивитися за посиланням на початку цієї статті.

  Отже, алгоритм розв'язання квадратних нерівностей методом інтервалівтакий:

  • Знаходимо нулі квадратного тричлена a x 2 + b x + c з лівої частини квадратної нерівності.
  • Зображуємо та за наявності коренів відзначаємо їх на ній. Причому якщо вирішуємо суворе нерівність, то відзначаємо їх порожніми (виколотими) точками, і якщо вирішуємо несуворе нерівність – звичайними точками. Вони розбивають координатну вісь на проміжки.
  • Визначаємо, які знаки мають значення тричлена на кожному проміжку (якщо на першому кроці були знайдені нулі) або на всій числовій прямій (якщо нулів немає), як це розкажемо трохи нижче. І проставляємо над цими проміжками + або – відповідно до певних знаків.
  • Якщо вирішуємо квадратну нерівність зі знаком > або ≥, то наносимо штрихування над проміжками зі знаками +, якщо вирішуємо нерівність зі знаком< или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −. В результате получаем , которое и является искомым решением неравенства.
  • Записуємо відповідь.

  Як і обіцяли, роз'яснюємо третій крок озвученого алгоритму. Існує кілька основних підходів, що дозволяють знаходити знаки на проміжках. Будемо їх вивчати на прикладах, і почнемо з надійного, але не найшвидшого способу, що полягає у обчисленні значень тричлена в окремо взятих точках проміжків.

  Візьмемо тричлен x 2 +4·x−5 , його корінням є числа −5 і 1 , вони розбивають числову вісь на три проміжки (−∞, −5) , (−5, 1) та (1, +∞) .

  Визначимо знак тричлена x 2 +4 x-5 на проміжку (1, +∞) . Для цього обчислимо значення даного тричлена при деякому значенні x цього проміжку. Доцільно брати таке значення змінної, щоб обчислення були простими. У разі, наприклад, можна взяти x=2 (з цим числом обчислення проводити простіше, ніж, наприклад, з 1,3 , 74 чи ). Підставляємо його в тричлен замість змінної x, в результаті отримуємо 2 2 +4 2-5 = 7 . 7 – позитивне число, це означає, що будь-яке значення квадратного тричлена на інтервалі (1, +∞) буде позитивним. Тож ми визначили знак +.

  Для закріплення навичок визначимо знаки на двох проміжках, що залишилися. Почнемо зі знака на інтервалі (-5, 1). З цього інтервалу краще взяти x=0 і обчислити значення квадратного тричлена при цьому значенні змінної, маємо 0 2 +4·0−5=−5 . Оскільки −5 – негативне число, то цьому інтервалі всі значення тричлена будуть негативними, отже, ми визначили знак мінус.

  Залишилося з'ясувати знак на проміжку (−∞, −5) . Візьмемо x=−6 , підставляємо його замість x , одержуємо (−6) 2 +4·(−6)−5=7 , отже, шуканим знаком буде плюс.

  Але швидше розставити знаки дозволяють такі факти:

  • Коли квадратний тричлен має два корені (при позитивному дискримінанті), то знаки його значень на проміжках, на які це коріння розбиває числову вісь, чергуються (як у попередньому прикладі). Тобто, достатньо визначити знак на одному з трьох проміжків, і розставити знаки над проміжками, що залишилися, чергуючи їх. В результаті можлива одна з двох послідовностей знаків: +, -, + або -, +, -. Більше того, можна взагалі обійтися без обчислення значення квадратного тричлена в точці проміжку, а зробити висновки про знаки за значенням старшого коефіцієнта a: якщо a>0, маємо послідовність знаків +, −, +, а якщо a<0 – то −, +, −.
  • Якщо ж квадратний тричлен має один корінь (коли дискримінант дорівнює нулю), цей корінь розбиває числову вісь на два проміжки, а знаки над ними будуть однаковими. Тобто достатньо визначити знак над одним із них, а над іншим – поставити такий самий. При цьому вийде або +, +, або −, −. Висновок за знаками можна зробити на основі значення коефіцієнта a: якщо a>0 , то буде +, +, а якщо a<0 , то −, −.
  • Коли квадратний тричлен коренів немає, то знаки його значень по всій числової прямої збігаються як із знаком старшого коефіцієнта a , і зі знаком вільного члена c . Наприклад розглянемо квадратний тричлен −4·x 2 −7 , не має коренів (його дискримінант негативний), і проміжку (−∞, +∞) його значення негативні, оскільки коефіцієнт при x 2 є негативне число −4 , і вільний член −7 теж негативний.

  Тепер всі кроки алгоритму розібрано і залишається розглянути приклади розв'язання квадратних нерівностей з його використанням.

  Приклади із рішеннями

  Переходимо до практики. Вирішимо кілька квадратних нерівностей методом інтервалів, торкнемося основних характерних випадків.

  приклад.

  Розв'яжіть нерівність 8·x 2 −4·x−1≥0 .

  Рішення.

  Проведемо розв'язання цієї квадратної нерівності методом інтервалів. Він на першому кроці передбачає пошук коренів квадратного тричлена 8 x 2 −4 x 1 . Коефіцієнт при x парний, тому зручніше обчислювати не дискримінант, а його четверту частину: D" = (-2) 2 -8 · (-1) = 12. Так як він більше за нуль, то знаходимо два корені і .

  Тепер відзначаємо їх на координатній прямій. Неважко бачити, що x 1

  Далі методом інтервалів визначаємо знаки кожному з трьох отриманих інтервалів. Це зручніше і найшвидше зробити на основі значення коефіцієнта при x 2 він дорівнює 8 , тобто, позитивний, отже, послідовність знаків буде +, −, +:
  

  Так як ми вирішуємо нерівність зі знаком ≥, то зображаємо штрихування над проміжками зі знаками плюс:
  

  По отриманому зображенню числової множини не важко описати його аналітично: або так . Так ми вирішили вихідну квадратну нерівність.

  Відповідь:

  або .

  приклад.

  Виконайте розв'язання квадратної нерівності методом інтервалів.

  Рішення.

  Знаходимо коріння квадратного тричлена, що знаходиться в лівій частині нерівності:
  

  Так як ми вирішуємо строгу нерівність, то на координатній прямій зображуємо виколоту точку з координатою 7 :
  

  Тепер визначаємо знаки на двох отриманих проміжках (−∞, 7) та (7, +∞) . Це легко зробити, враховуючи, що дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулі, а старший коефіцієнт негативний. Маємо знаки −, −:
  

  Тому що ми вирішуємо нерівність зі знаком<, то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:
  

  Добре видно, що рішеннями є обидва проміжки (−∞, 7) , (7, +∞) .

  Відповідь:

  (−∞, 7)∪(7, +∞) або в іншому записі x≠7 .

  приклад.

  Чи має квадратну нерівність x 2 +x+7<0 решения?

  Рішення.

  Для відповіді на поставлене запитання вирішимо дану квадратну нерівність, і якщо ми розуміємо спосіб інтервалів, то ним і користуємося. Як завжди, починаємо з пошуку коренів квадратного тричлена з лівої частини. Знаходимо дискримінант: D=1 2 −4·1·7=1−28=−27 він менше нуля, отже, дійсних коренів немає.

  Тому просто зображуємо координатну пряму, не відзначаючи на ній жодних точок:
  

  Тепер визначаємо знак значень квадратного тричлена. При D<0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак +:
  

  Ми вирішуємо нерівність зі знаком<, поэтому штриховку следует изобразить над промежутками со знаком −, но таковых нет, и в силу этого штриховку не наносим, а чертеж сохраняет свой вид.
  

  В результаті ми маємо порожню множину, а це означає, що вихідна квадратна нерівність рішень не має.

  Відповідь:

  Список літератури.

  • Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  • Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
  • Мордковіч А. Г.Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ге вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2008. – 287 с.: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.