Головна · Діарея · Показові функції – приклади. Показова функція – властивості, графіки, формули

Показові функції – приклади. Показова функція – властивості, графіки, формули

ПОКАЗНА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ VIII

§ 179 Основні властивості показової функції

У цьому параграфі ми вивчимо основні властивості показової функції

у = а x (1)

Нагадаємо, що під а у формулі (1) ми маємо на увазі будь-яке фіксоване позитивне число, відмінне від 1.

Властивість 1. Область визначення показової функції є сукупність всіх дійсних чисел.

Справді, за позитивного а вираз а x визначено для будь-якого дійсного числа х .

Властивість 2. Показова функція набуває лише позитивних значень.

Справді, якщо х > 0, те, як було доведено у § 176,

а x > 0.

Якщо ж х <. 0, то

а x =

де - х вже більше за нуль. Тому а - x > 0. Але тоді й

а x = > 0.

Нарешті, при х = 0

а x = 1.

2-ге властивість показової функції має просте графічне тлумачення. Воно полягає в тому, що графік цієї функції (рис. 246 і 247) розташовується повністю вище осі абсцис.

Властивість 3. Якщо а >1, то при х > 0 а x > 1, а при х < 0 а x < 1. Якщо ж а < 1, то, навпаки, при х > 0 а x < 1, а при х < 0 а x > 1.

Ця властивість показової функції також припускає просту геометричну інтерпретацію. При а > 1 (рис. 246) криві у = а x розташовуються вище прямої у = 1 при х > 0 і нижче за пряму у = 1 при х < 0.

Якщо ж а < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые у = а x розташовуються нижче прямої у = 1 при х > 0 і вище цієї прямої при х < 0.

Наведемо суворий доказ 3-го якості. Нехай а > 1 та х - Довільне позитивне число. Покажемо, що

а x > 1.

Якщо число х раціонально ( х = m / n ) , то а x = а m / n = n √a m .

Оскільки а > 1, то й а m > 1, Але корінь у складі, більшої одиниці, очевидно, також більше 1.

Якщо х ірраціонально, тобто позитивні раціональні числа х" і х" , які є десятковими наближеннями числа x :

х"< х < х" .

Але тоді за визначенням ступеня з ірраціональним показником

а x" < а x < а x"" .

Як показано вище, число а x" більше одиниці. Тому і число а x більше, ніж а x" , також має бути більше 1,

Отже, ми показали, що при a >1 і довільному позитивному х

а x > 1.

Якби число х було негативним, то ми мали б

а x =

де число - х було б позитивним. Тому а - x > 1. Отже,

а x = < 1.

Таким чином, при а > 1 і довільному негативному x

а x < 1.

Випадок, коли 0< а < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Властивість 4. Якщо х = 0, то незалежно від а а x =1.

Це випливає із визначення нульового ступеня; нульова ступінь будь-якого числа, відмінного від нуля, дорівнює 1. Графічно це властивість виявляється у тому, що з будь-якому а крива у = а x (див. рис. 246 і 247) перетинає вісь у у точці з ординатою 1.

Властивість 5. При а >1 показова функція у = а x є монотонно зростаючою, а при < 1 - монотонно спадаючою.

Ця властивість також припускає просту геометричну інтерпретацію.

При а > 1 (рис. 246) крива у = а x зі зростанням х піднімається все вище і вище, а при а < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Наведемо суворий доказ 5-го властивості.

Нехай а > 1 та х 2 > х 1 . Покажемо, що

а x 2 > а x 1

Оскільки х 2 > х 1 ., то х 2 = х 1 + d , де d - деяке позитивне число. Тому

а x 2 - а x 1 = а x 1 + d - а x 1 = а x 1 (а d - 1)

За 2-ою властивістю показової функції а x 1 > 0. Так як d > 0, то з 3-го властивості показової функції а d > 1. Обидва множники у творі а x 1 (а d - 1) позитивні, тому й сам цей твір позитивний. Значить, а x 2 - а x 1 > 0, або а x 2 > а x 1 , що потрібно було довести.

Отже, за a > 1 функція у = а x є монотонно зростаючою. Аналогічно доводиться, що за а < 1 функция у = а x є монотонно спадаючою.

Слідство. Якщо два ступеня однієї й тієї ж позитивного числа, відмінного від 1, рівні, то рівні та його показники.

Іншими словами, якщо

а b = а c (а > 0 та а =/= 1),

b = с .

Справді, якби числа b і з були не рівні, то через монотонність функції у = а x більшому з них відповідало б при а >1 більше, а при а < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или а b > а c , або а b < а c . І те, й інше суперечить умові а b = а c . Залишається визнати, що b = с .

Властивість 6. Якщо а > 1, то при необмеженому зростанні аргументу х (х -> ∞ ) значення функції у = а x також необмежено зростають (у -> ∞ ). При необмеженому спаданні аргументу х (х -> -∞ ) значення цієї функції прагнуть нуля, залишаючись у своїй позитивними (у->0; у > 0).

Беручи до уваги доведену вище монотонність функції у = а x , можна сказати, що в даному випадку функція у = а x монотонно зростає від 0 до ∞ .

Якщо 0 <а < 1, то при необмеженому зростанні аргументу х (х -> ∞) значення функції у = а x прагнуть нуля, залишаючись при цьому позитивними (у->0; у > 0). При необмеженому спаданні аргументу х (х -> -∞ ) значення цієї функції необмежено зростають (у -> ∞ ).

В силу монотонності функції у = а x можна сказати, що в цьому випадку функція у = а x монотонно убуває від ∞ до 0.

6-те властивість показової функції наочно відбито на малюнках 246 і 247. Строго доводити його ми будемо.

Нам залишилося лише встановити область зміни показової функції у = а x (а > 0, а =/= 1).

Вище ми довели, що функція у = а x набуває тільки позитивних значень і або монотонно зростає від 0 до ∞ (при а > 1), або монотонно убуває від ∞ до 0 (при 0< а <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция у = а x при своїй зміні якихось стрибків? Чи будь-які позитивні значення вона набуває? Питання це вирішується позитивно. Якщо а > 0 та а =/= 1, то, яке б не було позитивне число у 0 обов'язково знайдеться х 0 , таке, що

а x 0 = у 0 .

(В силу монотонності функції у = а x вказане значення х 0 буде, звичайно, єдиним.)

Доказ цього факту виходить за межі нашої програми. Геометрична інтерпретація його полягає в тому, що за будь-якого позитивного значення у 0 графік функції у = а x обов'язково перетнеться з прямою у = у 0 і до того ж лише у одній точці (рис. 248).

Звідси можна зробити такий висновок, який ми формулюємо як властивості 7.

Властивість 7. Області зміни показової функції у = а x (а > 0, а =/= 1)служить безліч усіх позитивних чисел.

Вправи

1368. Знайти області визначення таких функцій:

1369. Які з даних чисел більші за 1 і які менші за 1:

1370. На підставі якої властивості показової функції можна стверджувати, що

а) (5/7) 2,6> (5/7) 2,5; б) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2

1371. Яке число більше:

а) π - √3 або (1 / π ) - √3; в) (2/3) 1 + √6 або (2/3) √2 + √5 ;

б) ( π / 4) 1 + √3 або ( π / 4) 2; г) (√3) √2 - √5 або (√3 ) √3 - 2 ?

1372. Чи рівносильні нерівності:

1373. Що можна сказати про числа х і у , якщо а x = а y , де а - Задане позитивне число?

1374. 1) Чи можна серед усіх значень функції у = 2x виділити:

2) Чи можна серед усіх значень функції у = 2 | x| виділити:

а) найбільше значення; б) найменше значення?

Введемо спочатку визначення показової функції.

Показова функція $f\left(x\right)=a^x$, де $a >1$.

Введемо властивості показової функції, за $a >1$.

    \ \[коренів\ немає.\] \

    Перетин з осями координат. Функція не перетинає вісь $Ox$, але перетинає вісь $Oy$ у точці $(0,1)$.

    $f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$

    \ \[коренів\ немає.\] \

    Графік (рис. 1).

Малюнок 1. Графік функції $f \ left (x \ right) = a ^ x, \ при a 1 $.

Показова функція $f\left(x\right)=a^x$, де $0

Введемо властивості показової функції, за $0

    Область визначення - всі дійсні числа.

    $f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- функція ні парна, ні непарна.

    $f(x)$ - безперервна по всій області визначення.

    Область значення - інтервал $(0,+\infty)$.

    $f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$

    \ [коренів\ немає.\] \ \[коренів\ немає.\] \

    Функція опукла по всій області визначення.

    Поведінка на кінцях області визначення:

    \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]

    Графік (рис. 2).

Приклад завдання побудова показової функції

Дослідити та побудувати графік функції $y=2^x+3$.

Рішення.

Проведемо дослідження з прикладу схеми вище:

    Область визначення - всі дійсні числа.

    $ f \ left (-x \ right) = 2 ^ (-x) + 3 $ - функція ні парна, ні непарна.

    $f(x)$ - безперервна по всій області визначення.

    Область значення - інтервал $(3,+\infty)$.

    $f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$

    Функція зростає по всій області визначення.

    $f(x)\ge 0$ по всій області визначення.

    Перетин з осями координат. Функція не перетинає вісь $Ox$, але перетинає вісь $Oy$ у точці ($0,4)$

    $f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$

    Функція опукла по всій області визначення.

    Поведінка на кінцях області визначення:

    \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]

    Графік (рис. 3).

Малюнок 3. Графік функції $f\left(x\right)=2^x+3$

Концентрація уваги:

Визначення. Функція виду називається показовою функцією .

Зауваження. Виняток із значень основи aчисел 0; 1 та негативних значень aпояснюється такими обставинами:

Сам аналітичний вираз a xу зазначених випадках зберігає сенс і може зустрічатися у вирішенні завдань. Наприклад, для вираження x yкрапка x = 1; y = 1 входить у область допустимих значень.

Побудувати графіки функцій: і .

Графік показової функції
y = a x, a > 1 y = a x , 0< a < 1

Властивості показової функції

Властивості показової функції y = a x, a > 1 y = a x , 0< a < 1
  1. Область визначення функції
2. Область значень функції
3.Проміжки порівняння з одиницею при x> 0, a x > 1 при x > 0, 0< a x < 1
при x < 0, 0< a x < 1 при x < 0, a x > 1
4. парність, непарність. Функція не є ні парною, ні непарною (функція загального вигляду).
5.Монотонність. монотонно зростає на R монотонно зменшується на R
6. Екстремуми. Показова функція екстремумів немає.
7.Асимптота Вісь O xє горизонтальною асимптотою.
8. За будь-яких дійсних значень xі y;

Коли заповнюється таблиця, паралельно із заповненням вирішуються завдання.

Завдання № 1. (Для знаходження області визначення функції).

Які значення аргументу є допустимими для функцій:

Завдання № 2. (Для знаходження області значень функції).

На малюнку зображено графік функції. Вкажіть область визначення та область значень функції:

Завдання № 3. (Для вказівки проміжків порівняння з одиницею).

Кожен із наступних ступенів порівняйте з одиницею:

Завдання № 4. (Для дослідження функції на монотонність).

Порівняти за величиною дійсні числа mі nякщо:

Завдання № 5. (Для дослідження функції на монотонність).

Зробіть висновок щодо основи a, якщо:

y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) - 4 x

Як розташовуються графіки показових функцій щодо один одного при x > 0 x = 0 x< 0?

В одній координатній площині побудовано графіки функцій:

y(x) = (0,1) x; f(x) = (0,5) x; z(x) = (0,8) x .

Як розташовуються графіки показових функцій щодо один одного при x > 0 x = 0 x< 0?

Число одна з найважливіших постійних у математиці. За визначенням, воно дорівнює межі послідовності при необмеженому зростанні n . Позначення e ввів Леонард Ейлер

в 1736 р. він обчислив перші 23 знаки цього числа в десятковому записі, а саме число назвали на честь Непера «неперовим числом». ПозначенняЧисло грає особливу роль математичному аналізі. Показова функція Позначення, з основою називається експонентою і позначається.

y = e x Перші знаки Позначеннячисла два, кома, сім, рік народження Льва Толстого - два рази, сорок п'ять, дев'яносто, сорок п'ять.

Домашнє завдання:

Колмогорів п. 35; №445-447; 451; 453.

Повторити алгоритм побудови графіків функцій, які містять змінну під знаком модуля.

Рішення більшості математичних завдань однак пов'язані з перетворенням числових, алгебраїчних чи функціональних выражений. Сказане особливо належить до рішення. У варіантах ЄДІ з математики такого типу завдань відноситься, зокрема, завдання C3. Навчитися вирішувати завдання C3 важливо не тільки з метою успішного складання ЄДІ, але й з тієї причини, що це вміння знадобиться щодо курсу математики у вищій школі.

Виконуючи завдання C3, доводиться вирішувати різні види рівнянь та нерівностей. Серед них — раціональні, ірраціональні, показові, логарифмічні, тригонометричні модулі (абсолютні величини), що містять, а також комбіновані. У цій статті розглянуто основні типи показових рівнянь та нерівностей, а також різні методи їх вирішення. Про розв'язання інших видів рівнянь і нерівностей читайте у рубриці « » у статтях, присвячених методам розв'язання задач C3 з варіантів ЄДІ з математики.

Перш ніж приступити до розбору конкретних показових рівнянь та нерівностейяк репетитор з математики, пропоную вам освіжити в пам'яті деякий теоретичний матеріал, який нам знадобиться.

Показова функція

Що таке показова функція?

Функцію виду y = a x, де a> 0 та a≠ 1, називають показовою функцією.

Основні властивості показової функції y = a x:

Графік показової функції

Графіком показової функції є експонента:

Графіки показових функцій (експоненти)

Розв'язання показових рівнянь

Показовиминазиваються рівняння, у яких невідома змінна перебуває лише показниках будь-яких ступенів.

Для вирішення показових рівняньпотрібно знати та вміти використовувати наступну нескладну теорему:

Теорема 1.Показове рівняння a f(x) = a g(x) (де a > 0, a≠ 1) рівносильно рівнянню f(x) = g(x).

Крім цього, корисно пам'ятати про основні формули та дії зі ступенями:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

приклад 1.Розв'яжіть рівняння:

Рішення:використовуємо наведені вище формули та підстановку:

Рівняння тоді набуває вигляду:

Дискримінант отриманого квадратного рівняння позитивний:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Це означає, що це рівняння має два корені. Знаходимо їх:

Переходячи до зворотної підстановки, отримуємо:

Друге рівняння коренів немає, оскільки показова функція суворо позитивна по всій області визначення. Вирішуємо друге:

З урахуванням сказаного в теоремі 1 переходимо до еквівалентного рівняння: x= 3. Це буде відповіддю до завдання.

Відповідь: x = 3.

приклад 2.Розв'яжіть рівняння:

Рішення:обмежень на область допустимих значень у рівняння немає, оскільки підкорене вираз має сенс за будь-якого значення x(Показова функція y = 9 4 -xпозитивна і не дорівнює нулю).

Вирішуємо рівняння шляхом рівносильних перетворень з використанням правил множення та поділу ступенів:

Останній перехід було здійснено відповідно до теореми 1.

Відповідь:x= 6.

приклад 3.Розв'яжіть рівняння:

Рішення:обидві частини вихідного рівняння можна поділити на 0,2 x. Цей перехід буде рівносильним, оскільки цей вираз більше нуля за будь-якого значення x(Показова функція суворо позитивна у своїй області визначення). Тоді рівняння набуває вигляду:

Відповідь: x = 0.

приклад 4.Розв'яжіть рівняння:

Рішення:спрощуємо рівняння до елементарного шляхом рівносильних перетворень з використанням наведених на початку статті правил поділу та множення ступенів:

Розподіл обох частин рівняння на 4 x, Як і в попередньому прикладі, є рівносильним перетворенням, оскільки даний вираз не дорівнює нулю за жодних значень x.

Відповідь: x = 0.

Приклад 5.Розв'яжіть рівняння:

Рішення:функція y = 3x, що стоїть у лівій частині рівняння, є зростаючою. Функція y = —x-2/3, що стоїть у правій частині рівняння, є спадною. Це означає, що якщо графіки цих функцій перетинаються, то не більше, ніж в одній точці. У разі неважко здогадатися, що графіки перетинаються у точці x= -1. Іншого коріння не буде.

Відповідь: x = -1.

Приклад 6.Розв'яжіть рівняння:

Рішення:спрощуємо рівняння шляхом рівносильних перетворень, маючи на увазі скрізь, що показова функція строго більша за нуль за будь-якого значення xта використовуючи правила обчислення твору та приватного ступенів, наведені на початку статті:

Відповідь: x = 2.

Вирішення показових нерівностей

Показовиминазиваються нерівності, у яких невідома змінна міститься лише у показниках будь-яких ступенів.

Для вирішення показових нерівностейпотрібно знання наступної теореми:

Теорема 2.Якщо a> 1, то нерівність a f(x) > a g(x) рівносильно нерівності того ж сенсу: f(x) > g(x). Якщо 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) рівносильно нерівності протилежного сенсу: f(x) < g(x).

Приклад 7.Розв'яжіть нерівність:

Рішення:представимо вихідну нерівність у вигляді:

Розділимо обидві частини цієї нерівності на 3 2 x, при цьому (через позитивність функції y= 3 2x) знак нерівності не зміниться:

Скористаємося підстановкою:

Тоді нерівність набуде вигляду:

Отже, розв'язанням нерівності є проміжок:

переходячи до зворотної підстановки, отримуємо:

Ліва нерівність у силу позитивності показової функції виконується автоматично. Скориставшись відомою властивістю логарифму, переходимо до еквівалентної нерівності:

Оскільки на підставі ступеня стоїть число, більше одиниці, еквівалентним (за теоремою 2) буде перехід до наступної нерівності:

Отже, остаточно отримуємо відповідь:

Приклад 8.Розв'яжіть нерівність:

Рішення:використовуючи властивості множення та поділу ступенів, перепишемо нерівність у вигляді:

Введемо нову змінну:

З урахуванням цієї підстановки нерівність набуває вигляду:

Помножимо чисельник і знаменник дробу на 7, отримуємо наступну рівносильну нерівність:

Отже, нерівності задовольняють такі значення змінної t:

Тоді, переходячи до зворотної підстановки, отримуємо:

Оскільки основа ступеня тут більше одиниці, рівносильним (за теоремою 2) буде перехід до нерівності:

Остаточно отримуємо відповідь:

Приклад 9.Розв'яжіть нерівність:

Рішення:

Ділимо обидві частини нерівності на вираз:

Воно завжди більше нуля (через позитивність показової функції), тому знак нерівності змінювати не потрібно. Отримуємо:

t , що у проміжку:

Переходячи до зворотної підстановки отримуємо, що вихідна нерівність розпадається на два випадки:

Перша нерівність рішень немає з позитивності показової функції. Вирішуємо друге:

приклад 10.Розв'яжіть нерівність:

Рішення:

Гілки параболи y = 2x+2-x 2 спрямовані вниз, отже вона обмежена зверху значенням, яке вона досягає у своїй вершині:

Гілки параболи y = x 2 -2x+2, що стоїть у показнику, спрямовані вгору, значить вона обмежена знизу значенням, яке вона досягає у своїй вершині:

Разом з цим обмеженою знизу виявляється і функція y = 3 x 2 -2x+2 , що стоїть у правій частині рівняння. Вона досягає свого найменшого значення в тій же точці, що і парабола, що стоїть у показнику, і це значення дорівнює 3 1 = 3. Отже, вихідна нерівність може виявитися вірною тільки в тому випадку, якщо функція зліва та функція праворуч приймають в одній точці значення , що дорівнює 3 (перетином областей значень цих функцій є тільки це число). Ця умова виконується в єдиній точці x = 1.

Відповідь: x= 1.

Для того щоб навчитися вирішувати показові рівняння та нерівності,необхідно постійно тренуватися у вирішенні. У цій нелегкій справі вам можуть допомогти різноманітні методичні посібники, задачники з елементарної математики, збірники конкурсних завдань, заняття з математики у школі, а також індивідуальні заняття з професійним репетитором. Щиро бажаю вам успіхів у підготовці та блискучих результатів на іспиті.


Сергій Валерійович

P. S. Шановні гості! Будь ласка, не пишіть у коментарях заявки на вирішення ваших рівнянь. На жаль, на це в мене немає часу. Такі повідомлення будуть видалені. Будь ласка, ознайомтеся із статтею. Можливо, у ній ви знайдете відповіді питання, які дозволили вирішити своє завдання самостійно.