Знайти різницю прогресії онлайн. Як знайти арифметичну прогресію? Арифметична прогресія - приклади з рішенням

Наприклад, послідовність (2); \ (5 \); \ (8 \); \ (11 \); \(14\)... є арифметичною прогресією, тому що кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на три (може бути отриманий з попереднього додаванням трійки):

У цій прогресії різниця (d) позитивна (рівна (3)), і тому кожен наступний член більший за попередній. Такі прогресії називаються зростаючими.

Однак (d) може бути і негативним числом. Наприклад, в арифметичній прогресії \(16\); \ (10 ​​\); \ (4 \); \(-2\); \ (-8 \) ... Різниця прогресії \ (d \) дорівнює мінус шести.

І в цьому випадку кожен наступний елемент буде меншим, ніж попередній. Ці прогресії називаються спадаючими.

Позначення арифметичної прогресії

Прогресію позначають маленькою латинською літерою.

Числа, що утворюють прогресію, називають її членами(або елементами).

Їх позначають тією ж літерою як і арифметичну прогресію, але з числовим індексом, рівним номеру елемента по порядку.

Наприклад, арифметична прогресія (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \) складається з елементів \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) і так далі.

Іншими словами, для прогресії (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)

Розв'язання задач на арифметичну прогресію

У принципі, викладеної вище інформації вже достатньо, щоб вирішувати практично будь-яке завдання на арифметичну прогресію (у тому числі з тих, що пропонують на ОДЕ).

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана умовами (b_1 = 7; d = 4). Знайдіть (b_5).
Рішення:

Відповідь: \ (b_5 = 23 \)

Приклад (ОДЕ). Дано перші три члени арифметичної прогресії: \(62; 49; 36…\) Знайдіть значення першого негативного члена цієї прогресії.
Рішення:

Відповідь: \(-3\)

Приклад (ОДЕ). Дано кілька елементів арифметичної прогресії, що йдуть поспіль: \(…5; x; 10; 12,5...\) Знайдіть значення елемента, позначеного буквою \(x\).
Рішення:

Відповідь: \(7,5\).

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана такими умовами: (a_1=-11); \(a_(n+1)=a_n+5\) Знайдіть суму перших шести членів цієї прогресії.
Рішення:

Відповідь: \ (S_6 = 9 \).

Приклад (ОДЕ). В арифметичній прогресії \(a_(12)=23\); \ (a_ (16) = 51 \). Знайдіть різницю цієї прогресії.
Рішення:

Відповідь: \ (d = 7 \).

Важливі формули арифметичної прогресії

Як бачите, багато завдань з арифметичної прогресії можна вирішувати, просто зрозумівши головне – те, що арифметична прогресія є ланцюжок чисел, і кожен наступний елемент у цьому ланцюжку виходить додаванням до попереднього одного і того ж числа (різниці прогресії).

Однак часом трапляються ситуації, коли вирішувати «в лоб» дуже незручно. Наприклад, уявіть, що в першому прикладі нам потрібно знайти не п'ятий елемент \(b_5\), а триста вісімдесят шостий \(b_(386)\). Це що ж, нам (385) разів додавати четвірку? Або уявіть, що у передостанньому прикладі треба знайти суму перших сімдесяти трьох елементів. Вважати замучаєшся ...

Тому в таких випадках «у лоб» не вирішують, а використовують спеціальні формули, виведені для арифметичної прогресії. І головні їх це формула енного члена прогресії і формула суми (n) перших членів.

Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), де \(a_1\) - перший член прогресії;
\ (n \) - Номер шуканого елемента;
\(a_n\) - член прогресії з номером \(n\).

Ця формула дозволяє нам швидко знайти хоч триста, хоч мільйонний елемент, знаючи лише перший і різницю прогресії.

приклад. Арифметична прогресія задана умовами: (b_1=-159); (d = 8,2). Знайдіть \(b_(246)\).
Рішення:

Відповідь: \ (b_ (246) = 1850).

Формула суми n перших членів: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), де

\(a_n\) – останній підсумований член;

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана умовами (a_n = 3,4n-0,6 \). Знайдіть суму перших (25) членів цієї прогресії.
Рішення:

Відповідь: \ (S_ (25) = 1090 \).

Для суми перших членів можна отримати ще одну формулу: потрібно просто в (S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\ ) замість \(a_n\) підставити формулу для нього \(a_n=a_1+(n-1)d\). Отримаємо:

Формула суми n перших членів: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), де

\ (S_n \) - Шукана сума \ (n \) перших елементів;
\(a_1\) – перший сумований член;
(d) - різниця прогресії;
\(n\) – кількість елементів у сумі.

приклад. Знайдіть суму перших (33)-їх членів арифметичної прогресії: (17); \ (15,5 \); \ (14 \) ...
Рішення:

Відповідь: \ (S_ (33) = -231 \).

Більш складні завдання на арифметичну прогресію

Тепер у вас є вся необхідна інформація для вирішення практично будь-якого завдання на арифметичну прогресію. Завершимо тему розглядом завдань, у яких треба не просто застосовувати формули, але й трохи думати (в математиці це корисно ☺)

Приклад (ОДЕ). Знайдіть суму всіх негативних членів прогресії: (-19,3); \ (-19 \); \ (-18,7 \) ...
Рішення:

Відповідь: \ (S_ (65) = -630,5 \).

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана умовами: (a_1=-33); \(a_(n+1)=a_n+4\). Знайдіть суму від \(26\)-го до \(42\) елемента включно.
Рішення:

Відповідь: (S = 1683).

Для арифметичної прогресії існує ще кілька формул, які ми не розглядали в цій статті через їхню малу практичну корисність. Однак ви легко можете знайти їх .

У чому головна сутність формули?

Ця формула дозволяє знайти будь-який ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n" .

Зрозуміло, треба знати ще перший член a 1і різниця прогресії d, Так без цих параметрів конкретну прогресію і не запишеш.

Завчити (або зашпаргалити) цю формулу мало. Потрібно засвоїти її суть і застосувати формулу в різних завданнях. Та ще й не забути в потрібний момент, так...) Як не забути- я не знаю. А от як згадати,при необхідності - точно підкажу. Тим, хто урок до кінця подужає.)

Отже, розберемося із формулою n-го члена арифметичної прогресії.

Що таке формула взагалі – ми собі уявляємо.) Що таке арифметична прогресія, номер члена, різниця прогресії – доступно викладено у попередньому уроці. Загляньте, до речі, як не читали. Там просто все. Залишилося розібратися, що таке n-й член.

Прогресію у загальному вигляді можна записати у вигляді ряду чисел:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- Позначає перший член арифметичної прогресії, a 3- третій член, a 4- Четвертий, і так далі. Якщо нас цікавить п'ятий член, скажімо, ми працюємо з a 5, якщо сто двадцятий - з a 120.

А як позначити у загальному вигляді будь-якийчлен арифметичної прогресії, з будь-якимномером? Дуже просто! Ось так:

a n

Це і є n-й член арифметичної прогресії.Під літерою n ховаються відразу всі номери членів: 1, 2, 3, 4 тощо.

І що нам дає такий запис? Подумаєш, замість цифри букву записали...

Цей запис дає нам потужний інструмент для роботи з арифметичною прогресією. Використовуючи позначення a n, ми можемо швидко знайти будь-якийчлен будь-якийарифметичній прогресії. І ще купу завдань щодо прогресії вирішити. Самі далі побачите.

У формулі n-го члена арифметичної прогресії:

a 1- Перший член арифметичної прогресії;

n- Номер члена.

Формула пов'язує ключові параметри будь-якої прогресії: a n; a 1; dі n. Навколо цих властивостей і крутяться всі завдання з прогресії.

Формула n-го члена можна використовувати й у записи конкретної прогресії. Наприклад, завдання може бути сказано, що прогресія задана умовою:

a n = 5 + (n-1) ·2.

Таке завдання може і в глухий кут поставити ... Немає ні ряду, ні різниці ... Але, порівнюючи умову з формулою, легко збагнути, що в цій прогресії a 1 =5, а d=2.

А буває ще зліше!) Якщо взяти ту ж умову: a n = 5 + (n-1) · 2,та розкрити дужки та привести подібні? Отримаємо нову формулу:

a n = 3 + 2n.

Це Тільки не загальна, а для конкретної прогресії. Ось тут і ховається підводний камінь. Деякі думають, що перший член – це трійка. Хоча реально перший член - п'ятірка... Трохи нижче ми попрацюємо з такою формулою.

У завдання на прогресію зустрічається ще одне позначення - a n+1. Це, як ви здогадалися, "ен плюс перший" член прогресії. Сенс його простий і нешкідливий.) Це член прогресії, номер якого більший за номер n на одиницю. Наприклад, якщо в якомусь завданні ми беремо за a nп'ятий член, то a n+1буде шостим членом. І тому подібне.

Найчастіше позначення a n+1зустрічається у рекурентних формулах. Не лякайтеся цього страшного слова!) Це просто спосіб висловлювання члена арифметичної прогресії через попередній.Припустимо, нам дана арифметична прогресія ось у такому вигляді, за допомогою рекурентної формули:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Четвертий – через третій, п'ятий – через четвертий, тощо. А як порахувати одразу, скажімо двадцятий член, a 20? А ніяк!) Поки 19-й член не дізнаємось, 20-й не порахувати. У цьому є принципова відмінність рекурентної формули від формули n-го члена. Рекурентна працює тільки через попереднійчлен, а формула n-го члена – через першийі дозволяє відразузнаходити будь-який член за його номером. Не прораховуючи цілий ряд чисел по порядку.

В арифметичній прогресії рекурентну формулу легко перетворити на звичайну. Порахувати пару послідовних членів, обчислити різницю d,знайти, якщо треба, перший член a 1, Записати формулу у звичайному вигляді, та й працювати з нею. У ДПА подібні завдання часто зустрічаються.

Застосування формули n члена арифметичної прогресії.

Спочатку розглянемо пряме застосування формули. Наприкінці попереднього уроку було завдання:

Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121 якщо a 1 =3, а d=1/6.

Це завдання можна без будь-яких формул вирішити, просто з сенсу арифметичної прогресії. Додавати, та додавати... Годинник-другий.)

А за формулою рішення займе менше хвилини. Можете засікати час.) Вирішуємо.

В умовах наведено всі дані для використання формули: a 1 =3, d=1/6.Залишається збагнути, чому одно n.Не питання! Нам треба знайти a 121. Ось і пишемо:

Прошу звернути увагу! Замість індексу nз'явилося конкретне число: 121. Що цілком логічно.) Нас цікавить член арифметичної прогресії номер сто двадцять один.Ось це і буде наше n.Саме це значення n= 121 ми і підставимо далі до формули, до дужок. Підставляємо всі числа у формулу та вважаємо:

a 121 = 3 + (121-1) · 1/6 = 3 +20 = 23

Ось і всі справи. Так само швидко можна було знайти і п'ятсот десятий член, і тисяча третій, кожен. Ставимо замість nпотрібний номер в індексі у літери " a"і в дужках, та й рахуємо.

Нагадаю суть: ця формула дозволяє знайти будь-якийчлен арифметичної прогресії ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n" .

Вирішимо завдання хитрішим. Нехай нам трапилося таке завдання:

Знайдіть перший член арифметичної прогресії (a n), якщо a 17 = -2; d=-0,5.

Якщо виникли труднощі, підкажу перший крок. Запишіть формулу n члена арифметичної прогресії!Так Так. Руками запишіть, прямо в зошиті:

А тепер, дивлячись на літери формули, розуміємо, які дані ми маємо, а чого не вистачає? Є d=-0,5,є сімнадцятий член ... Все? Якщо вважаєте, що все, то завдання не вирішите, так...

У нас ще є номер n! В умові a 17 =-2заховані два параметри.Це значення сімнадцятого члена (-2), та її номер (17). Тобто. n=17.Ця "дрібниця" часто проскакує повз голову, а без неї, (без "дрібниці", а не голови!) завдання не вирішити. Хоча... і без голови теж.)

Тепер можна просто тупо підставити наші дані у формулу:

a 17 = a 1 + (17-1) · (-0,5)

Ах да, a 17нам відомо, що це -2. Ну гаразд, підставимо:

-2 = a 1 + (17-1) · (-0,5)

Ось по суті, і все. Залишилося висловити перший член арифметичної прогресії з формули, та порахувати. Вийде відповідь: a 1 = 6.

Такий прийом – запис формули та проста підстановка відомих даних – чудово допомагає у простих завданнях. Ну, треба, звичайно, вміти висловлювати змінну з формули, а що робити! Без цього вміння математику можна взагалі не вивчати.

Ще одне популярне завдання:

Знайдіть різницю арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 =2; a 15 = 12.

Що робимо? Ви здивуєтеся, пишемо формулу!)

Розуміємо, що нам відомо: a 1 = 2; a 15 = 12; та (спеціально виокремлю!) n=15. Сміливо підставляємо у формулу:

12 = 2 + (15-1) d

Вважаємо арифметику.)

12 = 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Це правильна відповідь.

Так, завдання на a n , a 1і dвирішили. Залишилося навчитися знаходити:

Число 99 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 12; d=3. Знайти номер члена.

Підставляємо у формулу n-го члена відомі нам величини:

a n = 12 + (n-1) · 3

На перший погляд, тут дві невідомі величини: a n та n.Але a n- це якийсь член прогресії з номером n... І цей член прогресії ми знаємо! Це 99. Ми не знаємо його номер n,так цей номер і потрібно знайти. Підставляємо член прогресії 99 у формулу:

99 = 12 + (n-1) · 3

Висловлюємося з формули nвважаємо. Отримаємо відповідь: n=30.

А тепер завдання на ту саму тему, але більш творча):

Визначте, чи буде число 117 членом арифметичної прогресії (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Знову пишемо формулу. Що немає ніяких параметрів? Гм... А очі нам навіщо дано?) Перший член прогресії бачимо? Бачимо. Це –3,6. Можна сміливо записати: a 1 = -3,6.Різниця dможна з ряду визначити? Легко, якщо знаєте, що таке різницю арифметичної прогресії:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Так, найпростіше зробили. Залишилося розібратися з невідомим номером nі незрозумілим числом 117. У попередній задачі хоч було відомо, що дано саме член прогресії. А тут і того не знаємо... Як бути! Ну, як бути, як бути... Включити творчі здібності!

Ми припустимо,що 117 - це все-таки член нашої прогресії. З невідомим номером n. І, як у попередній задачі, спробуємо знайти цей номер. Тобто. пишемо формулу (так-так!) і підставляємо наші числа:

117 = -3,6 + (n-1) · 1,2

Знову висловлюємося з формулиn, вважаємо та отримуємо:

Опаньки! Номер вийшов дробовий!Сто один із половиною. А дрібних номерів у прогресіях не буває.Який висновок зробимо? Так! Число 117 не єчленом нашої прогресії. Воно знаходиться десь між сто першим і сто другим членом. Якби номер вийшов натуральним, тобто. позитивним цілим, число було б членом прогресії зі знайденим номером. А в нашому випадку відповідь завдання буде: ні.

Завдання на основі реального варіанту ГІА:

Арифметична прогресія задана умовою:

a n = -4 + 6,8 n

Знайти перший і десятий члени прогресії.

Тут прогресію задано не зовсім звичним чином. Формула якась... Буває.) Однак, ця формула (як я писав вище) - теж формула n-го члена арифметичної прогресії!Вона також дозволяє знайти будь-який член прогресії за його номером.

Шукаємо перший член. Той, хто думає. що перший член – мінус чотири, фатально помиляється!) Тому, що формула у завданні – видозмінена. Перший член арифметичної прогресії у ній захований.Нічого, зараз знайдемо.)

Так само, як і в попередніх завданнях, підставляємо n=1у цю формулу:

a 1 = -4 + 6,8 · 1 = 2,8

Ось! Перший член 2,8, а чи не -4!

Аналогічно шукаємо десятий член:

a 10 = -4 + 6,8 · 10 = 64

Ось і всі справи.

А тепер тим, хто дочитав до цих рядків, - обіцяний бонус.)

Припустимо, у складній бойовій обстановці ГІА або ЄДІ ви забули корисну формулу n-го члена арифметичної прогресії. Щось пригадується, але невпевнено якось... Чи то nтам, чи n+1, чи то n-1...Як бути!?

Спокій! Цю формулу легко вивести. Не дуже суворо, але для впевненості та правильного рішення точно вистачить!) Для висновку достатньо пам'ятати елементарний сенс арифметичної прогресії та мати пару-трійку хвилин часу. Потрібно просто намалювати картинку. Для наочності.

Малюємо числову вісь та відзначаємо на ній перший. другий, третій тощо. члени. І відзначаємо різницю dміж членами. Ось так:

Дивимося на картинку і розуміємо: чому дорівнює другий член? Другий одне d:

a 2 =a 1 + 1 ·d

Чому дорівнює третій член? Третійчлен дорівнює перший член плюс два d.

a 3 =a 1 + 2 ·d

Уловлюєте? Я не дарма деякі слова виділяю жирним шрифтом. Ну гаразд, ще один крок).

Чому дорівнює четвертий член? Четвертийчлен дорівнює перший член плюс три d.

a 4 =a 1 + 3 ·d

Час зрозуміти, що кількість проміжків, тобто. d, завжди один менше, ніж номер шуканого члена n. Тобто, до номера n, кількість проміжківбуде n-1.Отже, формула буде (без варіантів!):

Взагалі, наочні картинки дуже допомагають вирішувати багато завдань у математиці. Не нехтуйте картинками. Але якщо картинку намалювати важко, то... тільки формула!) Крім того, формула n-го члена дозволяє підключити до вирішення весь потужний арсенал математики - рівняння, нерівності, системи і т.д. Картинку в рівняння не вставиш...

Завдання для самостійного вирішення.

Для розминки:

1. В арифметичній прогресії (a n) a 2 = 3; a 5 =5,1. Знайти a 3 .

Підказка: за картинкою завдання вирішується секунд за 20... За формулою – складніше виходить. Але для освоєння формули - корисніше.) У Розділі 555 це завдання вирішено і з картинці, і за формулою. Відчуйте різницю!)

А це – вже не розминка.)

2. В арифметичній прогресії (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Знайти a 3 .

Що, не хочеться малюнок малювати?) Ще б пак! Краще за формулою, так...

3. Арифметична прогресія задана умовою:a 1 =-5,5; an+1 = an+0,5. Знайдіть сто двадцять п'ятий член цієї прогресії.

У цьому вся завдання прогресія задана рекурентним способом. Але рахувати до сто двадцять п'ятого члена... Не всім такий подвиг під силу. Зате формула n-го члена під силу кожному!

4. Дана арифметична прогресія (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Знайти номер найменшого позитивного члена прогресії.

5. За умовою завдання 4 знайти суму найменшого позитивного та найбільшого негативного членів прогресії.

6. Добуток п'ятого та дванадцятого членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює -2,5, а сума третього та одинадцятого членів дорівнює нулю. Знайти a 14 .

Не найпростіше завдання, так ...) Тут спосіб "на пальцях" не прокотить. Прийде формули писати і рівняння розв'язувати.

Відповіді (безладно):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Вийшло? Це приємно!)

Чи не все виходить? Буває. До речі, в останньому завданні є один тонкий момент. Уважність під час читання завдання буде потрібна. І логіка.

Розв'язання цих завдань докладно розібрано у Розділі 555. І елемент фантазії для четвертої, і тонкий момент для шостий, і загальні підходи на вирішення будь-яких завдань на формулу n-го члена - все розписано. Рекомендую.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Хтось до слова «прогресія» ставиться насторожено, як дуже складний термін з розділів вищої математики. А тим часом найпростіша арифметична прогресія – робота лічильника таксі (де вони ще залишилися). І зрозуміти суть (а математиці немає нічого важливіше, ніж «зрозуміти суть») арифметичної послідовності негаразд складно, розібравши кілька елементарних понять.

Математична числова послідовність

Числовою послідовністю прийнято називати якийсь ряд чисел, кожне з яких має власний номер.

а 1 - перший член послідовності;

а 2 - другий член послідовності;

а 7 – сьомий член послідовності;

а n - n-ний член послідовності;

Проте чи будь-який довільний набір цифр і чисел цікавить нас. Нашу увагу зосередимо на числової послідовності, у якій значення n-ного члена пов'язане з його порядковим номером залежністю, яку можна чітко сформулювати математично. Іншими словами: чисельне значення n-ного номера є функцією від n.

a - значення члена числової послідовності;

n – його порядковий номер;

f(n) - функція, де порядковий номер числової послідовності n є аргументом.

Визначення

Арифметичною прогресією прийнято називати числову послідовність, у якій кожен наступний член більше (менше) попереднього одне й те число. Формула n-ного члена арифметичної послідовності виглядає так:

a n – значення поточного члена арифметичної прогресії;

a n+1 - формула наступного числа;

d - різниця (певне число).

Неважко визначити, якщо різниця позитивна (d>0), кожен наступний член аналізованого ряду буде більше попереднього і така арифметична прогресія буде зростаючою.

На поданому нижче графіку неважко простежити, чому числова послідовність отримала назву "зростаюча".

У випадках, коли різниця негативна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Значення заданого члена

Іноді буває необхідно визначити значення будь-якого довільного члена an арифметичної прогресії. Можна це шляхом розрахунку послідовно значень всіх членів арифметичної прогресії, починаючи з першого до шуканого. Однак такий шлях не завжди прийнятний, якщо, наприклад, необхідно знайти значення п'ятитисячного чи восьмимільйонного члена. Традиційний розрахунок сильно затягнеться за часом. Однак конкретна арифметична прогресія може бути вивчена за допомогою певних формул. Існує і формула n-ного члена: значення будь-якого члена арифметичної прогресії можна визначити як сума першого члена прогресії з різницею прогресії, помноженої на номер шуканого члена, зменшений на одиницю.

Формула універсальна для зростаючої та спадної прогресії.

Приклад розрахунку значення заданого члена

Розв'яжемо наступне завдання на знаходження значення n-ного члена арифметичної прогресії.

Умова: є арифметична прогресія з параметрами:

Перший член послідовності дорівнює 3;

Різниця числового ряду дорівнює 1,2.

Завдання: потрібно знайти значення 214 члена

Рішення: для визначення значення заданого члена скористаємося формулою:

а(n) = а1 + d(n-1)

Підставивши у вираз дані з умови завдання маємо:

а(214) = а1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Відповідь: 214 член послідовності рівні 258,6.

Переваги такого способу розрахунку очевидні - все рішення займає трохи більше 2 рядків.

Сума заданої кількості членів

Дуже часто в заданому арифметичному ряду потрібно визначити суму значень його відрізка. Для цього також не потрібно обчислювати значення кожного члена і потім підсумовувати. Такий спосіб застосовується, якщо кількість членів, суму яких необхідно знайти, невелика. В інших випадках зручніше скористатися такою формулою.

Сума членів арифметичної прогресії від 1 до n дорівнює сумі першого та n-ного членів, помноженої на номер члена n та діленої надвоє. Якщо у формулі значення n-ного члена замінити на вираз із попереднього пункту статті, отримаємо:

Приклад розрахунку

Наприклад вирішимо задачу з наступними умовами:

Перший член послідовності дорівнює нулю;

Різниця дорівнює 0,5.

У завданні потрібно визначити суму членів ряду з 56 по 101.

Рішення. Скористаємося формулою визначення суми прогресії:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Спочатку визначимо суму значень 101 члена прогресії, підставивши у формулу дані їх умови нашого завдання:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Очевидно, для того, щоб дізнатися суму членів прогресії з 56-го по 101-й, необхідно від S 101 відібрати S 55 .

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Таким чином, сума арифметичної прогресії для даного прикладу:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1 782,5

Приклад практичного застосування арифметичної прогресії

Наприкінці статті повернемося наприклад арифметичної послідовності, наведеному у першому абзаці - таксометр (лічильник автомобіля таксі). Розглянемо такий приклад.

Посадка в таксі (до якої входить 3 км пробігу) коштує 50 рублів. Кожен наступний кілометр оплачується із розрахунку 22 руб./км. Відстань подорожі 30 км. Розрахувати вартість подорожі.

1. Відкинемо перші 3 км, ціна яких включена у вартість посадки.

30 – 3 = 27 км.

2. Подальший розрахунок - не що інше як аналіз арифметичного числового ряду.

Номер члена – число км пробігу (мінус перші три).

Значення члена – сума.

Перший член у цій задачі дорівнюватиме a 1 = 50 р.

Різниця прогресії d = 22 р.

цікавить нас число - значення (27 +1)-ого ​​члена арифметичної прогресії - показання лічильника наприкінці 27-го кілометра - 27,999 ... = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

На формулах, що описують ті чи інші числові послідовності, побудовані розрахунки календарних даних на скільки завгодно тривалий період. В астрономії у геометричній залежності від відстані небесного тіла до світила знаходиться довжина орбіти. Крім того, різні числові ряди з успіхом застосовуються у статистиці та інших прикладних розділах математики.

Інший вид числової послідовності – геометрична

Геометрична прогресія характеризується більшими, порівняно з арифметичною, темпами зміни. Не випадково в політиці, соціології, медицині найчастіше, щоб показати велику швидкість поширення того чи іншого явища, наприклад захворювання при епідемії, кажуть, що процес розвивається у геометричній прогресії.

N-ний член геометричного числового ряду відрізняється від попереднього тим, що він множиться на якесь постійне число - знаменник, наприклад перший член дорівнює 1, знаменник відповідно дорівнює 2, тоді:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n – значення поточного члена геометричної прогресії;

b n+1 - формула наступного члена геометричної прогресії;

q – знаменник геометричної прогресії (постійне число).

Якщо графік арифметичної прогресії є прямою, то геометрична малює дещо іншу картину:

Як і у випадку арифметичної, геометрична прогресія має формулу значення довільного члена. Якийсь n-ний член геометричної прогресії дорівнює добутку першого члена на знаменник прогресії в ступені n зменшеного на одиницю:

приклад. Маємо геометричну прогресію з першим членом рівним 3 і знаменником прогресії, рівним 1,5. Знайдемо 5-й член прогресії

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Сума заданого числа членів розраховується за допомогою спеціальної формули. Сума n перших членів геометричної прогресії дорівнює різниці добутку n-ного члена прогресії на його знаменник і першого члена прогресії, поділеної на зменшений на одиницю знаменник:

Якщо b n замінити користуючись розглянутою вище формулою, значення суми n перших членів розглянутого числового ряду набуде вигляду:

приклад. Геометрична прогресія починається з першого члена, що дорівнює 1. Знаменник заданий рівним 3. Знайдемо суму перших восьми членів.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Якщо кожному натуральному числу n поставити у відповідність дійсне число a n , то кажуть, що поставлено числову послідовність :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Отже, числова послідовність – функція натурального аргументу.

Число a 1 називають першим членом послідовності , число a 2 — другим членом послідовності , число a 3 — третім і так далі. Число a n називають n-м членом послідовності , а натуральне число n — його номером .

Із двох сусідніх членів a n і a n +1 послідовності член a n +1 називають наступним (по відношенню до a n ), а a n — попереднім (по відношенню до a n +1 ).

Щоб встановити послідовність, потрібно вказати спосіб, що дозволяє знайти член послідовності з будь-яким номером.

Часто послідовність задають за допомогою формули n-го члена тобто формули, яка дозволяє визначити член послідовності за його номером.

Наприклад,

послідовність позитивних непарних чисел можна задати формулою

a n= 2n - 1,

а послідовність чергуються 1 і -1 формулою

b n = (-1)n +1 . ◄

Послідовність можна визначити рекурентною формулою, тобто формулою, яка виражає будь-який член послідовності, починаючи з деякого через попередні (один або кілька) члени.

Наприклад,

якщо a 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Якщо а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , то перші сім членів числової послідовності встановлюємо так:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Послідовності можуть бути кінцевими і нескінченними .

Послідовність називається кінцевою якщо вона має кінцеве число членів. Послідовність називається нескінченною якщо вона має нескінченно багато членів.

Наприклад,

послідовність двоцифрових натуральних чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

кінцева.

Послідовність простих чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

нескінченна. ◄

Послідовність називають зростаючою якщо кожен її член, починаючи з другого, більше ніж попередній.

Послідовність називають спадаючою якщо кожен її член, починаючи з другого, менше ніж попередній.

Наприклад,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - Зростаюча послідовність;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - спадна послідовність. ◄

Послідовність, елементи якої зі збільшенням номера не зменшуються, або, навпаки, не зростають, називається монотонною послідовністю .

Монотонними послідовностями, зокрема, є зростаючі послідовності та спадні послідовності.

Арифметична прогресія

Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається те саме число.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

є арифметичною прогресією, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова:

a n +1 = a n + d,

де d - Деяке число.

Таким чином, різниця між наступним та попереднім членами даної арифметичної прогресії завжди постійна:

а 2 - a 1 = а 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Число d називають різницею арифметичної прогресії.

Щоб задати арифметичну прогресію, достатньо вказати її перший член та різницю.

Наприклад,

якщо a 1 = 3, d = 4 , то перші п'ять членів послідовності знаходимо так:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Для арифметичної прогресії з першим членом a 1 і різницею d її n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Наприклад,

знайдемо тридцятий член арифметичної прогресії

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

то, очевидно,

кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному попереднього та наступного членів.

числа a, b і c є послідовними членами деякої арифметичної прогресії тоді і лише тоді, коли одне з них дорівнює середньому арифметичному двох інших.

Наприклад,

a n = 2n- 7 є арифметичною прогресією.

Скористаємося наведеним вище твердженням. Маємо:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Отже,

◄

Відмітимо, що n -й член арифметичної прогресії можна знайти не тільки через a 1 , але й будь-який попередній a k

a n = a k + (n- k)d.

Наприклад,

для a 5 можна записати

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

то, очевидно,

будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого дорівнює напівсумі рівновіддалених від нього членів цієї арифметичної прогресії.

Крім того, для будь-якої арифметичної прогресії справедлива рівність:

a m + a n = a k + a l,

m+n=k+l.

Наприклад,

в арифметичній прогресії

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 · 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, так як

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

перших n членів арифметичної прогресії дорівнює добутку напівсуми крайніх доданків на кількість доданків:

Звідси, зокрема, випливає, що якщо потрібно підсумувати члени

a k, a k +1 , . . . , a n,

то попередня формула зберігає свою структуру:

Наприклад,

в арифметичній прогресії 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Якщо дана арифметична прогресія, то величини a 1 , a n, d, nіS n пов'язані двома формулами:

Тому, якщо значення трьох цих величин дано, то відповідні їм значення двох інших величин визначаються з цих формул, об'єднаних у систему двох рівнянь з двома невідомими.

Арифметична прогресія є монотонною послідовністю. При цьому:

• якщо d > 0 , вона є зростаючою;
• якщо d < 0 , то вона є спадною;
• якщо d = 0 , то послідовність буде стаціонарною.

Геометрична прогресія

Геометричною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

є геометричною прогресією, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова:

b n +1 = b n · q,

де q ≠ 0 - Деяке число.

Таким чином, ставлення наступного члена даної геометричної прогресії до попереднього є постійним:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Число q називають знаменником геометричної прогресії.

Щоб задати геометричну прогресію, достатньо вказати її перший член та знаменник.

Наприклад,

якщо b 1 = 1, q = -3 , то перші п'ять членів послідовності знаходимо так:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 та знаменником q її n -й член може бути знайдений за формулою:

b n = b 1 · q n -1 .

Наприклад,

знайдемо сьомий член геометричної прогресії 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

то, очевидно,

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

кожен член геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному (пропорційному) попереднього та наступного членів.

Оскільки правильне і зворотне твердження, має місце таке твердження:

числа a, b і c є послідовними членами деякої геометричної прогресії тоді й лише тоді, коли квадрат одного з них дорівнює добутку двох інших, тобто одне з чисел є середнім геометричним двом іншим.

Наприклад,

доведемо, що послідовність, яка задається формулою b n= -3 · 2 n є геометричною прогресією. Скористаємося наведеним вище твердженням. Маємо:

b n= -3 · 2 n,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

Отже,

b n 2 = (-3 · 2 n) 2 = (-3 · 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

як і доводить необхідне твердження. ◄

Відмітимо, що n -й член геометричної прогресії можна знайти не тільки через b 1 , але й будь-який попередній член b k , для чого достатньо скористатися формулою

b n = b k · q n - k.

Наприклад,

для b 5 можна записати

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

то, очевидно,

b n 2 = b n - k· b n + k

квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого дорівнює добутку рівновіддалених від нього членів цієї прогресії.

Крім того, для будь-якої геометричної прогресії справедлива рівність:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Наприклад,

у геометричній прогресії

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , так як

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

перших n членів геометричної прогресії зі знаменником q ≠ 0 обчислюється за такою формулою:

А при q = 1 - за формулою

S n= nb 1

Зауважимо, що якщо потрібно підсумувати члени

b k, b k +1 , . . . , b n,

то використовується формула:

Наприклад,

у геометричній прогресії 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Якщо дана геометрична прогресія, то величини b 1 , b n, q, nі S n пов'язані двома формулами:

Тому, якщо значення якихось трьох із цих величин дано, то відповідні їм значення двох інших величин визначаються з цих формул, об'єднаних у систему двох рівнянь із двома невідомими.

Для геометричної прогресії з першим членом b 1 та знаменником q мають місце такі властивості монотонності :

• прогресія є зростаючою, якщо виконано одну з таких умов:

b 1 > 0 і q> 1;

b 1 < 0 і 0 < q< 1;

• прогресія є спадною, якщо виконано одну з наступних умов:

b 1 > 0 і 0 < q< 1;

b 1 < 0 і q> 1.

Якщо q< 0 , то геометрична прогресія є знакозмінною: її члени з непарними номерами мають той самий знак, що й перший член, а члени з парними номерами — протилежний йому знак. Зрозуміло, що знакозмінна геометрична прогресія не є монотонною.

Твір перших n членів геометричної прогресії можна розрахувати за такою формулою:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Наприклад,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Нескінченна спадна геометрична прогресія

Нескінченно спадаючою геометричною прогресією називають нескінченну геометричну прогресію, модуль знаменника якої менший 1 , тобто

|q| < 1 .

Зауважимо, що нескінченно спадна геометрична прогресія може не бути спадною послідовністю. Це відповідає нагоді

1 < q< 0 .

При такому знаменнику послідовність знакозмінна. Наприклад,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумою нескінченно спадної геометричної прогресії називають число, до якого необмежено наближається сума перших n членів прогресії при необмеженому зростанні числа n . Це число завжди звичайно і виражається формулою

Наприклад,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Зв'язок арифметичної та геометричної прогресій

Арифметична та геометрична прогресії тісно пов'язані між собою. Розглянемо лише два приклади.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , то

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Наприклад,

1, 3, 5, . . . - арифметична прогресія з різницею 2 і

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресія із знаменником 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - геометрична прогресія із знаменником q , то

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - арифметична прогресія з різницею log aq .

Наприклад,

2, 12, 72, . . . - геометрична прогресія із знаменником 6 і

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - арифметична прогресія з різницею lg 6 . ◄

Завдання з арифметичної прогресії існували вже у давнину. Вони з'являлися та вимагали рішення, оскільки мали практичну необхідність.

Так, в одному з папірусів Стародавнього Єгипту, що має математичний зміст, - папірусі Райнда (XIX століття до нашої ери) - міститься таке завдання: розділи десять мір хліба на десять осіб, за умови якщо різниця між кожним з них становить одну восьму міру».

І на математичних працях древніх греків зустрічаються витончені теореми, які стосуються арифметичної прогресії. Так, Гіпсікл Олександрійський (ІІ століття склало чимало цікавих завдань і додало чотирнадцяту книгу до «Початків» Евкліда, сформулював думку: «В арифметичній прогресії, що має парне число членів, сума членів 2-ої половини більша за суму членів 1-ої на квадраті 1/ 2 числа членів».

Позначається послідовність an. Числа послідовності називаються її членами і позначаються зазвичай літерами з індексами, які вказують порядковий номер цього члена (a1, a2, a3 … читається: «a 1», «a 2», «a 3» і так далі ).

Послідовність може бути нескінченною чи кінцевою.

А що таке арифметична прогресія? Під нею розуміють одержувану додаванням попереднього члена (n) з тим самим числом d, що є різницею прогресії.

Якщо d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то така прогресія вважається зростаючою.

Арифметична прогресія називається кінцевою, якщо враховуються лише кілька її перших членів. За дуже великої кількості членів це вже нескінченна прогресія.

Задається будь-яка арифметична прогресія наступною формулою:

an =kn+b, причому b і k - деякі числа.

Абсолютно вірне твердження, яке є зворотним: якщо послідовність задається подібною формулою, то це точно арифметична прогресія, яка має властивості:

1. Кожен член прогресії - середнє арифметичне попереднього члена та наступного.
2. Назад: якщо, починаючи з другого, кожен член - середнє арифметичне попереднього члена і наступного, тобто. якщо виконується умова, то ця послідовність - арифметична прогресія. Ця рівність одночасно є ознакою прогресії, тому його, як правило, називають характеристичною властивістю прогресії.
   Так само правильна теорема, яка відбиває це властивість: послідовність - арифметична прогресія лише тому випадку, якщо це рівність правильне кожного з членів послідовності, починаючи з другого.

Характеристичне властивість чотирьох будь-яких чисел арифметичної прогресії може бути виражено формулою an + am = ak + al, якщо n + m = k + l (m, n, k - числа прогресії).

В арифметичній прогресії будь-який необхідний (N-й) член можна знайти, застосовуючи таку формулу:

Наприклад: перший член (a1) в арифметичній прогресії заданий і дорівнює трьом, а різниця (d) дорівнює чотирьом. Знайти треба сорок п'ятий член цієї прогресії. a45 = 1 +4 (45-1) = 177

Формула an = ak + d(n - k) дозволяє визначити n-й член арифметичної прогресії через будь-який її k-ий член за умови, якщо він відомий.

Сума членів арифметичної прогресії (мається на увазі перші n членів кінцевої прогресії) обчислюється так:

Sn = (a1+an) n/2.

Якщо відомий і перший член, то обчислення зручна інша формула:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Сума арифметичної прогресії, що містить n членів, підраховується таким чином:

Вибір формул для розрахунків залежить від умов завдань та вихідних даних.

Натуральний ряд будь-яких чисел, як-от 1,2,3,...,n,...- найпростіший приклад арифметичної прогресії.

Крім арифметичної прогресії існує ще й геометрична, яка має свої властивості та характеристики.