Як визначити зворотну та пряму пропорцію. Пряма пропорційність та її графік

Головні цілі:

• запровадити поняття прямої та зворотної пропорційної залежності величин;
• навчити вирішувати задачі, використовуючи ці залежності;
• сприяти розвитку вміння вирішувати завдання;
• закріпити навичку розв'язання рівнянь за допомогою пропорції;
• повторити події зі звичайними та десятковими дробами;
• розвивати логічне мислення учнів.

ХІД УРОКУ

I. Самовизначення до діяльності(Організаційний момент)

- Хлопці! Сьогодні на уроці ми познайомимося із завданнями, які вирішуються за допомогою пропорції.

ІІ. Актуалізація знань та фіксація утруднення в діяльності

2.1. Усна робота (3 хв)

– Знайдіть значення виразів та дізнайтесь слово, зашифроване у відповідях.

14 - с; 0,1 - і; 7 – л; 0,2 - а; 17 - в; 25 – до

– Вийшло слово – сила. Молодці!
– Девіз нашого уроку сьогодні: Сила – у знаннях! Я шукаю – значить навчаюсь!
– Складіть пропорцію з чисел, що виходять. (14: 7 = 0,2: 0,1 і т.д.)

2.2. Розглянемо залежність між відомими нам величинами (7 хв)

– шляхом, пройденим автомашиною з постійною швидкістю, та часом її руху: S = v · t (зі збільшенням швидкості (часу) збільшується шлях);
- Швидкістю автомашини і витраченим на шлях часом: v = S: t(Зі збільшенням часу на проходження шляху, швидкість зменшується);
– вартістю товару, купленого за однією ціною та його кількістю: С = а · n (зі збільшенням (зменшенням) ціни, збільшується (зменшується) вартість покупки);
– ціни товару та його кількістю: а = С: n (зі збільшенням кількості, зменшується ціна)
– площі прямокутника та його довжини (ширини): S = a · b (зі збільшенням довжини (ширини) збільшується площа;
– довжини прямокутника та ширини: a = S: b (зі збільшенням довжини зменшується ширина;
- Числом робітників, що виконують з однаковою продуктивністю праці деяку роботу, і часом виконання цієї роботи: t = А: n (зі збільшенням числа робочих час, витрачене на виконання роботи зменшується) і т.д.

Ми отримали залежності, в яких зі збільшенням однієї величини в кілька разів, тут же в стільки ж разів збільшується інша (приклади показати стрілками) і залежності, в яких із збільшенням однієї величини в кілька разів, друга величина зменшується в цю кількість разів.
Такі залежності називаються прямими та зворотними пропорційностями.
Прямо-пропорційна залежність- Залежність, в якій зі збільшенням (зменшенням) однієї величини в кілька разів, збільшується (зменшується) друга величина в стільки ж разів.
Зворотно-пропорційна залежність- Залежність, в якій зі збільшенням (зменшенням) однієї величини в кілька разів, зменшується (збільшується) друга величина в стільки ж разів.

ІІІ. Постановка навчального завдання

– Яка проблема постала перед нами? (Навчитися розрізняти прямі та зворотні залежності)
– Це – метанашого уроку. А тепер сформулюйте темууроку. (Пряма та зворотна пропорційна залежність).
– Молодці! Запишіть тему уроку у зошитах. (Учитель записує тему на дошці.)

IV. «Відкриття» нового знання(10 хв)

Розберемо завдання №199.

1. Принтер друкує 27 сторінок за 4,5 хв. За скільки часу він друкує 300 сторінок?

27 стор. – 4,5 хв.
300 стор - х?

2. У коробці 48 пачок чаю по 250 г у кожній. Скільки вийде з цього чаю пачок по 150г?

48 пачок – 250 г.
х? - 150 р.

3. Автомобіль проїхав 310 км, витративши 25 л бензину. Яка відстань може проїхати автомобіль на повному баку, що вміщує 40л?

310 км – 25 л
х? - 40 л

4. На одній із зчеплювальних шестерень 32 зубці, а на іншій – 40. Скільки обертів зробить друга шестерня, тоді як перша зробить 215 обертів?

32 зубці - 315 про.
40 зубців – х?

Для складання пропорції необхідний один напрямок стрілок, для цього у зворотній пропорційності одне відношення замінюють зворотним.

У дошки учні знаходять значення величин, на місцях учні вирішують одну на вибір завдання.

– Сформулюйте правило вирішення завдань із прямою та зворотною пропорційною залежністю.

На дошці з'являється таблиця:

V. Первинне закріплення у зовнішній промові(10 хв)

Завдання на аркушах:

1. З 21 кг бавовняного насіння одержали 5,1 кг олії.
2. Скільки олії вийде з 7 кг бавовняного насіння?

Для будівництва стадіону 5 бульдозерів розчистили майданчик за 210 хв. За який час 7 бульдозерів розчистили цей майданчик?VI. Самостійна робота із самоперевіркою за зразком

(5 хв)
Два учні виконують завдання № 225 самостійно на прихованих дошках, а решта – у зошитах. Потім вони перевіряють роботу з алгоритму та зіставляють із рішенням на дошці. Помилки виправляються, з'ясовуються причини. Якщо завдання виконано, вірно, то поруч учні ставлять знак «+».

Учні, які припустилися помилок у самостійній роботі можуть використовувати консультантів.№ 271, № 270.

Шестеро людей працюють біля дошки. Через 3–4 хвилини учні, які працювали біля дошки, представляють свої рішення, а інші – перевіряють завдання та беруть участь у їх обговоренні.

VIII. Рефлексія діяльності (підсумок уроку)

- Що нового ви дізналися на уроці?
– Що повторили?
– Який алгоритм розв'язання задач на пропорцію?
– Ми досягли поставленої мети?
– Як оцінюєте свою роботу?

>>Математика:Пряма пропорційність та її графік

Пряма пропорційність та її графік

Серед лінійних функцій у = kx + m особливо виділяють випадок, коли m = 0; у цьому випадку набуває вигляду = kx і її називають прямою пропорційністю. Ця назва пояснюється тим, що дві величини у них називають прямо пропорційними, якщо їх відношення дорівнює конкретному
числу, відмінному від нуля. Тут , це число k називають коефіцієнтом пропорційності.

Багато реальних ситуацій моделюються за допомогою прямої пропорційності.

Наприклад, шлях s і час t за постійної швидкості, 20 км/год пов'язані залежністю s = 20t; це – пряма пропорційність, причому k = 20.

Інший приклад:

вартість у та число х батонів хліба за ціною 5 руб. за батон пов'язані залежністю у = 5х; це – пряма пропорційність, де k = 5.

Доведення.Здійснимо його у два етапи.
1. у = kx - окремий випадок лінійної функції, а графіком лінійної функції є пряма; позначимо її через I.
2. Пара х = 0, у = 0 задовольняє рівняння у - kx, тому точка (0; 0) належить графіку рівняння у = kx, тобто прямий I.

Отже, пряма I відбувається через початок координат. Теорему доведено.

Потрібно вміти переходити не тільки від аналітичної моделі у = kx до геометричної (графіка прямої пропорційності), а й від геометричної моделідо аналітичної. Розглянемо, наприклад, пряму на координатній площині хОу, зображену малюнку 50. Вона є графіком прямої пропорційності, потрібно лише визначити значення коефіцієнта k. Так як у , то достатньо взяти будь-яку точку на прямій і знайти відношення ординати цієї точки до її абсцис. Пряма проходить через точку Р(3; 6), а цієї точки маємо: Значить, k = 2, тому задана пряма лінія служить графіком прямої пропорційності у = 2х.

Внаслідок цього коефіцієнт k запису лінійної функції у = kx + m також називають кутовим коефіцієнтом. Якщо k>0, то пряма у = kx + m утворює з позитивним напрямом осі х гострий кут (рис. 49 а), а якщо k< О, - тупой угол (рис. 49, б).

Календарно-тематичне планування з математики, відеоз математики онлайн , Математика в школі

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

У 7 та 8 класі вивчається графік прямої пропорційності.

Як побудувати графік прямої пропорційності?

Розглянемо на прикладах графік прямої пропорційності.

Графік прямої пропорційності формула

Графік прямої пропорційності представляє функцію.

У загальному вигляді пряма пропорційність має формулу

Від величини та знака коефіцієнта прямої пропорційності залежить кут нахилу графіка прямої пропорційності по відношенню до осі ікс.

Графік прямої пропорційності проходить

Графік прямої пропорційності проходить через початок координат.

Графік прямої пропорційності є прямою. Пряма задається двома точками.

Таким чином, при побудові графіка прямої пропорційності достатньо визначити положення двох точок.

Але одну з них ми завжди знаємо – це початок координат.

Залишилось знайти другу. Подивимося приклад побудови графіка прямої пропорційності.

Побудуйте графік прямої пропорційності y = 2x

Завдання.

Побудуйте графік прямої пропорційності, заданої формулою

Рішення .

Є усі числа.

Беремо будь-яке число в галузі визначення прямої пропорційності, нехай це буде 1.

Знайти значення функції при ікс 1

Y = 2x =
2 * 1 = 2

тобто при x = 1 отримуємо y = 2. Крапка з цими координатами належить графіку функції y = 2x.

Ми знаємо, що графік прямої пропорційності є пряма, а пряма задається двома точками.

§ 129. Попередні роз'яснення.

Людина має справу з найрізноманітнішими величинами. Службовець та робітник намагаються до певного часу потрапити на службу, на роботу, пішохід поспішає дійти до відомого місця найкоротшим шляхом, опалювач парового опалення турбується про те, що температура в котлі повільно піднімається, господарник будує плани зниження вартості продукції і т.д.

Таких прикладів можна було б навести скільки завгодно. Час, відстань, температура, вартість - це різноманітні величини. У першій і в другій частинах цієї книги ми ознайомилися з деякими величинами, що особливо часто зустрічаються: площею, об'ємом, вагою. З багатьма величинами ми зустрічаємося щодо фізики та інших наук.

Уявіть, що ви їдете в поїзді. Час від часу ви дивитеся на годинник і помічаєте, як довго ви вже перебуваєте в дорозі. Ви кажете, наприклад, що з часу відправлення вашого поїзда пройшло 2, 3, 5, 10, 15 годин і т. д. Ці числа означають різні проміжки часу; вони називаються значеннями цієї величини (часу). Або ви дивитесь у вікно і стежте за дорожніми стовпами за відстанню, яка проходить ваш поїзд. Перед вами з'являються числа 110, 111, 112, 113, 114 км. Ці числа позначають різні відстані, які пройшов поїзд від місця відправлення. Вони теж називаються значеннями, на цей раз іншої величини (шляху чи відстані між двома пунктами). Таким чином, одна величина, наприклад, час, відстань, температура, може приймати скільки завгодно різних значень.

Людина майже ніколи не розглядає тільки одну величину, а завжди зв'язує її з якими-небудь іншими величинами. Йому доводиться одночасно мати справу з двома, трьома та більшим числом величин. Уявіть собі, що вам потрібно до 9 години потрапити до школи. Ви дивитеся на годинник і бачите, що у вашому розпорядженні 20 хвилин. Тоді ви швидко розумієте, чи варто вам сідати в трамвай, чи ви встигнете дійти до школи пішки. Подумавши, ви вирішуєте йти пішки. Зауважте, що тоді, коли ви думали, ви вирішували деяке завдання. Це завдання стало простим і звичним, тому що ви вирішуєте такі завдання щодня. У ній ви швидко зіставили кілька величин. Саме ви подивилися на годинник, значить, врахували час, потім ви подумки уявили собі відстань від вашого будинку до школи; нарешті, ви порівняли дві величини: швидкість вашого кроку і швидкість трамвая, і зробили висновок, що за цей час (20 хв) ви встигнете дійти пішки. З цього простого прикладу ви бачите, що в нашій практиці деякі величини пов'язані між собою, тобто залежать одна від одної

На чолі дванадцятому було розказано про відношення однорідних величин. Наприклад, якщо один відрізок дорівнює 12 м, а інший 4 м, відношення цих відрізків буде 12: 4.

Ми говорили, що це є відношення двох однорідних величин. Можна сказати інакше, що це є відношення двох чисел одного найменування.

Тепер, коли ми більше познайомилися з величинами та запровадили поняття значення величини, можна по-новому висловити визначення відносини. Справді, коли ми розглядали два відрізки 12 м і 4 м, то ми говорили про одну величину – довжину, а 12 м та 4 м – це були лише два різні значення цієї величини.

Тому надалі, коли ми говоритимемо про відношенні, то будемо розглядати при цьому два значення однієї якоїсь величини, а ставленням одного значення величини до іншого значення тієї ж величини називатимемо приватне від розподілу першого значення на друге.

§ 130. Величини прямо пропорційні.

Розглянемо задачу, в умову якої входять дві величини: відстань та час.

Завдання 1.Тіло, що рухається прямолінійно і рівномірно, проходить у кожну секунду 12 см. Визначити шлях, пройдений тілом 2, 3, 4, ..., 10 секунд.

Складемо таблицю, за якою можна було б стежити за зміною часу та відстані.

Таблиця дає можливість порівняти ці дві низки значень. Ми бачимо з неї, що коли значення першої величини (часу) поступово збільшуються у 2, 3, ..., 10 разів, то й значення другої величини (відстань) теж збільшуються у 2, 3,..., 10 разів. Таким чином, при збільшенні значень однієї величини в кілька разів значення іншої величини збільшуються в стільки ж разів, а при зменшенні значень однієї величини в кілька разів значення іншої величини зменшуються в стільки ж разів.

Розглянемо тепер завдання, до якого входять дві такі величини: кількість матерії та її вартість.

Завдання 2. 15 м тканини коштують 120 руб. Обчислити вартість цієї тканини для кількох інших кількостей метрів, зазначених у таблиці.

По цій таблиці ми можемо простежити, як поступово зростає вартість товару в залежності від збільшення його кількості. Незважаючи на те, що в цьому завданні фігурують зовсім інші величини (у першому завданні - час і відстань, а тут - кількість товару та його вартість), проте в поведінці цих величин можна виявити велику схожість.

Насправді, у верхньому рядку таблиці йдуть числа, що позначають число метрів тканини, під кожним із них написано число, що виражає вартість відповідної кількості товару. Навіть при побіжному погляді на цю таблицю видно, що числа і у верхньому і нижньому ряду зростають ; при більш ж уважному розгляді таблиці і при порівнянні окремих стовпців виявляється, що у всіх випадках значення другої величини зростають у стільки ж разів, скільки зростають значення першої, тобто якщо значення першої величини зросло, припустимо, в 10 разів, то і значення другої величини збільшилося також у 10 разів.

Якщо ми переглядатимемо таблицю справа наліво , то виявимо, що зазначені значення величин будуть зменшуватися в однакове число разів. У цьому сенсі між першим завданням і другою є безумовна схожість.

Пари величин, з якими ми зустрілися у першому та другому завданнях, називаються прямо пропорційними.

Таким чином, якщо дві величини пов'язані між собою так, що зі збільшенням (зменшенням) значення однієї з них у кілька разів значення іншої збільшується (зменшується) у стільки ж разів, такі величини називаються прямо пропорційними.

Про такі величини говорять також, що вони пов'язані між собою прямо пропорційною залежністю.

У природі і в навколишньому житті зустрічається безліч подібних величин. Наведемо приклади:

1. Часроботи (день, два дні, три дні і т. д.) та заробіток, отриманий цей час при денної оплаті труда.

2. Об `ємякогось предмета, зробленого з однорідного матеріалу, та вагацього предмета.

§ 131. Властивість прямо пропорційних величин.

Візьмемо завдання, до якого входять такі дві величини: робочий час та заробіток. Якщо щоденний заробіток 20 руб., то заробіток за 2 дні буде 40 руб., І т. д. Найзручніше скласти таблицю, в якій певному числу днів відповідатиме певний заробіток.

Розглядаючи цю таблицю, бачимо, що обидві величини набули 10 різних значень. Кожному значенню першої величини відповідає певне значення другої величини, наприклад, 2 днями відповідають 40 руб.; 5 дням відповідають 100 руб. У таблиці ці числа написані одне під одним.

Ми вже знаємо, що якщо дві величини прямо пропорційні, то кожна з них у процесі своєї зміни збільшується в стільки ж разів, скільки разів збільшується й інша. Звідси одразу випливає: якщо ми візьмемо відношення якихось двох значень першої величини, то воно дорівнюватиме двох відповідних значень другої величини. Справді:

Чому це відбувається? А тому, що ці величини прямо пропорційні, тобто коли одна з них (час) збільшилась у 3 рази, то й інша (заробіток) збільшилась у 3 рази.

Ми дійшли, отже, такого висновку: якщо взяти два якихось значення першої величини і розділити їх одне на інше, а потім розділити одне на інше відповідні їм значення другої величини, то в обох випадках вийде одне і те ж число, т.е. е. одне й те саме ставлення. Отже, два відносини, які ми написали вище, можна поєднати знаком рівності, тобто.

Немає сумніву в тому, що якби ми взяли не ці відносини, а інші й не в тому порядку, а у зворотному, то також здобули б рівність відносин. Справді, розглядатимемо значення наших величин зліва направо і візьмемо треті та дев'яті значення:

60:180 = 1 / 3 .

Отже, ми можемо написати:

Звідси випливає такий висновок: якщо дві величини прямо пропорційні, то відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.

§ 132. Формула прямої пропорційності.

Складемо таблицю вартості різних кількостей цукерок, якщо 1 кг їх коштує 10,4 руб.

Тепер зробимо таким чином. Візьмемо будь-яке число другого рядка та розділимо його на відповідне число першого рядка. Наприклад:

Ви бачите, що в приватному весь час виходить те саме число. Отже, для цієї пари прямо пропорційних величин приватне від розподілу будь-якого значення однієї величини на відповідне значення іншої величини є постійне число (тобто не змінюється). У нашому прикладі це частка дорівнює 10,4. Це постійне число називається коефіцієнтом пропорційності. У разі воно виражає ціну одиниці виміру, т. е. одного кілограма товару.

Як знайти чи обчислити коефіцієнт пропорційності? Щоб це зробити, потрібно взяти будь-яке значення однієї величини та розділити його на відповідне значення іншої.

Позначимо це довільне значення однієї величини буквою у , а відповідне значення іншої величини - буквою х тоді коефіцієнт пропорційності (позначимо його До) знайдемо у вигляді поділу:

У цій рівності у - ділене, х - дільник та До- приватне, оскільки за властивістю розподілу ділене одно дільнику, помноженому на приватне, можна написати:

y = K x

Отримана рівність називається формулою прямої пропорційності.Користуючись цією формулою, ми можемо обчислити скільки завгодно значень однієї з прямо пропорційних величин, якщо знаємо відповідні значення іншої величини та коефіцієнт пропорційності.

приклад.З фізики ми знаємо, що вага Рбудь-якого тіла дорівнює його питомій вазі d , помноженому на об'єм цього тіла V, тобто. Р = d V.

Візьмемо п'ять залізних болванок різного об'єму; знаючи питому вагу заліза (7,8), можемо обчислити ваги цих болванок за формулою:

Р = 7,8 V.

Порівнюючи цю формулу з формулою у = До х бачимо, що у = Р, х = V, а коефіцієнт пропорційності До= 7,8. Формула та сама, тільки літери інші.

Користуючись цією формулою, складемо таблицю: нехай об'єм 1-ї болванки дорівнює 8 куб. см, тоді вага її дорівнює 78 8 = 624 (г). Об'єм 2-ї болванки 27 куб. див. Її вага дорівнює 7,8 27 = 210,6 (г). Таблиця матиме такий вигляд:

Обчисліть самі числа, відсутні в цій таблиці, користуючись формулою Р= d V.

§ 133. Інші способи вирішення завдань із прямо пропорційними величинами.

У попередньому параграфі ми вирішили завдання, за умови якого входили прямо пропорційні величини. Для цього ми попередньо вивели формулу прямої пропорційності і потім цю формулу застосовували. Тепер ми покажемо два інші способи вирішення таких завдань.

Складемо задачу за числовими даними, наведеними в таблиці попереднього параграфа.

Завдання.Болванка об'ємом 8 куб. см важить 62,4 г. Скільки важитиме болванка об'ємом 64 куб. см?

Рішення.Вага заліза, як відомо, пропорційна його обсягу. Якщо 8 куб. див важать 62,4 м, то 1 куб. см буде важити у 8 разів менше, тобто.

62,4: 8 = 7,8(г).

Болванка об'ємом 64 куб. см важитиме в 64 рази більше, ніж болванка в 1 куб. див, тобто.

7,8 64 = 499,2 (г).

Ми вирішили наше завдання способом приведення до одиниці. Сенс цієї назви виправдовується тим, що для її вирішення нам довелося у першому питанні знайти вагу одиниці обсягу.

2. Спосіб пропорції.Вирішимо це завдання способом пропорції.

Оскільки вага заліза та її обсяг - величини прямо пропорційні, то відношення двох значень однієї величини (об'єму) дорівнює відношенню двох відповідних значень інший величини (ваги), тобто.

(буквою Рми позначили невідому вагу болванки). Звідси:

(г).

Завдання вирішено способом пропорцій. Це означає, що з її рішення було складено пропорція з чисел, які входять у умову.

§ 134. Величини обернено пропорційні.

Розглянемо таке завдання: «П'ять мулярів можуть скласти цегляні стіни будинку за 168 днів. Визначити, скільки днів могли б виконати ту ж роботу 10, 8, 6 і т. д. мулярів».

Якщо 5 мулярів склали стіни будинку за 168 днів, то (за однакової продуктивності праці) 10 мулярів могли б виконати це вдвічі швидше, тому що в середньому 10 осіб виконують роботу вдвічі більшу, ніж 5 осіб.

Складемо таблицю, за якою можна було б стежити за зміною числа робітників та робочого часу.

Наприклад, щоб дізнатися, скільки днів потрібно 6 робітникам, треба спочатку обчислити, скільки днів потрібно одному робітникові (168 5 = 840), а потім - шести робітникам (840: 6 = 140). Розглядаючи цю таблицю, бачимо, що обидві величини прийняли шість різних значень. Кожному значенню першої величини відповідає більш визначено; значення другої величини, наприклад 10 відповідає 84, числу 8 - число 105 і т. д.

Якщо ми розглядатимемо значення обох величин зліва направо, то побачимо, що значення верхньої величини зростають , a значення нижньої зменшуються . Зростання і спад підпорядковано наступному закону: значення числа робочих збільшуються в стільки ж разів, у скільки разів зменшуються значення витраченого робочого часу. Ще простіше цю думку можна висловити так: чим більше зайнято в якійсь справі робітників, тим менше їм потрібно часу для виконання певної роботи. Дві величини, з якими ми зустрілися у цьому завданні, називаються обернено пропорційними.

Таким чином, якщо дві величини пов'язані між собою так, що зі збільшенням (зменшенням) значення однієї з них у кілька разів значення іншої зменшується (збільшується) у стільки ж разів, то такі величини називаються пропорційними.

У житті є багато подібних величин. Наведемо приклади.

1. Якщо на 150 руб. потрібно купити кілька кілограмів цукерок, то кількість цукерок буде залежати від ціни одного кілограма. Що ціна, то менше можна купити ці гроші товару; це видно з таблиці:

З підвищенням у кілька разів ціни цукерок зменшується в стільки ж кількість кілограмів цукерок, яке можна купити на 150 руб. У цьому випадку дві величини (вага товару та його ціна) обернено пропорційні.

2. Якщо відстань між двома містами 1200 км, то вона може бути пройдена в різний час залежно від швидкості пересування. Існують різні способи пересування: пішки, на коні, на велосипеді, на пароплаві, в автомобілі, поїздом, літаком. Чим менше швидкість , тим більше часу потрібно для пересування. Це видно з таблиці:

Зі збільшенням швидкості у кілька разів час пересування зменшується у стільки ж разів. Отже, за цих умов швидкість і час - величини обернено пропорційні.

§ 135. Властивість обернено пропорційних величин.

Візьмемо другий приклад, який ми розглядали у попередньому параграфі. Там ми мали справу з двома величинами – швидкістю руху та часом. Якщо ми розглядатимемо за таблицею значення цих величин зліва направо, то побачимо, що значення першої величини (швидкості) зростають, а значення другої (часу) зменшуються, причому швидкість збільшується в стільки ж разів, скільки разів зменшується час.Неважко збагнути, що й написати відношення якихось значень однієї величини, воно буде однаково відношенню відповідних значень інший величини. Справді, якщо ми візьмемо відношення четвертого значення верхньої величини до сьомого значення (40: 80), то воно не буде рівним відношенню четвертого і сьомого значень нижньої величини (30: 15). Це можна написати так:

40: 80 не дорівнює 30: 15, або 40: 80 = / = 30: 15.

Але якщо замість одного з цих відносин взяти зворотне, то вийде рівність, тобто із цих відносин можна буде скласти пропорцію. Наприклад:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

На підставі викладеного ми можемо зробити такий висновок: якщо дві величини обернено пропорційні, то відношення двох довільно взятих значень однієї величини дорівнює зворотному відношенню відповідних значень іншої величини.

§ 136. Формула зворотної пропорційності.

Розглянемо завдання: «Є 6 шматків шовкової тканини різної величини та різних сортів. Вартість всіх шматків однакова. В одному шматку 100 м тканини ціною по 20 руб. за метр. Скільки метрів у кожному з інших п'яти шматків, якщо метр тканини в цих шматках відповідно коштує 25, 40, 50, 80, 100 руб.? Для вирішення цього завдання складемо таблицю:

Нам потрібно заповнити порожні клітини у верхньому рядку таблиці. Спробуємо спочатку визначити, скільки метрів у другому шматку. Це можна зробити в такий спосіб. З умови завдання відомо, вартість всіх шматків однакова. Вартість першого шматка визначити легко: у ньому 100 м і кожен метр коштує 20 руб., Отже, у першому шматку шовку на 2000 руб. Так як у другому шматку шовку на стільки ж рублів, то розділивши 2 000 руб. на ціну одного метра, тобто на 25, ми знайдемо величину другого шматка: 2000: 25 = 80 (м). Так само ми знайдемо величину всіх інших шматків. Таблиця набуде вигляду:

Неважко бачити, що між числом метрів та ціною існує обернено пропорційна залежність.

Якщо ви самі зробите необхідні обчислення, то помітите, що кожного разу вам доведеться ділити число 2 000 на ціну 1 м. Навпаки, якщо ви тепер почнете множити величину шматка в метрах на ціну 1 м, то весь час отримуватимете число 2 000. Цього і треба було очікувати, оскільки кожен шматок коштує 2000 руб.

Звідси можна зробити такий висновок: для цієї пари обернено пропорційних величин добуток будь-якого значення однієї величини на відповідне значення іншої величини є число постійне (тобто не змінюється).

У нашому завданні цей твір дорівнює 2 000. Перевірте, що і в попередньому завданні, де йшлося про швидкість руху та часу, необхідний для переїзду з одного міста в інше, існувало також постійне для цього завдання число (1 200).

Зважаючи на все сказане, легко вивести формулу зворотної пропорційності. Позначимо деяке значення однієї величини буквою х , а відповідне значення іншої величини - буквою у . Тоді на підставі викладеного твір х на у має дорівнювати певній постійній величині, яку позначимо буквою До, тобто.

х у = До.

У цій рівності х - множинне, у - множник та K- твір, добуток. За властивістю множення множник дорівнює добутку, поділеному на множину. Значить,

Це і є формула зворотної пропорційності. Користуючись нею, ми можемо обчислити скільки завгодно значень однієї зі зворотно пропорційних величин, знаючи значення іншої та постійне число До.

Розглянемо ще завдання: «Автор одного твору розрахував, що його книга матиме звичайний формат, то ній буде 96 сторінок, якщо ж кишеньковий формат, то ній виявиться 300 сторінок. Він випробував різні варіанти, почав із 96 сторінок, і тоді у нього на сторінці вийшло 2500 літер. Потім він узяв ті числа сторінок, які вказані нижче в таблиці, і знову обчислив, скільки літер буде на сторінці».

Спробуємо і обчислити, скільки буде букв на сторінці, якщо в книзі буде 100 сторінок.

У всій книзі 240 000 букв, тому що 2500 96 = 240 000.

Беручи до уваги, скористаємося формулою зворотної пропорційності ( у - Число літер на сторінці, х - Число сторінок):

У нашому прикладі До= 240 000, отже,

Отже, на сторінці 2400 букв.

Подібно до цього дізнаємося, що якщо в книзі буде 120 сторінок, то число літер на сторінці буде:

Наша таблиця набуде вигляду:

Інші клітини заповніть самостійно.

§ 137. Інші способи вирішення завдань із обернено пропорційними величинами.

У попередньому параграфі ми вирішували завдання, до умов яких входили обернено пропорційні величини. Ми попередньо вивели формулу зворотної пропорційності і потім цю формулу застосовували. Тепер ми покажемо для таких завдань два інші способи вирішення.

1. Спосіб приведення до одиниці.

Завдання. 5 токарів можуть зробити деяку роботу за 16 днів. У скільки днів може виконати цю роботу 8 токарів?

Рішення.Між числом токарів та робочим часом існує обернено пропорційна залежність. Якщо 5 токарів роблять роботу за 16 днів, то одній людині при цьому знадобиться в 5 разів більше часу, тобто.

5 токарів виконують роботу в 16 днів,

1 токар виконає їх у 16 ​​5 = 80 днів.

У задачі питається, скільки днів виконають роботу 8 токарів. Очевидно, вони впораються з роботою у 8 разів швидше, ніж 1 токар, тобто за

80: 8 = 10 (днів).

Це і вирішення завдання способом приведення до одиниці. Тут довелося насамперед визначити час виконання роботи одним робітником.

2. Спосіб пропорції.Розв'яжемо ту ж задачу другим способом.

Так як між числом робочих і робочим часом існує обернено пропорційна залежність, то можна написати: тривалість роботи 5 токарів нове число токарів (8) тривалість роботи 8 токарів колишнє число токарів (5) Позначимо шукану тривалість роботи буквою х і підставимо у пропорцію, виражену словами, необхідні числа:

Те саме завдання вирішена способом пропорцій. Для її вирішення нам довелося скласти пропорцію з чисел, що входять до умови завдання.

Примітка.У попередніх параграфах ми розглянули питання про пряму та зворотну пропорційність. Природа і життя дають нам безліч прикладів прямої та зворотної пропорційної залежності величин. Однак слід зауважити, що ці два види залежності є лише найпростішими. Поруч із ними зустрічаються інші, складніші залежності між величинами. Крім того, не потрібно думати, що якщо якісь дві величини одночасно зростають, то між ними обов'язково існує пряма пропорційність. Це не так. Наприклад, плата за проїзд залізницею зростає в залежності від відстані: чим далі ми їдемо, тим більше платимо, але це не означає, що плата пропорційна відстані.

Трихліб Данило учень 7 А класу

знайомство з прямою пропорційністю та коефіцієнтом прямої пропорційності (введення поняття кутовий коефіцієнт”);

побудова графіка прямої пропорційності;

розгляд взаємного розташування графіків прямої пропорційності та лінійної функції з однаковими кутовими коефіцієнтами.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Пряма пропорційність та її графік

Що таке аргумент та значення функції? Яка змінна називається незалежною, залежною? Що таке функція? ПОВТОРЕННЯ Що таке область визначення функції?

Способи завдання функції. Аналітичний (за допомогою формули) Графічний (за допомогою графіка) Табличний (за допомогою таблиці)

Графіком функції називається безліч усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати - відповідним значенням функції. ГРАФІК ФУНКЦІЇ

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

ВИКОНАЙТЕ ЗАВДАННЯ Побудуйте графік функції y = 2 x +1, де 0 ≤ х ≤ 4 . Складіть таблицю. За графіком знайдіть значення функції при х = 2,5. При якому значенні аргументу значення функції дорівнює 8?

Прямою пропорційністю називається функція, яку можна задати формулою виду у = k х, де х - незалежна змінна, k - не дорівнює нулю число. (k-коефіцієнт прямої пропорційності) Пряма пропорційна залежність

8 Графік прямої пропорційності - пряма, що проходить через початок координат (точку О(0,0)) Щоб побудувати графік функції y= kx , достатньо двох точок, одна з яких О (0,0) При k > 0 графік розташований І та ІІІ координатних чвертях. При k

Графіки функцій прямої пропорційності y x k>0 k>0 k

Завдання Визначте, на якому графіку зображено функцію прямої пропорційності.

Завдання Визначте, графік якої функції зображено малюнку. Виберіть формулу із трьох запропонованих.

Усна робота. Чи може графік функції, заданої формулою у = k х де k

Визначте, які з точок А(6,-2), В(-2,-10),С(1,-1),Е(0,0) належать графіку прямої пропорційності, заданої формулою у = 5х1) А( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - неправильно. Точка А не належить графіку функції у = 5х. 2) В(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 - вірно. Точка належить графіку функції у=5х. 3) С(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - неправильно Точка С не належить графіку функції у = 5х. 4) Е (0; 0) 0 = 5  0 0 = 0 - вірно. Точка Е належить графіку функції у = 5х

ТЕСТ 1 варіант 2 варіант №1. Які функції, задані формулою, є прямою пропорційною залежністю? А. y = 5x Ст. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x

№2. Випишіть номери прямих y = kx де k > 0 1 варіант k

№3. Визначте, які з точок належать a т графіку прямої пропорційності, заданої формулою У= -1 /3 Х А(6 -2) ,В(-2 -10) 1 варіант С(1,-1),Е(0,0 ) 2 варіант

y =5x y =10x III А VI та IV E 1 2 3 1 2 3 № Правильна відповідь Правильна відповідь №

Виконайте завдання: Покажіть схематично, як розташований графік функції, заданої формулою: y =1,7 x у =-3,1 x =0,9 x =-2,3 x

ЗАВДАННЯ З наступних графіків виберіть лише графіки прямої пропорційності.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Функції у = 2х + 3 2. у = 6/х 3. у = 2х 4. у = - 1,5х 5. у = - 5/х 6. у = 5х 7. у = 2х - 5 8. у = - 0,3х 9. у = 3/ х 10. у = - х /3 + 1 Виберіть функції виду у = k х (пряма пропорційність) і випишіть їх

Функції прямої пропорційності У = 2х У = -1,5х У = 5х У = -0,3х у х

у Лінійні функції, що не є функціями прямої пропорційності 1) у = 2х + 3 2) у = 2х - 5 х -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 у = 2х + 3 у = 2х - 5

Домашнє завдання: п.15 стор.65-67 № 307; №308.

Ще раз давайте повторимо. Що ви дізналися нового? Чому навчилися? Що здалося особливо важким?

Сподобався урок і тема понята: Сподобався урок, але ще зрозуміло: Урок не сподобався і тема незрозуміла.