Вектори Вектори Історична довідка Поняття вектора Рівність векторів Відкладення вектора від цієї точки Сума двох векторів Закони складання Віднімання. Вектор для чайників. Дії з векторами. Векторні координати. Найпростіші завдання з векторами

Г – 9 клас Урок № 2

Тема: Вектор концепції. Рівність векторів. Відкладення вектора від цієї точки.

Цілі:

запровадити поняття вектора, його довжини, колінеарних та рівних векторів;

навчити учнів зображати та позначати вектори, відкладати від будь-якої точки площини вектор, рівний даному;

закріпити знання учнів під час вирішення завдань;

розвивати пам'ять, увагу, математичне мислення;

виробляти працьовитість, прагнення досягати поставленої мети та завдання.

Хід уроку.

Організаційні моменти.

Повідомлення теми та цілей уроку.

Актуалізація знань та вмінь учнів.

1. Перевірка виконання домашнього завдання. Розбір невирішених завдань.

2. Перевірка теоретичних відомостей:

Рівностегновий трикутник та його властивості. Ознаки рівності трикутників.

Визначення середньої лінії трикутника та її властивість.

Теорема Піфагора та зворотна їй теорема.

Формула обчислення площі трикутника.

Поняття паралелограма, властивості та ознаки паралелограма, ромба, прямокутника.

Визначення трапеції, види трапецій.

Площа паралелограма, площа трапеції.

Вивчення нового матеріалу.

Матеріал пунктів 76–78 викласти у вигляді невеликої лекції із застосуванням різноманітних презентацій «Вектора»

1. Поняття векторних величин (або коротко векторів).

2. Приклади векторних величин, відомих тим, хто навчається з курсу фізики: сила, переміщення матеріальної точки, швидкість та інші (рис. 240 підручника).

3. Визначення вектора (рис. 241, 242).

4. Позначення вектора – двома великими латинськими літерами зі стрілкою над ними, наприклад,, або часто позначають однією малою латинською літерою зі стрілкою над нею:(Рис. 243, а, б).

5. Поняття нульового вектора: будь-яка точка площини також вектор; у цьому випадку вектор називається нульовим; позначають:(Рис. 243, а).

6. Визначення довжини або модуля ненульового вектора. Позначення:. Довжина нульового вектора= 0.

7. Знайти довжини векторів, зображених на малюнках 243, а та 243, б.

8. Виконати практичні завдання №738, 739.

9. Розглянути приклад руху тіла, при якому всі його точки рухаються з тією самою швидкістю і в тому самому напрямку (з пп. 77 підручника), рис. 244.

10. Ввести поняття колінеарних векторів (рис. 245).

11. Визначення понять співспрямованих векторів та протилежно спрямованих векторів, їх позначення (рис. 246).

12. Нульовий вектор направлений з будь-яким вектором.

13. Визначення рівних векторів: якщоі, то.

14. Пояснення сенсу висловлювання: «Векторвідкладений від точки А» (рис. 247).

15. Доказ твердження, що від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний цьому, і до того ж лише один (рис. 248).

16. Виконання практичного завдання №743.

17. Усно за готовим кресленням на дошці розв'язати задачу № 749.

Вирішення задач.

1. Розв'язати задачу № 740 (а) на дошці та у зошитах.

2. Усно вирішити задачу №744.

3. Розв'язати задачу № 742.

4. Розв'язати задачу № 745 (вибірково).

5. Усно за заготовленим кресленням розв'язати задачу № 746.

6. Довести пряме затвердження у завданні № 750:

Доведення

За умовою, то AB | CD, отже, за ознакою паралелограма АВDС – паралелограм, а діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, отже, середини відрізків AD і BC збігаються.

Повторення організувати у ході вирішення наступних завдань - Завдання для повторення з банку завдань ОДЕ (ДІА)-2016:

№ 9, 10, 11, 12, 13 - з модуля "Геометрія"; № 24 – із частини 2 модуля «Геометрія» Варіант № 3

Підсумки уроку.

Підбиття підсумків уроку. Виставлення відміток.

В результаті вивчення § 1 учні повинні знати визначення вектора та рівних векторів; вміти зображати та позначати вектори, відкладати від цієї точки вектор, рівний даному; вирішувати завдання типу № 741-743; 745-752.



Домашнє завдання: вивчити матеріал пунктів 76–78; відповісти на запитання 1–6, с. 213 підручника; вирішити задачі № 747, 749, 751.

ов, спочатку необхідно розібратися у такому понятті, як відкладання вектора від цієї точки.

Визначення 1

Якщо точка $A$ почала якогось вектора $\overrightarrow(a)$, то кажуть, що вектор $\overrightarrow(a)$ відкладено від точки $A$ (рис. 1).

Малюнок 1. $\overrightarrow(a)$ відкладений від точки $A$

Введемо таку теорему:

Теорема 1

Від будь-якої точки $K$ можна відкласти вектор $\overrightarrow(a)$ і лише один.

Доведення.

Існування:Тут потрібно розглянути два випадки:

Вектор $\overrightarrow(a)$ - нульовий.

В цьому випадку, очевидно, що вектор, що шукається - вектор $ \ overrightarrow (KK) $.

Вектор $\overrightarrow(a)$ - ненульовий.

Позначимо точкою $A$ - початок вектора $\overrightarrow(a)$, а точкою $B$ - кінець вектора $\overrightarrow(a)$. Проведемо через точку $K$ пряму $b$ паралельну вектору $\overrightarrow(a)$. Відкладемо на цій прямій відрізки $\left|KLright|=|AB|$ і $\left|KMright|=|AB|$. Розглянемо вектори $\overrightarrow(KL)$ і $\overrightarrow(KM)$. З цих двох векторів шуканим буде той, який буде направлений із вектором $\overrightarrow(a)$ (рис. 2)

Рисунок 2. Ілюстрація теореми 1

Єдиність:єдиність відразу випливає з побудови, проведеної у пункті «існування».

Теорему доведено.

Віднімання векторів. Правило перше

Нехай нам дано вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$.

Визначення 2

Різницею двох векторів $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ називається такий вектор $\overrightarrow(c)$, який при складанні з вектором $\overrightarrow(b)$ дає вектор $\overrightarrow(a)$ , тобто

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]

Позначення:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.

Побудову різниці двох векторів розглянемо за допомогою завдання.

Приклад 1

Нехай дані вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$. Побудувати вектор $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.

Рішення.

Побудуємо довільну точку $O$ і відкладемо від неї вектори $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$. Поєднавши точку $B$ з точкою $A$, отримаємо вектор $overrightarrow(BA)$ (рис. 3).

Рисунок 3. Різниця двох векторів

За правилом трикутника для побудови суми двох векторів бачимо, що

\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]

З визначення 2 отримуємо, що

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]

Відповідь:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.

З цього завдання отримуємо таке правило для знаходження різниці двох векторів. Щоб знайти різницю $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$ потрібно від довільної точки $O$ відкласти вектори $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b )$ і з'єднати кінець другого вектора з кінцем першого вектора.

Віднімання векторів. Правило друге

Згадаймо таке необхідне нам поняття.

Визначення 3

Вектор $\overrightarrow(a_1)$ називається довільним для вектора $\overrightarrow(a)$, якщо ці вектори протилежно спрямовані та мають рівну довжину.

Позначення:Вектор $(-\overrightarrow(a))$ протилежний для вектора $\overrightarrow(a)$.

Для того щоб ввести друге правило для різниці двох векторів, нам необхідно спочатку ввести і довести наступну теорему.

Теорема 2

Для будь-яких двох векторів $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ справедлива наступна рівність:

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]

Доведення.

За визначенням 2, маємо

Додамо до обох частин вектор $\left(-\overrightarrow(b)\right)$, отримаємо

Оскільки вектори $\overrightarrow(b)$ і $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ протилежні, то $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\overrightarrow (0) $. Маємо

Теорему доведено.

З цієї теореми отримуємо наступне правило для різниці двох векторів: Щоб знайти різницю $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$ потрібно від довільної точки $O$ відкласти вектор $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$, потім від отриманої точки $A$ відкласти вектор $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ і з'єднати початок першого вектора з кінцем другого вектора.

Приклад завдання поняття різниці векторів

Приклад 2

Нехай дано паралелограм $ADCD$, діагоналі якого перетинаються у точці $O$. $ \ overrightarrow (AB) = \ overrightarrow (a) $, $ \ overrightarrow (AD) = \ overrightarrow (b) $ (рис. 4). Виразити через вектори $\overrightarrow(a)$ і $\overrightarrow(b)$ наступні вектори:

а) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$

б) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$

Малюнок 4. Паралелограм

Рішення.

а) Зробимо додавання за правилом трикутника, отримаємо

\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]

З першого правила різниці двох векторів, отримуємо

\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]

б) Так як $ \ overrightarrow (OC) = \ overrightarrow (AO) $, отримаємо

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]

По теоремі 2, маємо

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]

Використовуючи правило трикутника, маємо остаточно

\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]

Вектором називається спрямований відрізок прямої евклідового простору, у якого один кінець (точка A) називається початком вектора, а інший кінець (точка B) кінцем вектора (Рис. 1). Вектори позначаються:

Якщо початок і кінець вектора збігаються, то вектор називається нульовим векторомі позначається 0 .

приклад. Нехай у двомірному просторі початок вектора має координати. A(12,6) , а кінець вектора - координати B(12,6). Тоді вектор є нульовим вектором.

Довжина відрізка ABназивається модулем (довжиною, нормою) вектора та позначається | a|. Вектор довжини, що дорівнює одиниці, називається одиничним вектором. Крім модуля вектор характеризується напрямком: вектор має напрямок від Aдо B. Вектор називається вектор, протилежнимвектору.

Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Рис. 3 червоні вектори колінеарні, т.к. вони лажать однією прямий, а сині вектори коллинеарны, т.к. вони лежать на паралельних прямих. Два колінеарних вектори називаються однаково спрямованимиякщо їх кінці лежать по одну сторону від прямої, що з'єднує їх початку. Два колінеарних вектори називаються протилежно спрямованимиякщо їх кінці лежать по різні боки від прямої, що з'єднує їх початку. Якщо два колінеарні вектори лежать на одній прямій, то вони називаються однаково спрямованими, якщо один з променів, утвореним одним вектором повністю містить промінь, утвореним іншим вектором. В іншому випадку вектори називаються протилежно спрямованими. На малюнку Рис.3 сині вектори однаково спрямовані, а червоні вектори спрямовані протилежно.

Два вектори називаються рівнимиякщо вони мають рівні модулі та однаково спрямовані. На малюнку Рис.2 Вектори рівні т.к. їх модулі рівні та мають однаковий напрямок.

Вектори називаються компланарнимиякщо вони лежать на одній площині або в паралельних площинах.

У nмірному векторному просторі розглянемо багато всіх векторів, початкова точка яких збігається з початком координат. Тоді вектор можна записати у такому вигляді:

де x 1 , x 2 , ..., x nкоординати кінцевої точки вектора x.

Вектор, записаний у вигляді (1) називається вектор-рядок, а вектор, записаний у вигляді

називається вектор-стовпчик.

Число nназивається розмірністю (порядком) вектор. Якщо то вектор називається нульовим вектором(т.к. початкова точка вектора ). Два вектори xі yрівні тоді і лише тоді, коли рівні відповідні їх елементи.

Знання та навички, отримані на даному уроці, стануть у нагоді тим, хто навчається не тільки на уроках геометрії, а й на заняттях з інших наук. Під час уроку школярі навчаться відкладати вектор від заданої точки. Це може бути звичайний урок геометрії, а також позакласне чи факультативне заняття з математики. Ця розробка допоможе вчителю заощадити свій час на підготовку до уроку на тему «Відкладання вектора від цієї точки». Йому достатньо відтворити відеоурок на занятті, а потім закріпити матеріал власною добіркою вправ.

Урок за тривалістю займаємо лише 1:44 хвилини. Але цього достатньо, щоби навчити школярів відкладати вектор від заданої точки.

Урок починається з демонстрації вектора, початок якого знаходиться у певній точці. Говорять, що вектор від неї відкладений. Потім автор пропонує довести разом з ним твердження, згідно з яким від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний даному і єдиний. У результаті докази автор докладно розглядає кожен випадок. По-перше, він бере ситуацію, коли цей вектор нульовий, по-друге, коли вектор - ненульовий. Під час доказу використовуються ілюстрації у вигляді малюнків та побудови, математичний запис, які формують у школярів математичну грамотність. Автор розповідає, не поспішаючи, що дозволяє учням вести записи паралельно, доки йде коментування. Побудова, яку вів автор під час доказу раніше сформульованого твердження, показує, як з певної точки можна побудувати вектор, рівний даному.

Якщо учні уважно дивитися урок і паралельно вести записи, вони легко засвоять матеріал. Тим більше, що автор розповідає докладно, розмірено та досить повно. Якщо з якихось причин щось не почули, можна повернутися і подивитися урок ще раз.

Після перегляду відеоуроку бажано розпочати закріплення матеріалу. Вчителю рекомендується підібрати завдання на цю тему, щоб відпрацювати навичку відкладання вектора від цієї точки.

Цей урок можна використовувати для самостійного вивчення теми школярами. Але для закріплення необхідно звернутися до вчителя, щоб він підібрав відповідні завдання. Адже без закріплення матеріалу складно досягти позитивного результату у навчанні.

Що таке вектор? Поняття вектора виникає там, де доводиться мати справу з об'єктами, що характеризуються величиною та напрямком: наприклад, швидкість, сила, тиск. Такі величини називають векторними величинами або векторами. Поняття вектора виникає там, де доводиться мати справу з об'єктами, що характеризуються величиною та напрямком: наприклад, швидкість, сила, тиск. Такі величини називають векторними величинами або векторами.

Розглянемо довільний відрізок. На ньому можна вказати два напрямки. Щоб вибрати один із напрямків, один кінець відрізка назвемо ПОЧАТКОМ, а інший – КІНЦЕМ і вважатимемо, що відрізок спрямований від початку до кінця. Визначення. Визначення. Відрізок, котрому зазначено, який із його кінців вважається початком, який - кінцем, називається спрямованим відрізком чи вектором. Відрізок, котрому зазначено, який із його кінців вважається початком, який - кінцем, називається спрямованим відрізком чи вектором.

Поняття вектора Вектори часто позначають і однією малою латинською літерою зі стрілкою над нею. Початок нульового вектора збігається з його кінцем: Будь-яка точка площини також є вектором, який називається нульовим. Початок нульового вектора збігається з його кінцем: ММ = 0. ММ = 0. a b c М

Поняття вектора Довжиною або модулем ненульового вектора АВ називається довжина відрізка АВ: Довжиною або модулем ненульового вектора АВ називається довжина відрізка АВ: АВ = а = АВ = 5 АВ = а = АВ = 5 с = 17 с = 17 Довжина нульового вектора вважається рівною нулю : Довжина нульового вектора вважається рівною нулю: ММ = 0. ММ = 0. a М В А с

Колінеарні вектори Ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать або на одній прямій або на паралельних прямих. Колінеарні вектори можуть бути співспрямованими або протилежно спрямованими. Ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать або на одній прямій або на паралельних прямих. Колінеарні вектори можуть бути співспрямованими або протилежно спрямованими. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. аb c d m ns L

Якщо точка А – початок вектора а, то кажуть, що вектор а відкладений від точки А. Якщо точка А – початок вектора а, то кажуть, що вектор а відкладено від точки А. Твердження: Від будь-якої точки М можна відкласти вектор, рівний даному вектору а, і лише один. Твердження: Від будь-якої точки М можна відкласти вектор, рівний даному вектору а, і лише один. Рівні вектори, відкладені від різних точок, часто позначають однією і тією ж літерою.

Розглянемо приклад: Розглянемо приклад: Петя з дому(D) зайшов до Васі(V), а потім поїхав у кінотеатр(К). Петя з дому (D) зайшов до Васі (V), а потім поїхав до кінотеатру (К). У цих двох переміщень, які можна представити векторами DV і VK, Петя перемістився з точки D до, тобто. на вектор DК: Внаслідок цих двох переміщень, які можна представити векторами DV і VK, Петя перемістився з точки D до, тобто. на вектор DC: DK = DB + BK. DK=DB+BK. Вектор DK називається сумою векторів DB та BK. D V K

Сума двох векторів Правило трикутника Нехай а та b – два вектори. Відзначимо довільну точку А та відкладемо від цієї точки АВ = а, потім від точки В відкладемо вектор ВС = b. Нехай а та b – два вектори. Відзначимо довільну точку А та відкладемо від цієї точки АВ = а, потім від точки В відкладемо вектор ВС = b. АС = а + b АС = а + b a b A a b B C
Протилежні вектори Нехай а довільний ненульовий вектор. Нехай а довільний ненульовий вектор. Визначення. Вектор b називається протилежним вектору а якщо а і b мають рівні довжини і протилежно спрямовані. a = АВ, b = BA Вектор, протилежний вектору c, позначається так: -c. Очевидно, з + (-с) = 0 або АВ + ВА = 0 А B a b c -c

Віднімання векторів Визначення. Різницею двох векторів і b називається такий вектор, сума якого з вектором b дорівнює вектору а. Визначення. Різницею двох векторів і b називається такий вектор, сума якого з вектором b дорівнює вектору а. Теорема. Для будь-яких векторів і b справедлива рівність а - b = а + (-b). Завдання. Дано вектори а та b. Побудувати вектор а – b. а а b -b a - b