Чому дорівнює золота пропорція? Як працює золотий перетин

Золотий перетин просто, як і все геніальне. Подайте відрізок АВ, розділений точкою С. Вам потрібно лише поставити точку С так, щоб можна було скласти рівність СВ/АС = АС/АВ = 0,618. Тобто число, отримане при розподілі найменшого відрізка СВ на довжину середнього відрізка АС має збігатися з числом, отриманим при розподілі середнього відрізка АС на довжину великого відрізка АВ. Числом цим буде 0,618. Це і є золота, або, як казали в давнину, божественна пропорція. ф(грецька "фі"). Індекс досконалості.

Важко сказати, коли саме і ким було помічено, що дотримання цієї пропорції дає відчуття гармонії. Але як тільки люди стали щось створювати власними руками, то інтуїтивно намагалися дотриматися цього співвідношення. Будинки, зведені з урахуванням ф, завжди виглядали більш гармонійно порівняно з тими, у яких порушені пропорції золотого перерізу. Це неодноразово перевіряли всілякі тести.

У геометрії існують два об'єкти, нерозривно пов'язані з ф: правильний п'ятикутник (пентаграма) та логарифмічна спіраль. У пентаграмі кожна лінія, перетинаючись із сусідньою, ділить її в золотій пропорції, а в логарифмічній спіралі діаметри сусідніх витків відносяться один до одного так само, як відрізки АС та СВ на нашій прямій АВ. Але фпрацює не лише у геометрії. Вважається, що частини будь-якої системи (наприклад, протони та нейтрони в ядрі атома) можуть бути між собою в пропорції, що відповідає золотому числу. І тут, вважають учені, система виявляється оптимальної. Щоправда, для наукового підтвердження гіпотези потрібно ще не один десяток років досліджень. Там де фне можна виміряти інструментальним методом, застосовують так званий числовий ряд Фібоначчі, в якому кожне наступне число є сумою двох попередніх: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т. д. Особливість цього ряду полягає у цьому, що з розподілі будь-якого його числа наступне його виходить результат, максимально наближений до 0,618. Наприклад, візьмемо числа 2,3 та 5. 2/3 = 0,666, а 3/5 = 0,6. По суті, тут є те саме співвідношення, що й між складовими нашого відрізка АВ. Таким чином, якщо вимірювальні характеристики якогось об'єкта або явища можна вписати до числового ряду Фібоначчі, це означає, що в їх будові дотримано золотої пропорції. А таких об'єктів і систем безліч, і сучасна наука відкриває дедалі нові. Так що питання, чи не є фсправді божественною пропорцією, на якій тримається наш світ, зовсім не риторичне.

Золота пропорція у природі

Золоту пропорцію дотримано і в природі, причому вже на найпростіших рівнях. Взяти, наприклад, білкові молекули, з яких складаються тканини всіх живих організмів. Відрізняються молекули один від одного за масою, яка залежить від числа амінокислот, що входять до них. Нещодавно було встановлено, що найпоширенішими є білки з масами 31; 81,2; 140,6; 231; 319 тис. одиниць. Вчені відзначають, що цей ряд майже відповідає низці Фібоначчі - 3, 8,13, 21, 34 (тут вчені не враховують десяткову різницю цих рядів).

Напевно, при подальших дослідженнях буде знайдено білок, маса якого корелюватиме з 5. Цю впевненість дає навіть пристрій найпростіших — багато вірусів мають пентагональну структуру. Прагнуть до фта пропорції хімічних елементів. Найближче до неї плутоній: співвідношення числа протонів у його ядрі з нейтронами дорівнює 0,627. Найдалі — водень. У свою чергу, число атомів у хімічних сполуках напрочуд часто кратне числам ряду Фібоначчі. Особливо це стосується оксидів урану та сполук металів.

Якщо ви розріжете нирку дерева, що не розкрилася, то виявите там дві спіралі, спрямовані в різні боки. Це зачатки листя. Співвідношення кількості витків між цими двома спіралями завжди буде 2/3, або 3/5, або 5/8 і т. д. Тобто знову Фібоначчі. До речі, ту саму закономірність ми бачимо і в розташуванні насіння соняшника, і в будові шишок хвойних дерев. Але повернемося до листя. Коли вони розкриються, то не втратять свого зв'язку з фоскільки будуть розташовуватися на стеблі або гілці по логарифмічній спіралі. Але це ще не все. Існує поняття «кута розбіжності листя» — це кут, під яким знаходиться листя щодо один одного. Обчислити цей кут не становить великої праці. Уявіть, що в стебло вписано призма з п'ятикутною основою. Тепер пустіть по стеблі спіраль. Точки, в яких спіраль стосуватиметься граней призми, відповідають тим точкам, звідки росте листя. А тепер від першого аркуша проведіть пряму лінію вгору і подивіться, скільки листя лежатиме на цій прямій. Їхнє число в біології позначається буквою n (у нашому випадку це два листи). Тепер порахуйте кількість витків, що описуються спіраллю навколо стебла. Отримане число називається листовим циклом і позначається буквою p (у разі воно дорівнює 5). Тепер множимо максимальний кут - 360 градусів на 2 (n) і ділимо на 5 (p). Отримуємо шуканий кут розходження листя - 144 градуси. Співвідношення n і p бенкету кожної рослини або дерева своє, але всі вони не виходять із ряду Фібоначчі: 1/2; 2/5; 3/8; 5/13 і т. д. Біологи встановили, що кути, утворені за цими пропорціями, нескінченно прагнуть до 137 градусів — оптимального кута розходження, при якому рівномірно розподіляється сонячне світло по гілках і листям. Та й у самому листі ми можемо помітити дотримання золотої пропорції, як, втім, і в квітках — найлегше її помітити в тих, що мають форму пентаграми.

фне оминула і тваринний світ. На думку вчених, присутність золотої пропорції у будові кістяка живих організмів вирішує дуже важливе завдання. Так досягається максимально можлива міцність кістяка при мінімально можливій вазі, що, у свою чергу, дозволяє раціонально розподілити матерію частинами тіла. Це стосується багатьох представників фауни. Так, морські зірки — досконалі п'ятикутники, а раковини багатьох молюсків є логарифмічні спіралі. Співвідношення довжини хвоста бабки до її корпусу теж одно ф. Та й комар не простий: у нього три пари ніг, черевце ділиться на вісім сегментів, а на голові п'ять вусиків-антен — той самий ряд Фібоначчі. Число хребців у багатьох тварин, наприклад, у кита чи коня, дорівнює 55. Число ребер — 13, а кількість кісток у кінцівках — 89. А кінцівки самі мають тричастинну структуру. Загальна кількість кісток цих тварин, вважаючи зуби (яких, 21 пара) і кісточки слухового апарату,- 233 (число Фібоначчі). Чому тут дивуватися, коли навіть яйце, з якого, як багато народів вважають, усе й сталося, можна вписати в прямокутник золотого перерізу — довжина такого прямокутника в 1,618 разів перевищує його ширину.

©При частковому або повному використанні цієї статті - активне гіперпосилання на пізнавальний журнал сайт ОБОВ'ЯЗКОВЕ

Віктор Лаврус

Людина розрізняє навколишні предмети формою. Інтерес до форми будь-якого предмета то, можливо продиктований життєвої необхідністю, і може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії та золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та появі відчуття краси та гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини перебувають у певному відношенні один до одного та до цілого. Принцип золотого перерізу - найвищий прояв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі.

Золотий перетин – гармонійна пропорція

У математиці пропорцією(лат. proportio) називають рівність двох відносин: a : b = c : d.

Відрізок прямий АВможна розділити на дві частини такими способами:

на дві рівні частини - АВ : АС = АВ : НД;

на дві нерівні частини у будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють);

таким чином, коли АВ : АС = АС : НД.

Остання і є золотий поділ або поділ відрізка в крайньому та середньому відношенні.

Золотий переріз - це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього

a : b = b : cабо з : b = b : а.

Рис. 1.Геометричне зображення золотої пропорції

Практичне знайомство із золотим перерізом починають із розподілу відрізка прямої в золотій пропорції за допомогою циркуля та лінійки.

Рис. 2.Розподіл відрізка прямої по золотому перерізу. BC = 1/2 AB; CD = BC

З точки Увідновлюється перпендикуляр, що дорівнює половині АВ. Отримана точка Зз'єднується лінією з точкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок НД, що закінчується точкою D. Відрізок ADпереноситься на пряму АВ. Отримана при цьому точка Еділить відрізок АВу співвідношенні золотої пропорції.

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом AE= 0,618..., якщо АВприйняти за одиницю, ВЕ= 0,382... Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 та 0,38. Якщо відрізок АВприйняти за 100 частин, то більшість відрізка дорівнює 62, а менша - 38 частинам.

Властивості золотого перерізу описуються рівнянням:

x 2 - x - 1 = 0.

Розв'язання цього рівняння:

Властивості золотого перерізу створили навколо цього романтичний ореол таємничості і мало не містичного поклоніння.

Другий золотий перетин

Болгарський журнал «Батьківщина» (№10, 1983 р.) опублікував статтю Цвєтана Цекова-Олівця «Про другий золотий перетин», який випливає з основного перерізу та дає інше відношення 44: 56.

Така пропорція виявлена в архітектурі, а також має місце при побудові зображень композицій подовженого горизонтального формату.

Рис. 3.Побудова другого золотого перетину

Розподіл здійснюється в такий спосіб (див. рис.3). Відрізок АВділиться у пропорції золотого перерізу. З точки Звідновлюється перпендикуляр СD. Радіусом АВзнаходиться точка Dяка з'єднується лінією з точкою А. Прямий кут АСDділиться навпіл. З точки Зпроводиться лінія до перетину з лінією AD. Крапка Еділить відрізок ADщодо 56: 44.

Рис. 4.Розподіл прямокутника лінією другого золотого перерізу

На рис. 4 показано положення лінії другого золотого перерізу. Вона знаходиться посередині між лінією золотого перерізу та середньою лінією прямокутника.

Золотий трикутник

Для знаходження відрізків золотої пропорції висхідного та низхідного рядів можна користуватися пентаграмою.

Рис. 5.Побудова правильного п'ятикутника та пентаграми

Для побудови пентаграми потрібно побудувати правильний п'ятикутник. Спосіб його побудови розробив німецький живописець та графік Альбрехт Дюрер (1471...1528). Нехай O- центр кола, A- точка на колі та Е- середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіусу ОА, відновлений у точці Про, перетинається з колом у точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DCі отримаємо п'ять точок для написання правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять одне одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.

Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а основа, відкладена на бік, ділить її в пропорції золотого перерізу.

Рис. 6.Побудова золотого трикутника

Проводимо пряму АВ. Від точки Авідкладаємо на ній три рази відрізок Продовільної величини, через отриману точку Рпроводимо перпендикуляр до лінії АВ, на перпендикулярі вправо та вліво від точки Рвідкладаємо відрізки Про. Отримані точки dі d 1 з'єднуємо прямими з точкою А. Відрізок dd 1 відкладаємо на лінію Ad 1 , отримуючи точку З. Вона розділила лінію Ad 1 у пропорції золотого перерізу. Лініями Ad 1 та dd 1 користуються для побудови золотого прямокутника.

Історія золотого перерізу

Прийнято вважати, що поняття про золотий поділ ввів у науковий побут Піфагор, давньогрецький філософ та математик (VI ст. до н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян та вавилонян. І справді, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого поділу під час їх створення. Французький архітектор Ле Корбюзьє виявив, що у рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі та в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого поділу. Зодчий Хесіра, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає у руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовано пропорції золотого поділу.

Греки були вправними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора та діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників.

Рис. 7.Динамічні прямокутники

Платон (427...347 рр. е.) також знав про золотому розподілі. Його діалог «Тімей» присвячений математичним та естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого поділу.

У фасаді давньогрецького храму Парфенона є золоті пропорції. Під час його розкопок виявлено циркулі, якими користувалися архітектори та скульптори античного світу. У Помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладено пропорції золотого поділу.

Рис. 8.Античний циркуль золотого перерізу

У античній літературі, що дійшла до нас, золотий поділ вперше згадується в «Початках» Евкліда. У 2-й книзі «Початок» дається геометрична побудова золотого поділу Після Евкліда дослідженням золотого поділу займалися Гіпсікл (II ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та ін У середньовічній Європі із золотим поділом познайомилися з арабськими перекладами "Початок" Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (ІІІ ст.) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого поділу ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці. Вони були відомі лише присвяченим.

В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед вчених і художників у зв'язку з його застосуванням як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що італійські художники мають емпіричний досвід великий, а знань мало . Він задумав і почав писати книгу з геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Лукі Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників та істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі та Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франческі, який написав дві книги, одна з яких називалася «Про перспективу у живописі». Його вважають творцем нарисної геометрії.

Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р на запрошення герцога Моро він приїжджає до Мілана, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро тоді працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 р. у Венеції було видано книгу Луки Пачолі «Божественна пропорція» з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книжка була захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох переваг золотої пропорції чернець Лука Пачолі не преминув назвати і її «божественну суть» як вираз божественного триєдності бог син, бог батько і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок - бога батька, а весь відрізок - бога духа святого).

Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого поділу. Він робив перерізи стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і щоразу отримував прямокутники з стосунками сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому поділу назву Золотий перетин. Так воно і тримається досі як найпопулярніше.

У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими самими проблемами працював Альбрехт Дюрер. Він робить нариси вступу до першого варіанту трактату про пропорції. Дюрер пише. «Необхідно, щоб той, хто щось вміє, навчив цьому інших, які цього потребують. Це я й захотів зробити».

Судячи з одного з листів Дюрера, він зустрічався із Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер детально розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перерізу. Зростання людини ділиться в золотих пропорціях лінією поясу, і навіть лінією, проведеної через кінчики середніх пальців опущених рук, нижню частину особи - ротом тощо. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI ст. Йоган Кеплер назвав золотий перетин одним із скарбів геометрії. Він перший звертає увагу до значення золотої пропорції для ботаніки (зростання рослин та його будова).

Кеплер називав золоту пропорцію продовжує саму себе «Влаштована вона так, - писав він, - що два молодші члени цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останні члени, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності».

Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна робити як у бік збільшення (зростаючий ряд), і у бік зменшення (низхідний ряд).

Якщо на прямій довільній довжині, відкласти відрізок mпоруч відкладаємо відрізок M. На підставі цих двох відрізків вибудовуємо шкалу відрізків золотої пропорції висхідного та низхідного рядів

Рис. 9.Побудова шкали відрізків золотої пропорції

У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося на академічний канон і, коли згодом у мистецтві почалася боротьба з академічною рутиною, у запалі боротьби «разом із водою виплеснули і дитину». Знову «відкрито» золотий перетин був у середині ХІХ ст. У 1855 р. німецький дослідник золотого перетину професор Цейзінг опублікував свою працю «Естетичні дослідження». З Цейзинг сталося саме те, що й мало неминуче статися з дослідником, який розглядає явище як таке, без зв'язку з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальною всім явищ природи та мистецтва. Цейзінг мав численні послідовники, але були і противники, які оголосили його вчення про пропорції «математичної естетикою».

Рис. 10.Золоті пропорції у частинах тіла людини

Цейзинг виконав колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і дійшов висновку, що золотий перетин виражає середній статистичний закон. Розподіл тіла точкою пупу - найважливіший показник золотого перерізу. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13: 8 = 1,625 і дещо ближче підходять до золотого перерізу, ніж пропорції жіночого тіла, щодо якого середнє пропорції виражається у співвідношенні 8: 5 = 1,6. У новонародженого пропорція становить відношення 1: 1, до 13 років вона дорівнює 1,6, а до 21 року дорівнює чоловічій. Пропорції золотого перерізу виявляються і щодо інших частин тіла - довжина плеча, передпліччя та кисті, кисті та пальців тощо.

Рис. 11.Золоті пропорції у фігурі людини

Справедливість своєї теорії Цейзинг перевіряв на грецьких статуях. Найбільш детально він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Зазнали дослідження грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзинг дав визначення золотого перерізу, показав, як воно виражається у відрізках прямої та у цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзинг побачив, що вони становлять ряд Фібоначчі, який можна продовжувати до безкінечності в один і інший бік. Наступна його книга мала назву «Золотий поділ як основний морфологічний закон у природі та мистецтві». У 1876 р. у Росії було видано невелику книжку, майже брошуру, з викладом цієї праці Цейзинга. Автор сховався під ініціалами Ю.Ф.В. У цьому виданні не згадано жодного твору живопису.

Наприкінці XIX – на початку XX ст. з'явилося чимало суто формалістичної теорії про застосування золотого перерізу у витворах мистецтва та архітектури. З розвитком дизайну та технічної естетики дія закону золотого перерізу поширилася на конструювання машин, меблів тощо.

Ряд Фібоначчі

З історією золотого перерізу непрямим чином пов'язане ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, відомого під ім'ям Фібоначчі (син Боначчі). Він багато подорожував Сходом, познайомив Європу з індійськими (арабськими) цифрами. У 1202 р. вийшов у світ його математична праця «Книга про абак» (рахунковій дошці), в якій були зібрані всі відомі на той час завдання. Одне із завдань гласила «Скільки пар кроликів за один рік від однієї пари народиться». Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі збудував такий ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел у тому, кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого поділу. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це ставлення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618: 0,382 - дає безперервний поділ відрізка прямої в золотій пропорції, збільшення його або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.

Фібоначчі також займався вирішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якої найменшої кількості гир можна зважити товар? Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гир: 1, 2, 4, 8, 16...

Узагальнений золотий переріз

Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинному та тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичного вираження закону золотого поділу.

Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі та золотого перерізу. Ю. Матіясевич із використанням чисел Фібоначчі вирішує 10-ту проблему Гільберта. Виникають витончені методи вирішення низки кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі та золотого перерізу. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 випускає спеціальний журнал.

Одним із досягнень у цій галузі є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі та узагальнених золотих перерізів.

Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же «двійковий» ряд гир 1, 2, 4, 8, 16... на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови дуже схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сумою попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Чи не можна відшукати загальну математичну формулу, з якої виходять і двійковий» ряд, і ряд Фібоначчі? А може, ця формула дасть нам нові числові множини, які мають якісь нові унікальні властивості?

Дійсно, поставимо числовий параметр S, який може набувати будь-яких значень: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Розглянемо числовий ряд, S+ 1 перших членів якого - одиниці, а кожен з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього та віддаленого від попереднього на Sкроків. Якщо n-й член цього ряду ми позначимо через S ( n), то отримаємо загальну формулу S ( n) = S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Очевидно, що при S= 0 з цієї формули ми отримаємо «двійковий» ряд, при S= 1 - ряд Фібоначчі, при S= 2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-чисел Фібоначчі.

Загалом золота S-пропорція є позитивний корінь рівняння золотого S-перетину x S+1 - x S - 1 = 0.

Неважко показати, що при S= 0 виходить розподіл відрізка навпіл, а при S= 1 -знайомий класичний золотий перетин.

Відносини сусідніх S-чисел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю збігаються у межі із золотими S-Пропорціями! Математики у таких випадках кажуть, що золоті S-перетину є числовими інваріантами S-чисел Фібоначчі.

Факти, що підтверджують існування золотих S-січень у природі, наводить білоруський вчений Е.М. Сороко у книзі «Структурна гармонія систем» (Мінськ, «Наука та техніка», 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави мають особливі, яскраво виражені функціональні властивості (стійкі в термічному відношенні, тверді, зносостійкі, стійкі до окислення тощо) тільки в тому випадку, якщо питомі ваги вихідних компонентів пов'язані один з одним однією з золотих S-пропорцій. Це дозволило автору висунути гіпотезу про те, що золоті S-перетину є числові інваріанти систем, що самоорганізуються. Будучи підтвердженою експериментально, ця гіпотеза може мати фундаментальне значення для розвитку синергетики - нової галузі науки, що вивчає процеси в системах, що самоорганізуються.

За допомогою кодів золотий S-пропорції можна виразити будь-яке дійсне число у вигляді суми ступенів золотих S-пропорцій із цілими коефіцієнтами.

Принципова відмінність такого способу кодування чисел полягає в тому, що підстави нових кодів, що є золотими S-пропорції, при S> 0 виявляються ірраціональними числами. Таким чином, нові системи числення з ірраціональними підставами ніби ставлять «з голови на ноги» ієрархію відносин, що історично склалася, між числами раціональними і ірраціональними. Справа в тому, що спочатку були відкриті числа натуральні; потім їх відносини – числа раціональні. І лише пізніше - після відкриття піфагорійцями непорівнянних відрізків - світ з'явилися ірраціональні числа. Скажімо, у десятковій, п'ятирічній, двійковій та інших класичних позиційних системах числення як своєрідну першооснову було обрано натуральні числа - 10, 5, 2, - з яких вже за певними правилами конструювалися всі інші натуральні, а також раціональні та ірраціональні числа.

Свого роду альтернативою існуючим способам числення виступає нова, ірраціональна система, як першооснова, початку числення якої обрано ірраціональне число (що є, нагадаємо, коренем рівняння золотого перерізу); через нього вже виражаються інші дійсні числа.

У такій системі числення будь-яке натуральне число завжди представимо у вигляді кінцевої - а не нескінченної, як думали раніше! - суми ступенів будь-якого із золотих S-пропорцій. Це одна з причин, чому «ірраціональна» арифметика, володіючи дивовижною математичною простотою і витонченістю, ніби увібрала в себе найкращі якості класичної двійкової та «Фібоначчієвої» арифметик.

Принципи формоутворення у природі

Все, що набувало якоїсь форми, утворювалося, зростало, прагнуло зайняти місце у просторі та зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення переважно у двох варіантах - зростання вгору чи розстилання поверхні землі і закручування по спіралі.

Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, що трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрова раковина має спіраль завдовжки 35 см. Спіралі дуже поширені у природі. Подання про золотий переріз буде неповним, якщо не сказати про спіраль.

Рис. 12.Спіраль Архімеда

Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її та вивів рівняння спіралі. Спіраль, викреслена за цим рівнянням, називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди рівномірне. Нині спіраль Архімеда широко застосовується у техніці.

Ще Гете наголошував на тенденції природи до спіральності. Гвинтоподібне та спіралеподібне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили у розташуванні насіння соняшнику, у шишках сосни, ананасах, кактусах тощо. Спільна робота ботаніків та математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці (філотаксис), насіння соняшнику, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, виявляє себе закон золотого перерізу. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується буревій. Злякане стадо північних оленів розбігається спіраллю. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривої життя".

Серед придорожніх трав росте нічим не примітна рослина – цикорій. Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок.

Рис. 13.Цикорій

Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротший за перший, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, другий дорівнює 62 одиницям, третій - 38, четвертий - 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотій пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися у пропорції золотого перерізу.

Рис. 14.Ящірка живородна

У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так відноситься до довжини тіла, як 62 до 38.

І в рослинному, і в тваринному світі наполегливо пробивається формоутворююча тенденція природи – симетрія щодо напряму зростання та руху. Тут золотий перетин проявляється у пропорціях частин перпендикулярно до напрямку зростання.

Природа здійснила поділ на симетричні частини та золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.

Рис. 15.Яйце птиці

Великий Гете, поет, натураліст і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, освіту та перетворення органічних тіл. Це він ввів у науковий ужиток термін морфологія.

П'єр Кюрі на початку нашого століття сформулював низку глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якогось тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища.

Закономірності «золотої» симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних та космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є у будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також виявляються в біоритмах та функціонуванні головного мозку та зорового сприйняття.

Золотий переріз та симетрія

Золотий переріз не можна розглядати саме собою, окремо, без зв'язку з симетрією. Великий російський кристалограф Г.В. Вульф (1863...1925) вважав золотий перетин одним із проявів симетрії.

Золотий поділ не є проявом асиметрії, чогось протилежного симетрії Згідно з сучасними уявленнями золотий поділ - це асиметрична симетрія. У науку про симетрію увійшли такі поняття, як статичнаі динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна – рух, зростання. Так, у природі статична симетрія представлена будовою кристалів, а мистецтво характеризує спокій, рівновагу і нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона – свідчення життя. Статичній симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічній симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виражається у величинах золотого перерізу зростаючого або спадного ряду.

Золоті пропорції у літературі. Поезія та золотий перетин

Багато що у структурі поетичних творів ріднить цей вид мистецтва з музикою. Чіткий ритм, закономірне чергування ударних і ненаголошених складів, впорядкована розмірність віршів, їх емоційна насиченість роблять поезію рідною сестрою музичних творів. Кожен вірш має свою музичну форму - свою ритміку і мелодію. Очікується, що у будові віршів виявляться деякі риси музичних творів, закономірності музичної гармонії, отже, і золота пропорція.

Почнемо з величини вірша, тобто кількості рядків у ньому. Здавалося б, цей параметр вірша може змінюватись довільно. Однак виявилось, що це не так. Наприклад, проведений М. Васютінським аналіз віршів А.С. Пушкіна з цього погляду показав, що розміри віршів розподілені дуже нерівномірно; виявилося, що Пушкін явно віддає перевагу розмірам 5, 8, 13, 21 і 34 рядків (числа Фібоначчі).

Багатьма дослідниками було помічено, що вірші подібні до музичних творів; у них також існують кульмінаційні пункти, які поділяють вірш у пропорції золотого перетину. Розглянемо, наприклад, вірш А.С. Пушкіна "Швець":

Картину вкотре виглядав шевець
І у взутті помилку вказав;
Взявши пензель, виправився художник,
Ось, подбочась, шевець продовжував:
"Мені здається, обличчя трохи криво...
А ці груди не надто нага?
Тут Апеллес перервав нетерпляче:
"Суди, друже, не вище чобота!"

Є у мене приятельна прикметі:
Не знаю, в якому він предметі
Був знавцем, хоч строгий він на словах,
Але чорт його несе судити про світло:
Спробуй судити про чоботи!

Проведемо аналіз цієї притчі. Вірш складається з 13 рядків. У ньому виділяється дві смислові частини: перша у 8 рядків і друга (мораль притчі) у 5 рядків (13, 8, 5 - числа Фібоначчі).

Один із останніх віршів Пушкіна "Не дорого ціную я гучні права..." складається з 21 рядка і в ньому виділяється дві смислові частини: в 13 і 8 рядків.

Не дорого ціную я гучні права,
Від яких не одна паморочиться в голові.
Я не нарікаю на те, що відмовили боги
Мені в солодкій долі заперечувати податки
Або заважати царям один з одним воювати;
І мало горя мені, чи вільно друк
Морочить олухів, чи чуйна цензура
У журнальних задумах стискує балакура.
Все це, бачте, слова, слова, слова.
Інші, найкращі, мені дорогі права:
Інша, найкраща, потрібна мені свобода:
Залежати від царя, залежати від народу
Чи не все одно нам? Бог із ними.
Нікому
Звіту не давати, собі лише самому
Служити та догоджати; для влади, для лівреї
Не гнути ні совісті, ні помислів, ні шиї;
За примхою своєю блукати тут і там,
Дивуючись божественним природи красам,
І перед творами мистецтв та натхнення
Тремтячи радісно в захватах розчулення,
Ось щастя! Ось права...

Характерно, як і перша частина цього вірша (13 рядків) за змістовим змістом ділиться на 8 і п'ять рядків, тобто весь вірш побудовано за законами золотої пропорції.

Представляє безперечний інтерес аналіз роману "Євгеній Онєгін", зроблений М. Васютінським. Цей роман складається з 8 розділів, у кожному їх у середньому близько 50 віршів. Найбільш досконалою, найбільш відточеною та емоційно насиченою є восьма глава. У ній 51 вірш. Разом із листом Євгена до Тетяни (60 рядків) це точно відповідає числу Фібоначчі 55!

М. Васютинський констатує:

"Кульмінацією глави є пояснення Євгена в любові до Тетяни - рядок "Бліднути і гаснути... ось блаженство!". Цей рядок ділить весь восьмий розділ на дві частини - у першій 477 рядків, а в другій - 295 рядків. Їх відношення дорівнює 1,617 Найтонша відповідність величині золотої пропорції! Це велике диво гармонії, досконале генієм Пушкіна!

Знаменитий вірш Лермонтова "Бородіно" ділиться на дві частини: вступ, звернений до оповідача і займає лише одну строфу ("Скажіть, дядько, адже недаремно..."), і головну частину, що представляє самостійне ціле, яке розпадається на дві рівносильні частини. У першій їх описується з наростаючою напругою очікування бою, у другій - сам із поступовим зниженням напруги до кінця вірша. Кордон між цими частинами є кульмінаційною точкою твору і припадає саме на точку поділу його золотим перетином.

Головна частина вірша складається з 13 семивіршів, тобто із 91 рядка. Розділивши її золотим перетином (91:1,618 = 56,238), переконуємося, що точка розподілу знаходиться на початку 57-го вірша, де стоїть коротка фраза: "Ну ж був день!". Саме ця фраза є "кульмінаційним пунктом збудженого очікування", що завершує першу частину вірша (очікування бою) і відкриває другу його частину (опис бою).

Таким чином, золотий перетин грає в поезії досить осмислену роль, виділяючи кульмінаційний пункт вірша.

Золотий перетин в архітектурі, скульптурі, живописі, фотографії

Одним із найкрасивіших творів давньогрецької архітектури є Парфенон (V ст. до н. е.).

На малюнках видно низку закономірностей, пов'язаних із золотим перетином. Пропорції будівлі можна виразити через різні ступені числа Ф = 0,618.

На плані статі Парфенона можна помітити " золоті прямокутники " :

Золоте співвідношення ми можемо побачити і в будівлі собору Паризької Богоматері (Нотр-Дам де Парі), і в піраміді Хеопса:

Пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту та прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри мали співвідношення золотого поділу при їх створенні. Французький архітектор Ле Корбюзьє виявив, що у рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі та в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого поділу. Зодчий Хесіра, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає у руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовано пропорції золотого поділу.

Що стосується пірамід, не тільки єгипетські піраміди побудовані відповідно до скоєних пропорцій золотого перерізу; те саме явище виявлено і в мексиканських пірамід. На поперечному перерізі піраміди видно форма, подібна до сходах.
Ці числа засновані на співвідношенні Фібоначчі наступним чином:

16 x 1.618 = 26

26 x 1.618 = 42

Архітектура собору Василя Блаженного несе у собі безліч золотих пропорцій:

Золота пропорція застосовувалась багатьма античними скульпторами. Відома золота пропорція статуї Аполлона Бельведерського: зростання зображеної людини ділиться пупковою лінією у золотому перерізі.

Ще в епоху Відродження художники відкрили, що будь-яка картина має певні точки, які мимоволі приковують нашу увагу, так звані зорові центри. При цьому абсолютно неважливо, який формат має картина – горизонтальний чи вертикальний. Таких точок всього чотири, вони поділяють величину зображення горизонталлю і вертикалі в золотому перерізі, тобто. розташовані вони на відстані приблизно 3/8 та 5/8 від відповідних країв площини.

Дане відкриття у художників того часу отримало назву "золотий перетин" картини. Тому, щоб привернути увагу до головного елемента фотографії, необхідно поєднати цей елемент із одним із зорових центрів.

На картині І.І. Шишкіна "Корабельний гай" проглядаються мотиви золотого перетину. Яскраво освітлена сонцем сосна (яка стоїть першому плані) ділить довжину картини приблизно у золотому перерізі. Праворуч від сосни - освітлений сонцем пагорб. Він ділить у золотому перерізі праву частину картини по горизонталі. Зліва від головної сосни знаходиться безліч сосен - за бажання можна з успіхом продовжити поділ картини в пропорціях золотого перерізу.

Наявність у картині яскравих вертикалей та горизонталей, що ділять її щодо золотого перетину, надає їй характеру врівноваженості та спокою, відповідно до задуму художника. Коли художник створює картину з дією, що бурхливо розвивається, подібна геометрична схема композиції (з переважанням вертикалей і горизонталів) стає неприйнятною.

Відчуття динаміки, хвилювання проявляється, мабуть, найсильніше в іншій простій геометричній фігурі – спіралі. Багатофігурна композиція, виконана в 1509 - 1510 роках Рафаелем, коли прославлений художник створював свої фрески у Ватикані, відрізняється динамізмом і драматизмом сюжету. Рафаель так і не довів свій задум до завершення, однак, його ескіз був гравірований невідомим італійським графіком Маркантініо Раймонді, який на основі цього ескізу і створив гравюру "Побиття немовлят".

Якщо на підготовчому ескізі Рафаеля подумки провести лінії, що йдуть від смислового центру композиції - точки, де пальці воїна зімкнулися навколо щиколотки дитини, - вздовж фігур дитини, жінки, яка притискає її до себе, воїна із занесеним мечем і потім уздовж фігур такої ж групи у правій частини ескізу (на малюнку ці лінії проведені червоним кольором), а після цього з'єднати ці шматки кривою пунктиром, то з дуже великою точністю виходить золота спіраль. Це можна перевірити, вимірюючи відношення довжин відрізків, що висікаються спіраллю на прямих, що проходять через початок кривої.

Невідомо, чи малював насправді Рафаель золоту спіраль при створенні композиції "Побиття немовлят" або лише "відчував" її. Проте з упевненістю можна сказати, що гравер Раймонді побачив цю спіраль. Про це свідчать додані ним нові елементи композиції, що підкреслюють розворот спіралі у тих місцях, де вона в нас є лише пунктиром. Ці елементи можна побачити на остаточній гравюрі Раймонді: арка мосту, що йде від голови жінки, - у лівій частині композиції і тіло дитини, що лежить, - у її центрі.

Переходячи до прикладів “золотого перерізу” у живописі, не можна не зупинити своєї уваги творчості Леонардо да Вінчі. Подивимося уважно на картину "Джоконда". Композиція портрета побудована на "золотих трикутниках".

Сучасний модельний бізнес також використовує ідеальні пропорції, адже "все нове - це добре забуте старе":

Джерела інформації:

Ковальов Ф.В. Золотий перетин у живописі. К.: Вища школа, 1989.

Кеплер І. Про шестикутні сніжинки. - М., 1982.

Дюрер А. Щоденники, листи, трактати – Л., М., 1957.

Цеков-Олівець Ц. Про другий золотий переріз. - Софія, 1983.

Стахов А. Коди золотої пропорції.

20.05.2017

Золотий перетин – це те, що має знати кожен дизайнер. Ми пояснимо, що це таке і як ви можете його використовувати.

Існує загальне математичне співвідношення, знайдене в природі, яке може бути використане в дизайні для створення приємних, натуральних композицій. Його називають Золотим Перетином або грецькою літерою "фі". Якщо ви ілюстратор, арт директор або графічний дизайнер, вам безперечно варто використовувати Золоте Перетин у кожному проекті.

У цій статті ми пояснимо, як його використовувати, а також поділимося декількома відмінними інструментами для подальшого натхнення та вивчення.

Тісно пов'язана з Послідовністю Фібоначі (Fibonacci Sequence), яку ви, можливо, пам'ятаєте з уроків математики або роману Дена Брауна "Код Да Вінчі", Золоте Перетин описує ідеально симетричне взаємини між двома пропорціями.

Приблизно дорівнює співвідношенню 1: 1.61, Золоте Перетин може бути ілюстровано як Золотий Прямокутник: великий прямокутник, що включає квадрат (у якому сторони дорівнюють довжині найкоротшої сторони прямокутника) і менший прямокутник.

Якщо прибрати квадрат із прямокутника, залишиться інший, маленький Золотий Прямокутник. Цей процес може тривати нескінченно, як і цифри Фібоначі, які працюють у зворотному порядку. (Додавання квадрата зі сторонами, рівними довжині найдовшої сторони прямокутника, наближає вас до Золотого Прямокутника та Золотого Перетину.)

Золоте Перетин у дії

Вважається, що Золоте Перетин використовується вже близько 4000 років у мистецтві та дизайні. Однак багато людей погоджуються, що при будівництві Єгипетських Пірамід також використовувався цей принцип.

У більш сучасні часи це правило може бути помічене в музиці, мистецтві та дизайні навколо нас. Застосовуючи аналогічну робочу методологію, ви можете привнести до своєї роботи самі особливості дизайну. Давайте поглянемо на кілька прикладів, що надихають.

Грецька архітектура

У давньогрецькій архітектурі Золоте Перетин використовувалося визначення приємних просторових відносин між шириною будівлі та її висотою, розміром портика і навіть положенням колон, підтримують структуру.

В результаті виходить ідеально пропорційна будова. Рух неокласичної архітектури також використовував ці принципи.

таємна вечеря

Леонардо Да Вінчі, як і багато інших художників минулих років, часто використовував Золоте Перетин для створення приємних композицій.

У Таємній вечорі фігури розташовані в нижніх двох третинах (найбільша з двох частин Золотого Перетину), а Ісус ідеально замальований між золотими прямокутниками.

Золотий перетин у природі

Існує безліч прикладів Золотого Перетину в природі – їх можна знайти навколо себе. Квіти, морські раковини, ананаси та навіть бджолині стільники демонструють однакове співвідношення.

Як розрахувати Золотий перетин

Розрахунок Золотого Перетину досить простий, і починається із простого квадрата:

01. Намалюйте квадрат

Він утворює довжину короткої сторони прямокутника.

02. Розділіть квадрат

Розділіть квадрат навпіл за допомогою вертикальної лінії, утворюючи два прямокутники.

03. Проведіть діагональ

В одному з прямокутників проведе лінію з одного кута в протилежний.

04. Поверніть

Поверніть цю лінію так, щоб вона лягла горизонтально по відношенню до першого прямокутника.

05. Створіть новий прямокутник

Створіть прямокутник, використовуючи нову горизонтальну лінію та перший прямокутник.

Як використовувати Золоте Перетин

Використовувати цей принцип простіше, ніж ви вважаєте. Існує пара швидких трюків, які ви можете використовувати у своїх макетах, або витратити трохи більше часу та повністю розкрити концепт.

Швидкий спосіб

Якщо ви коли-небудь стикалися з "Правилом третин", то вам буде знайома ідея поділу простору на рівні третини по вертикалі та горизонталі, при цьому місця перетину ліній створюють природні точки для об'єктів.

Фотограф розміщує ключовий об'єкт на одній з цих ліній, що перетинаються, щоб створити приємну композицію. Цей принцип може також використовуватися у вашій розмітці сторінок і дизайні постерів.

Правило третьої можна застосовувати до будь-якої форми, але якщо ви застосуєте його до прямокутника з пропорціями приблизно 1: 1.6, ви опинитеся дуже близько до золотого прямокутника, що зробить композицію приємнішою для очей.

Повна реалізація

Якщо ви хочете реалізувати Золоте Перетин у вашому дизайні повною мірою, то просто розташуйте основний контент і сайдбар (у веб дизайні) у співвідношенні 1:1.61.

Можна округлити значення меншу чи більшу сторони: якщо контент-зона дорівнює 640px, а сайдбар 400px, то ця розмітка цілком підійде під Золоте Перетин.

Зрозуміло, ви також можете розділити області контенту та бічної панелі на те саме ставлення, а зв'язок між заголовком веб-сторінки, областю вмісту, футером і навігацією також може бути спроектована з використанням того ж принципу.

Корисні інструменти

Ось кілька інструментів, які допоможуть вам у використанні Золотого Перетину у дизайні та створенні пропорційних проектів.

GoldenRATIO – це додаток для створення дизайну веб-сайтів, інтерфейсів та шаблонів, що підходять під Золоте Перетин. Доступно в Mac App Store за 2,99 $. Включає калькулятор візуального Золотого Перетину.

Також у додатку є функція "Вибране", яке зберігає налаштування для повторюваних завдань і "Click-thru" мод, що дозволяє згортати додаток у Photoshop.

Цей калькулятор Золотого Перетину Pearsonified допомагає у створенні ідеальної друкарні для вашого сайту. Введіть розмір шрифту, ширину контейнера в полі та натисніть кнопку Set my type!Якщо потрібно оптимізувати кількість літер у рядку, ви можете додатково ввести значення CPL.

Це простий, корисний та безкоштовний додаток доступний для Mac і PC. Введіть будь-яке число, і програма обчислить другу цифру відповідно до принципу Золотого Перетину.

Ця програма дозволяє проектувати із золотими пропорціями, економлячи купу часу на обчисленнях.

Ви можете змінювати форми та розміри, фокусуючись на роботі над своїм проектом. Постійна ліцензія коштує 49 $, але ви можете завантажити безкоштовну версію на місяць.

Навчання Золтому Перетину

Ось кілька корисних туторіалів із Золотого Перетину (англійська мова):

У цьому туторіалі для Digital Arts Роберто Маррас (Roberto Marras) показує, як використовувати Золоте Перетин у художній роботі.

Туторіал від Tuts+, який розповідає, як використовувати золоті принципи у веб дизайн проектах.

Туторіал від Smashing Magazine, що розповідає про пропорції та правило третин.

Що спільного у єгипетських пірамід, картини «Мона Ліза» Леонардо да Вінчі та логотипів Twitter та Pepsi?

Не зволікатимемо з відповіддю – всі вони створені з використанням правила золотого перерізу. Золотий переріз – це співвідношення двох величин а та b, які не рівні між собою. Ця пропорція часто зустрічається в природі, також правило золотого перерізу активно використовується в образотворчому мистецтві та дизайні – композиції, створені з використанням «божественної пропорції», добре збалансовані і, як то кажуть, приємні для очей. Але що саме є золотим перерізом і чи можна використовувати його в сучасних дисциплінах, наприклад, у веб-дизайні? Давайте розберемося.

ТРОХИ МАТЕМАТИКИ

Припустимо, ми маємо якийсь відрізок АБ, розділений надвоє точкою С. Співвідношення довжин відрізків: AC/BC = BC/AB. Тобто, відрізок поділено на нерівні частини таким чином, що більша частина відрізка становить таку ж частку в цілому, нерозділеному відрізку, яку менший відрізок становить більшому.

Такий нерівний поділ і називається золотим перетином. Позначається золотий переріз символом φ. Значення φ становить 1618 або 162. Загалом, якщо говорити дуже просто, це поділ відрізка чи будь-якої іншої величини щодо 62% та 38%.

"Божественна пропорція" була відома людям з найдавніших часів, цим правилом користувалися при зведенні єгипетських пірамід і Парфенона, золотий перетин можна виявити в розписі Сікстинської капели і на картинах Ван Гога. Широко використовується золотий перетин і в наші дні – приклади, які постійно перед очима – це логотипи Twitter і Pepsi.

Людський мозок влаштований таким чином, що він вважає красивими зображення або об'єкти, в яких можна виявити нерівне співвідношення частин. Коли ми говоримо про когось, що він пропорційно складний, ми, самі того не знаючи, маємо на увазі золотий перетин.

Золотий переріз можна застосовувати до різних геометричних фігур. Якщо взяти квадрат і помножити одну сторону на 1,618, ми отримаємо прямокутник.

Тепер, якщо накласти квадрат на цей прямокутник, ми зможемо побачити лінію золотого перерізу:

Якщо продовжувати використовувати цю пропорцію і розбивати прямокутник на дрібніші частини, ми отримаємо таку картину:

Поки що не зрозуміло, куди нас заведе це дроблення геометричних фігур. Ще трохи і все стане ясно. Якщо кожному з квадратів схеми провести плавну лінію, рівну четвертинці кола, ми отримаємо Золоту спіраль.

Це незвична спіраль. Її ще іноді називають спіраллю Фібоначчі, на честь вченого, який досліджував послідовність, у якій кожне число зарано сумі двох попередніх. Суть у тому, що це математичне співвідношення, яке візуально сприймається нами як спіраль, зустрічається буквально всюди – соняшники, морські раковини, спіральні галактики та тайфуни – скрізь є золота спіраль.

ЯК МОЖНА ВИКОРИСТОВУВАТИ ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ В ДИЗАЙНІ?

Отже, теоретична частина закінчена, переходимо до практики. Невже золотий перетин можна використовувати у дизайні? Так можна. Наприклад, у веб-дизайні. Враховуючи це правило, можна отримати правильне співвідношення композиційних елементів макета. В результаті всі частини дизайну, аж до найменших, гармонійно поєднуються між собою.

Якщо взяти типовий макет із шириною 960 пікселів і застосувати до нього правило золотого перерізу, то ми отримаємо таку картину. Співвідношення між частинами становить відоме 1:1,618. В результаті ми маємо двоколонковий макет, з гармонійним поєднанням двох елементів.

Сайти з двома стовпчиками зустрічаються дуже часто і це далеко не випадково. Ось, наприклад, веб-сайт National Geographic. Дві колонки, правило золотого перерізу. Хороший дизайн, впорядкований, збалансований та враховує вимоги візуальної ієрархії.

Ще один приклад. Дизайн-студія Moodley розробила фірмовий стиль для фестивалю виконавського мистецтва у Брегенці. Коли дизайнери працювали над афішею заходу, вони однозначно користувалися правилом золотого перерізу для того, щоб правильно визначити розмір і розташування всіх елементів і отримати ідеальну композицію.

Агентство Lemon Graphic, яке створило візуальний образ для компанії Terkaya Wealth Management, також використало співвідношення 1:1,618 та золоту спіраль. Три елементи дизайну візитної картки чудово вписуються у схему, внаслідок чого всі частини дуже добре поєднуються між собою

А ще цікаве використання золотої спіралі. Перед нами знову сайт National Geographic. Якщо поглянути на дизайн уважніше, то можна побачити, що на сторінці є ще один логотип NG, лише менший, який розташований ближче до центру спіралі.

Зрозуміло, це не випадково – дизайнери чудово знали, що вони роблять. Це чудове місце, щоб продублювати логотип, так як наше око, розглядаючи сайт, природно зміщується до центру композиції. Так працює підсвідомість і це необхідно враховувати під час роботи над дизайном.

ЗОЛОТІ КРУГИ

"Божественна пропорція" може застосовуватися до будь-яких геометричних фігур, у тому числі і до кіл. Якщо вписати коло у квадрати, співвідношення між якими становить 1:1,618, ми отримаємо золоті кола.

Ось логотип Pepsi. Все зрозуміло без слів. І співвідношення, і те, як було отримано плавну дугу білого елемента логотипу.

З логотипом Twitter все трохи складніше, але й тут видно, що його дизайн ґрунтується на використанні золотих кіл. Він трохи відповідає правилу «божественної пропорції», але здебільшого всі його елементи вписуються в схему.

ВИСНОВОК

Як видно, незважаючи на те, що правило золотого перерізу відоме з незапам'ятних часів, воно не застаріло. Отже, його можна використовувати у дизайні. Не обов'язково щосили намагатися вкластися у схему – дизайн дисципліна неточна. Але якщо потрібно досягти гармонійного поєднання елементів, спробувати застосувати принципи золотого перерізу не завадить.

Реферат виконала учениця 8 класу МОУ гімназія №9 В'юшина Вероніка

Єкатеринбург

1. Введення. Пропорція золотого перерізу. Ф та φ.

"Геометрія має два великі скарби. Перше - це теорема Піфагора, друге - поділу відрізка в крайньому і середньому відношенні"

Йоганн Кеплер

Правильні багатокутники привертали увагу давньогрецьких вчених ще задовго і Архімеда. Піфагорійці, які вибрали емблемою свого союзу пентаграму - п'ятикутну зірку, надавали дуже великого значення задачі про розподіл кола на рівні частини, тобто про побудову правильного вписаного багатокутника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), що став уособленням Відродження у Німеччині наводить теоретично точний спосіб побудови правильного п'ятикутника, запозичений з великого твору Птолемея "Альмагест".

Інтерес Дюрера до побудови правильних багатокутників відбиває використання їх у Середні віки в арабських та готичних орнаментах, а після винаходу вогнепальної зброї – у плануванні фортець.

Середньовічні способи побудови правильних багатокутників мали наближений характер, але були (або не могли не бути) простими: перевага віддавалася способам побудови, що не вимагають навіть змінювати розчин циркуля. Леонардо да Вінчі також багато писав багатокутників, але саме Дюрер, а чи не Леонардо, передав середньовічні способи побудови нащадкам. Дюрер, звичайно, був знайомий з "Початками" Евкліда, але не привів у своєму "Посібнику до вимірювання" (про побудови за допомогою циркуля та лінійки) запропонований Евклідом спосіб побудови правильного п'ятикутника, теоретично точний, як і всі евклідові побудови. Евклід не намагається розділити задану дугу кола на три рівні частини, і Дюрер знав, хоча доказ було знайдено лише у ХІХ столітті, що це завдання нерозв'язне.

Запропонована Евклідом побудова правильного п'ятикутника включає розподіл відрізка прямий в середньому і крайньому відношенні, назване згодом золотим перетином і привертали до себе увагу художників і архітекторів протягом кількох століть.

Точка В ділить відрізок АВЕ в середньому та крайньому відношенні або утворює золотий переріз, якщо відношення більшої частини відрізка до меншої дорівнює відношенню всього відрізка до більшої частини.

Записаний у вигляді рівності відносин золотий переріз має вигляд

АВ/ВЕ = АВ/АЕ

Якщо покласти АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, щоб золоте відношення дорівнювало АВ/ВЕ=Ф, то виходить співвідношення

Тобто Ф задовольняє рівняння

Це рівняння має один позитивний корінь

Ф=(√5+1)/2=1.618034….

Зауважимо, що 1/Ф = (√5 -1)/2, оскільки (√5-1)(√5+1) =5-1=4. За 1/Ф заведено вважати φ=0.618034….

Ф і φ - велика і мала форма грецької літери "фі".

Таке позначення прийнято на честь давньогрецького скульптора Фідія (V століття е.) Фідій керував будівництвом храму Парфенон в Афінах. У пропорціях цього храму багато разів є число φ.

2. Історія золотого перерізу

Прийнято вважати, що поняття про золотий поділ ввів у науковий побут Піфагор, давньогрецький філософ та математик (VI ст. до н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян та вавилонян. І справді, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого поділу під час їх створення. Французький архітектор Ле Корбюзьє виявив, що в рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі та в рельєфі, що зображує фараона Рамсеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого поділу. Зодчий Хесіра, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає у руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовано пропорції золотого поділу.

Греки ж були вправними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора та діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників.

Платон (427...347 рр. е.) також знав про золотому розподілі. Його діалог "Тімей" присвячений математичним та естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого поділу.

Парфенон має 8 колон по коротких сторонах і 17 по довгих. Відношення висоти будівлі до її довжини дорівнює 0,618. Якщо зробити розподіл Парфенону за «золотим перерізом», то отримаємо ті чи інші виступи фасаду. Під час його розкопок виявлено циркулі, якими користувалися архітектори та скульптори античного світу. У Помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладено пропорції золотого поділу.

У античній літературі, що дійшла до нас, золотий поділ вперше згадується в "Початках" Евкліда. У 2-й книзі "Початок" дається геометрична побудова золотого поділу. Після Евкліда дослідженням золотого поділу займалися Гіпсікл (II ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та ін. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (ІІІ ст.) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого поділу ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці. Вони були відомі лише присвяченим.

В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед учених та художників у зв'язку з його застосуванням, як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі. Леонардо да Вінчі, художник та вчений, бачив, що в італійських художниках великий емпіричний досвід, але брак знань. Він задумав і почав писати книгу з геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Лукі Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників та істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі та Галілеєм.

Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р на запрошення герцога Моро він приїжджає до Мілана, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро тоді працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі "Божественна пропорція" з блискуче виконаними ілюстраціями, зважаючи на те, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книжка була захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох переваг золотої пропорції чернець Лука Пачолі не преминув назвати і її "божественну суть" як вираз божественного триєдності: бог син, бог батько і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок - бога батька, а весь відрізок – бога духа святого).

Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого поділу. Він робив перерізи стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і щоразу отримував прямокутники з стосунками сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому поділу назву золотий перетин. Так воно і тримається досі як найпопулярніше.

У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими самими проблемами працював Альбрехт Дюрер. Він робить нариси вступу до першого варіанту трактату про пропорції. Дюрер пише: "Необхідно, щоб той, хто щось вміє, навчив цьому інших, які цього потребують. Це я і намірився зробити".