Векторы Векторы Историческая справка Понятие вектора Равенство векторов Откладывание вектора от данной точки Сумма двух векторов Законы сложения Вычитание. Векторы для чайников. Действия с векторами. Координаты вектора. Простейшие задачи с векторами

Г – 9 класс Урок № 2

Тема: Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки.

Цели:

ввести понятие вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов;

научить обучающихся изображать и обозначать векторы, откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному;

закрепить знания обучающихся в ходе решения задач;

развивать память, внимание, математическое мышление;

вырабатывать трудолюбие, стремление достигать поставленные цели и задачи.

Ход урока.

Организационные моменты.

Сообщение темы и целей урока.

Актуализация знаний и умений обучающихся.

1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных заданий.

2. Проверка теоретических сведений:

Равнобедренный треугольник и его свойства. Признаки равенства треугольников.

Определение средней линии треугольника и ее свойство.

Теорема Пифагора и обратная ей теорема.

Формула для вычисления площади треугольника.

Понятие параллелограмма, свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника.

Определение трапеции, виды трапеций.

Площадь параллелограмма, площадь трапеции.

Изучение нового материала.

Материал пунктов 76–78 изложить в виде небольшой лекции с применением разнообразных презентации «Вектора»

1. Понятие векторных величин (или коротко векторов).

2. Примеры векторных величин, известных обучающимся из курса физики: сила, перемещение материальной точки, скорость и другие (рис. 240 учебника).

3. Определение вектора (рис. 241, 242).

4. Обозначение вектора – двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например, , или часто обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: (рис. 243, а, б).

5. Понятие нулевого вектора: любая точка плоскости также является вектором; в этом случае вектор называется нулевым; обозначают: (рис. 243, а).

6. Определение длины или модуля ненулевого вектора . Обозначение: . Длина нулевого вектора = 0.

7. Найти длины векторов, изображенных на рисунках 243, а и 243, б.

8. Выполнить практические задания № 738, 739.

9. Рассмотреть пример движения тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении (из пп. 77 учебника), рис. 244.

10. Ввести понятие коллинеарных векторов (рис. 245).

11. Определение понятий сонаправленных векторов и противоположно направленных векторов, их обозначение (рис. 246).

12. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

13. Определение равных векторов: если и , то .

14. Объяснение смысла выражения: «Вектор отложен от точки А» (рис. 247).

15. Доказательство утверждения, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (рис. 248).

16. Выполнение практического задания № 743.

17. Устно по готовому чертежу на доске решить задачу № 749.

Решение задач.

1. Решить задачу № 740 (а) на доске и в тетрадях.

2. Устно решить задачу № 744.

3. Решить задачу № 742.

4. Решить задачу № 745 (выборочно).

5. Устно по заготовленному чертежу решить задачу № 746.

6. Доказать прямое утверждение в задаче № 750:

Доказательство

По условию , то AB || CD, значит, по признаку параллелограмма АВDС – параллелограмм, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, середины отрезков AD и BC совпадают.

Повторение организовать в ходе решения следующих задач - Задания для повторения из банка заданий ОГЭ (ГИА)-2016:

№ 9, 10, 11, 12, 13 – из модуля «Геометрия»; № 24 – из части 2 модуля «Геометрия» Вариант № 3

Итоги урока.

Подведение итогов урока. Выставление отметок.

В результате изучения § 1 обучающиеся должны знать определения вектора и равных векторов; уметь изображать и обозначать векторы, откладывать от данной точки вектор, равный данному; решать задачи типа №№ 741–743; 745–752.



Домашнее задание: изучить материал пунктов 76–78; ответить на вопросы 1–6, с. 213 учебника; решить задачи №№ 747, 749, 751.

ов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Определение 1

Если точка $A$ начала какого-либо вектора $\overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).

Рисунок 1. $\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$

Введем следующую теорему:

Теорема 1

От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow{a}$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

Вектор $\overrightarrow{a}$ - нулевой.

В этом случае, очевидно, что искомый вектор -- вектор $\overrightarrow{KK}$.

Вектор $\overrightarrow{a}$ -- ненулевой.

Обозначим точкой $A$ -- начало вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ - конец вектора $\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $\overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{KL}$ и $\overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $\overrightarrow{a}$ (рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Вычитание векторов. Правило первое

Пусть нам даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

Определение 2

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется такой вектор $\overrightarrow{c}$, который при сложении с вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$, то есть

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\]

Обозначение: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$.

Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.

Пример 1

Пусть даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Построить вектор $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Решение.

Построим произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Соединив точку $B$ с точкой $A$, получим вектор $\overrightarrow{BA}$ (рис. 3).

Рисунок 3. Разность двух векторов

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

\[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\]

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}\]

Из определения 2, получаем, что

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}\]

Ответ: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}$.

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ и соединить конец второго вектор с концом первого вектора.

Вычитание векторов. Правило второе

Вспомним следующее необходимое нам понятие.

Определение 3

Вектор $\overrightarrow{a_1}$ называется произвольным для вектора $\overrightarrow{a}$, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.

Обозначение: Вектор $(-\overrightarrow{a})$ противоположный для вектора $\overrightarrow{a}$.

Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.

Теорема 2

Для любых двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ справедливо следующее равенство:

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\]

Доказательство.

По определению 2, имеем

Прибавим к обеим частям вектор $\left(-\overrightarrow{b}\right)$, получим

Так как векторы $\overrightarrow{b}$ и $\left(-\overrightarrow{b}\right)$ противоположны, то $\overrightarrow{b}+\left(-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{0}$. Имеем

Теорема доказана.

Из этой теоремы получаем следующее правило для разности двух векторов: Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить вектор $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, затем от полученной точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{b}$ и соединить начало первого вектора с концом второго вектора.

Пример задачи на понятие разности векторов

Пример 2

Пусть дан параллелограмм $ADCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ (рис. 4). Выразить через векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ следующие векторы:

а) $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$

б) $\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}$

Рисунок 4. Параллелограмм

Решение.

а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим

\[\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}\]

Из первого правила разности двух векторов, получаем

\[\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\]

б) Так как $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}$, получим

\[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}\]

По теореме 2, имеем

\[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}+\left(-\overrightarrow{AO}\right)=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\]

Используя правило треугольника, окончательно имеем

\[\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{a}\]

Вектором называется направленный отрезок прямой евклидова пространства, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B) концом вектора (Рис. 1). Векторы обозначаются:

Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым вектором и обозначается 0 .

Пример. Пусть в двухмерном пространстве начало вектора имеет координаты A (12,6) , а конец вектора - координаты B (12,6). Тогда вектор является нулевым вектором.

Длина отрезка AB называется модулем (длиной , нормой ) вектора и обозначается |a |. Вектор длины, равной единице, называется единичным вектором . Кроме модуля вектор характеризуется направлением: вектор имеет направление от A к B . Вектор называется вектором, противоположным вектору .

Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке Рис. 3 красные векторы коллинеарны, т.к. они лажат на одной прямой, а синие векторы коллинеарны, т.к. они лежат на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора называются одинаково направленными , если их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными , если их концы лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их начала. Если два коллинеарных вектора лежат на одной прямой, то они называются одинаково направленными, если один из лучей, образованным одним вектором полностью содержит луч, образованным другим вектором. В противном случае векторы называются противоположно направленными. На рисунке Рис.3 синие векторы одинаково направлены, а красные векторы противоположно направлены.

Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены. На рисунке Рис.2 векторы равны т.к. их модули равны и имеют одинаковое направление.

Векторы называются компланарными , если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях.

В n мерном векторном пространстве рассмотрим множество всех векторов, начальная точка которых совпадает с началом координат. Тогда вектор можно записать в следующем виде:

где x 1 , x 2 , ..., x n координаты конечной точки вектора x .

Вектор, записанный в виде (1) называется вектор-строкой , а вектор, записанный в виде

называется вектор-столбцом .

Число n называется размерностью (порядком ) вектора. Если то вектор называется нулевым вектором (т.к. начальная точка вектора ). Два вектора x и y равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы.

Знания и навыки, полученные на данном уроке, пригодятся обучающимся не только на уроках геометрии, но и на занятиях по другим наукам. В ходе урока школьники научатся откладывать вектор от заданной точки. Это может быть обычный урок геометрии, а также внеклассное или факультативное занятие по математике. Данная разработка поможет учителю сэкономить свое время на подготовку к уроку по теме «Откладывание вектора от данной точки». Ему будет достаточно воспроизвести видеоурок на занятии, а затем закрепить материал собственной подборкой упражнений.

Урок по продолжительности занимаем всего 1:44 минуты. Но этого достаточно, чтобы научить школьников откладывать вектор от заданной точки.

Урок начинается с демонстрации вектора, начало которого находится в некоторой точке. Говорят, что вектор от нее отложен. Затем автор предлагает доказать вместе с ним утверждение, согласно которому от любой точки можно отложить вектор, равный данному и, притом, единственный. В ходе доказательства автор подробно рассматривает каждый случай. Во-первых, он берет ситуацию, когда данный вектор нулевой, во-вторых, когда вектор - ненулевой. Во время доказательства используются иллюстрации в виде рисунков и построения, математическая запись, которые формируют у школьников математическую грамотность. Автор рассказывает, не торопясь, что позволяет обучающимся вести записи параллельно, пока идет комментирование. Построение, которое вел автор в ходе доказательства ранее сформулированного утверждения, показывает, как от некоторой точки можно построить вектор, равный данному.

Если обучающиеся будут внимательно смотреть урок и параллельно вести записи, то они легко усвоят материал. Тем более, что автор рассказывает подробно, размеренно и достаточно полно. Если по каким-то причинам что-то не услышали, то можно вернуться и посмотреть урок еще раз.

После просмотра видеоурока желательно приступить к закреплению материала. Учителю рекомендуется подобрать задания по данной теме, чтобы отработать навык откладывания вектора от данной точки.

Данный урок можно использовать для самостоятельного изучения темы школьниками. Но для закрепления необходимо обратиться к учителю, чтобы он подобрал соответствующие задания. Ведь без закрепления материала сложно добиться положительного результата в обучении.

Что такое вектор? Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением: например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами. Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением: например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами.

Понятие вектора Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления. Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем НАЧАЛОМ, а другой – КОНЦОМ и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. Определение. Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.

Понятие вектора Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом: Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом: ММ = 0. ММ = 0. a b c М

Понятие вектора Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ: Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ: АВ = а = АВ = 5 АВ = а = АВ = 5 с = 17 с = 17 Длина нулевого вектора считается равной нулю: Длина нулевого вектора считается равной нулю: ММ = 0. ММ = 0. a М В А с

Коллинеарные векторы Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. аb c d m n s L

Откладывание вектора от данной точки Если точка А – начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А. Если точка А – начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А. Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой А а М а

Сумма двух векторов Рассмотрим пример: Рассмотрим пример: Петя из дома(D) зашел к Васе(V), а потом поехал в кинотеатр(К). Петя из дома(D) зашел к Васе(V), а потом поехал в кинотеатр(К). В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DV и VK, Петя переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК: В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DV и VK, Петя переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК: DK=DB+BK. DK=DB+BK. Вектор DK называется суммой векторов DB и BK. D V K

Сумма двух векторов Правило треугольника Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b. Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b. АС = а + b АС = а + b a b A a b B C
Противоположные векторы Пусть а – произвольный ненулевой вектор. Пусть а – произвольный ненулевой вектор. Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены. a = АВ, b = BA Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c. Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0 А B a b c -c

Вычитание векторов Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (-b). Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b. а а b -b a - b