Свойства функции y=cos(x). Ее график. Тригонометрические функции

Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.

Y = sin(x)

График функции y=sin(x).

Основные свойства:

3. Функция нечетная.

Y = cos(x)

График функции y=cos(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений - отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Y = tg(x)

График функции y=tg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k - целое.

3. Функция нечетная.

Y = ctg(x)

График функции y=ctg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k - целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

С центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Определение
Синус (sin α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.

Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Принятые обозначения

;
;
.

;
;
.

График функции синус, y = sin x

График функции косинус, y = cos x

Свойства синуса и косинуса

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .

Четность

Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).

Основные формулы

Сумма квадратов синуса и косинуса

Формулы синуса и косинуса от суммы и разности

;
;

Формулы произведения синусов и косинусов

Формулы суммы и разности

Выражение синуса через косинус

;
;
;
.

Выражение косинуса через синус

;
;
;
.

Выражение через тангенс

; .

При , имеем:
; .

При :
; .

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные переменные

;

Формула Эйлера

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; . Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.

Арксинус, arcsin

Арккосинус, arccos

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тема урока: “Функция у=cosx”

Урок №1

Цели урока: Ознакомить учащихся со свойствами функции

Задачи урока.

Образовательная – формирование функциональных представлений на наглядном материале, формирование умений построения графиков функции у=cosx, формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике.

Ход урока

Цель урока: Ознакомить учащихся со свойствами функцииу=cosx, обучение построению графика функции у=cosx, чтению этого графика, использование свойств и графика функции при решении уравнений и неравенств.

2. Объявление темы и цели урока сопровождается слайдом №2

3. Актуализация опорных знаний

Выполнение устных упражнений.

1. Повторить определение тригонометрических функций и знаки значений этих функций.
2. Обратить внимание учащихся на то, что для любого действительного числа можно указать соответствующую точку на единичной окружности, а следовательно ее абсциссу и ординату, т.е. косинус и синус числа х: у = cosx и у = sinx, область определения которых – все действительные числа.

Затем учащиеся отвечают на вопросы:

1. При каких значениях х функция у=cosx принимает значение, равное 0? 1? -1?
2. Может ли функция у=cosx принимать значение больше 1, меньше -1?
3. При каких значениях х функция у=cosx принимает наибольшее (наименьшее) значение?
4. Каково множество значений функции у=cosx?

Ответы на эти и следующие вопросы сопровождаются иллюстрацией на единичной окружности.

Повторив знаки значений тригонометрических функций в каждой четверти координатной плоскости, учащимся предлагается показать несколько точек единичной окружности, соответствующих числам, косинус которых положительное (отрицательное) число. Затем ответить на вопросы:

1) Какой знак имеет значение функции у=cosx, если х=, х=,

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

2) Укажите несколько значений х, при которых значения функции у = cosx положительны, отрицательны.

3) Можно ли назвать все значения числа , косинус которых положителен, отрицателен?

4) Можно ли назвать все значения аргумента х, при которых значения функции у = cosx положительны, отрицательны?

5) Четная или нечетная функция у= cosx.

6) Чему равен период этой функции?

4. Изложение нового материала.

Обобщение и конкретизация знаний полученных ранее: исследование области определения, множества значений, четности, периодичности позволяет построить график сначала на отрезке, затем на отрезке , а затем на всей числовой прямой. Объяснение сопровождается слайдом №3.

Затем учащиеся учатся изображать эскиз графика функции у= cosx по точкам (0;1), (;0),

(:-1), (;0), (;1) и обобщают свойства функции, записывая их в таблицу.

Проверяем с помощью слайда №4.

(На этом этапе выдаются опорные конспекты (приложение 1))

5. Закрепление первичных знаний.

С помощью эскиза графика функции у=cosx учащиеся отвечают на вопросы №708, с помощью таблицы свойств функции у=cosх отвечают на вопросы №709

6. Задача на построение графика функции со сдвигом вдоль оси ординат и вдоль оси абсцисс.

1. Слайд №5, 6

В ходе беседы обсуждаются свойства этих функций.

7. Самостоятельная работа по учебнику

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция у = cosx возрастала, а на другом убывала:

Убывает; - возрастает

Убывает; - возрастает

Используя свойство возрастания или убывания функции у = cosx, сравнить числа:

На отрезке функция у = cosx убывает; , следовательно, .

На отрезке функция у = cosx возрастает;

<, следовательно, cos < cos

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку :

1) cosx = х = ±+2n, n Z

Ответ: ; ; .

2) cosx = - х = ±

8. Подведение итогов.

Выставление оценок.

На уроке научились строить график функции у = cosx, читать свойства этого графика, строить эскиз графика, решать задачи связанные с использованием графика и свойств функции у = cosx.

9. Домашнее задание.

§40 №710(2;4), №711(2;4), №711(2;4). Построить графики функций у =cosx на и описать свойства этой функции.

Дополнительно №717(1).

Урок №2

Цели урока: Повторить правила построения графика функцииу=cosx, научиться применять приемы преобразования графика, чтению этого графика, использование свойств и графика функции при решении уравнений и неравенств.

Задачи урока.

Образовательная – формирование функциональных представлений на наглядном материале, формирование умений построения графиков функции у=cosx при различных преобразованиях, формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике.

Развивающая – формирование способности анализировать, обобщать полученные знания. Формирование логического мышления.

Воспитательная – активизировать интерес к получению новых знаний, воспитание графической культуры, формирование точности и аккуратности при выполнении чертежей.

Оснащене: мультимедийный проектор, экран, операционная система Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, программа MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

Ход урока

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Функции у= sin x и y = cos x и их графики (сопровождающая презентация к уроку) КОРПУСОВА ТАТЬЯНА СЕРГЕЕВНА учитель математики МБОУ ЛСОШ № 2 им. Н.Ф.Струченкова Брянская обл.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Числовые функции, заданные формулами у= sin x и y = cos x , называют соответственно синусом и косинусом. 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.

Функция y=sin x , график и свойства. 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.

Синусоида у 1 - π/2 π 2 π 3 π х -3 π/2 - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.

у = sin(x+a) ПРИМЕР y 1 -1 π 2 π - π 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.

у = sin x + a 1) y = sin x + 1 ; y 1 x - π 0 π 2 π x -1 x 2) y = sin x - 1 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.

Построение графиков y=sin(x+m)+l y 1 - π 0 π 2 π 3 π x -1 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.

Функция y = cos x , её свойства и график. 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.

y = cos x у 1 - π/2 π 2 π 3 π х - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 График функции у= cos x получен при смещении синусоиды влево на π/2 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.

Построение графиков y = cos (x+m)+l 1)y =- cos x; y 2 y x 0 x -1 2)y= cos (x- π/4)+2 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.

Построение графиков y=k · sin x y 2,5 1 x -1 -2,5 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С.

Нахождение периода тригонометрических функций Если y=f(x) периодическая и имеет наименьший положительный период Т₁, то функция y=A· f(kx+b), где А, k и b постоянные, а k ≠ 0 , также периодична с периодом Примеры: 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С. 1) y=sin 6 x +2, Т₁=2 π T₁=2 π

Построение графиков периодических функций 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С. y x 1 1 y x 1 1 1)T= 4 2)T= 4 Дана функция у= f(x) . Построить её график, если известен период. y x 1 1 3)T= 3

Построить график функции: y=2cos(2x- π/3)-0,5 и найти область определения и область значений функции 10.11.2013 КОРПУСОВА Т.С. у х 1 -1 π - π 2 π -2 π T= π