Головна · Запор · Визначення сторони багатокутника. Види багатокутників» у рамках технології «Розвиток критичного мислення через читання та лист

Визначення сторони багатокутника. Види багатокутників» у рамках технології «Розвиток критичного мислення через читання та лист

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

  • Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

  • Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
  • Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
  • Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
  • Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

  • Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
  • У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Властивості багатокутників

Багатокутник - це геометрична фігура, що зазвичай визначається як замкнута ламана без самоперетинів (простий багатокутник (рис. 1а)), проте іноді самоперетину допускаються (тоді багатокутник не є простим).

Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, а відрізки – сторонами багатокутника. Вершини багатокутника називаються сусідніми, якщо є кінцями однієї з його сторін. Відрізки, які з'єднують несусідні вершини багатокутника, називаються діагоналями.

Кутом (або внутрішнім кутом) опуклого багатокутника при даній вершині називається кут, утворений його сторонами, що сходяться в цій вершині, при цьому кут вважається багатокутником. Зокрема кут може перевищувати 180°, якщо багатокутник невипуклий.

Зовнішнім кутом опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині. У випадку зовнішній кут це різниця між 180° і внутрішнім кутом. З кожної вершини -кутника при > 3 виходять - 3 діагоналі, тому загальна кількість діагоналей -кутника дорівнює.

Багатокутник із трьома вершинами називається трикутником, із чотирма - чотирикутником, із п'ятьма - п'ятикутником тощо.

Багатокутник з nвершинами називається n-косинцем.

Плоським багатокутником називається фігура, що складається з багатокутника та обмеженої ним кінцевої частини площі.

Багатокутник називають опуклим, якщо виконано одну з наступних (еквівалентних) умов:

  • 1. він лежить по одну сторону від будь-якої прямої, що з'єднує сусідні вершини. (Тобто продовження сторін багатокутника не перетинають інших його сторін);
  • 2. він є перетином (тобто загальною частиною) декількох напівплощин;
  • 3. будь-який відрізок з кінцями в точках, що належать багатокутнику, цілком належить йому.

Випуклий багатокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони рівні і всі кути рівні, наприклад, рівносторонній трикутник, квадрат і пентагон.

Опуклий багатокутник називається описаним біля кола, якщо всі його сторони торкаються деякого кола

Правильний багатокутник - це багатокутник, у якого всі кути та всі сторони рівні між собою.

Властивості багатокутників:

1 Кожна діагональ опуклого -кутника, де >3, розкладає його на два опуклі багатокутники.

2 Сума всіх кутів опуклого -кутника дорівнює.

Д-во: Теорему доведемо шляхом математичної індукції. При = 3 вона очевидна. Припустимо, що теорема правильна для -кутника, де <, і доведемо її для -кутника.

Нехай-даний багатокутник. Проведемо діагональ цього багатокутника. По теоремі 3 багатокутник розкладено на трикутник і опуклий -кутник (рис. 5). За припущенням індукції. З іншого боку, . Складаючи ці рівності та враховуючи, що (- внутрішній промінь кута ) і (- внутрішній промінь кута ), отримуємо.При отримуємо: .

3 Біля будь-якого правильного багатокутника можна описати коло, і до того ж лише одну.

Д-во: Нехай правильний багатокутник, а й – бісектриси кутів, та (рис. 150). Тому що, отже, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке О.Доведемо, що O = ОА 2 = Про =… = ОА п . Трикутник Прорівнобедрений, тому Про= Про. За другою ознакою рівності трикутників, отже, Про = Про. Аналогічно доводиться, що Про = Проі т.д. Таким чином, точка Прорівновіддалена від усіх вершин багатокутника, тому коло з центром Прорадіусу Проє описаною біля багатокутника.

Доведемо тепер, що описане коло лише одне. Розглянемо якісь три вершини багатокутника, наприклад, А 2 , . Оскільки через ці точки проходить лише одне коло, то біля багатокутника … не можна описати більш ніж одне коло.

  • 4 У будь-який правильний багатокутник можна вписати коло і лише одну.
  • 5 Окружність, вписана у правильний багатокутник, стосується сторін багатокутника в їх серединах.
  • 6 Центр кола, описаного біля правильного багатокутника, збігається з центром кола, вписаного в той самий багатокутник.
  • 7 Симетрія:

Кажуть, що фігура має симетрію (симетрична), якщо існує такий рух (не тотожний), що переводить цю фігуру в себе.

  • 7.1. Трикутник загального вигляду немає осей чи центрів симетрії, він несиметричний. Рівнобедрений (але не рівносторонній) трикутник має одну вісь симетрії: серединний перпендикуляр до основи.
  • 7.2. Рівносторонній трикутник має три осі симетрії (серединні перпендикуляри до сторін) та поворотну симетрію щодо центру з кутом повороту 120°.

7.3 Будь-який правильний n-кутник має n осей симетрії, всі вони проходять через його центр. Він також має поворотну симетрію щодо центру з кутом повороту.

При парному nодні осі симетрії проходять через протилежні вершини, інші – через середини протилежних сторін.

При непарному nкожна вісь проходить через вершину та середину протилежної сторони.

Центр правильного багатокутника з парним числом сторін є центром симетрії. У правильного багатокутника з непарною кількістю сторін центру симетрії немає.

8 Подібність:

При подобі і -кутник переходить в -кутник, напівплощина - напівплощина, тому опуклий n-кутник переходить у опуклий n-кутник.

Теорема: Якщо сторони і кути опуклих багатокутників і задовольняють рівності:

де - коефіцієнт подія

то ці багатокутники подібні.

  • 8.1 Відношення периметрів двох подібних багатокутників дорівнює коефіцієнту подібності.
  • 8.2. Відношення площ двох опуклих подібних багатокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

багатокутник трикутник периметр теорема

Тема: «Багатокутники. Види багатокутників»

9 клас

ШЛ №20

Вчитель: Харитонович Т.І.Ціль уроку: дослідження видів багатокутників.

Навчальне завдання:актуалізувати, розширити та узагальнити знання учнів про багатокутники; сформувати уявлення про “складові частини” багатокутника; провести дослідження кількості складових елементів правильних багатокутників (від трикутника до n – кутника);

Розвиваюча задача:розвивати вміння аналізувати, порівнювати, робити висновки, розвивати обчислювальні навички, усне та письмове математичне мовлення, пам'ять, а також самостійність у мисленні та навчальній діяльності, вміння працювати в парах та групах; розвивати дослідницьку та пізнавальну діяльність;

Виховне завдання:виховувати самостійність, активність, відповідальність за доручену справу, завзятість у досягненні поставленої мети.

Обладнання: інтерактивна дошка (презентація)

Хід уроку

Показ презентації: «Багатокутники»

"Природа говорить мовою математики, літери цієї мови... математичні постаті". Г.Галлілей

На початку уроку клас ділиться на робочі групи (у разі розподіл на3 групи)

1.Стадія виклику-

а) актуалізація знань учнів на тему;

б) пробудження інтересу до теми, що вивчається, мотивація кожного учня до навчальної діяльності.

Прийом: Гра “Чи вірите ви, що…”, організація роботи з текстом.

Форми роботи: фронтальна, групова.

"Чи вірите ви в те, що ...."

1. … слово "багатокутник" вказує на те, що у всіх фігур цього сімейства "багато кутів"?

2. … трикутник відноситься до великого сімейства багатокутників, що виділяються серед ножів різних геометричних фігур на площині?

3. … квадрат – це правильний восьмикутник (чотири сторони + чотири кути)?

Сьогодні на уроці йтиметься про багатокутники. Ми дізнаємося, що ця фігура обмежена замкненою ламаною, яка, у свою чергу, буває простою, замкнутою. Поговоримо про те, що багатокутники бувають плоскими, правильними, опуклими. Один із плоских багатокутників – трикутник, з яким ви давно і добре знайомі (можна продемонструвати учням плакати із зображенням багатокутників, ламаною, показати їх різні види, також можна скористатися і ТЗН).

2. Стадія осмислення

Ціль: отримання нової інформації, її осмислення, відбір.

Прийом: зигзаг.

Форми роботи: індивідуальна->парна->групова.

Кожному з групи видається текст на тему уроку, причому текст складено в такий спосіб, що він включає як інформацію вже відому учням, і інформацію абсолютно нову. Разом з текстом учні отримують питання, відповіді на які необхідно знайти в цьому тексті.

Багатокутники. Види багатокутників.

Хто не чув про загадковий Бермудський трикутник, у якому безвісти зникають кораблі та літаки? Адже знайомий нам з дитинства трикутник таїть у собі чимало цікавого та загадкового.

Крім вже відомих нам видів трикутників, що поділяються по сторонах (різносторонній, рівнобедрений, рівносторонній) і кутах (гострокутний, тупокутний, прямокутний) трикутник відноситься до великого сімейства багатокутників, що виділяються серед безлічі різних геометричних фігур на площині.

Слово "багатокутник" вказує на те, що у всіх фігур цього сімейства "багато кутів". Для характеристики фігури цього мало.

Ломаною А1А2 ... Аn називається фігура, яка складається з точок А1, А2, ... Аn і з'єднують їх відрізків А1А2, А2А3, .... Крапки називаються вершинами ламаною, а відрізки ланками ламаною. (РИС.1)

Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів (рис.2,3).

Ламана називається замкненою, якщо в неї кінці збігаються. Довжиною ламаної називається сума довжин її ланок (рис.4)

Проста замкнута ламана називається багатокутником, якщо її сусідні ланки не лежать на одній прямій (рис.5).

Підставте в слові багатокутник замість частини багато конкретне число, наприклад 3. Ви отримаєте трикутник. Або 5. Тоді – п'ятикутник. Зауважимо, що скільки кутів, стільки й сторін, тому ці фігури цілком можна було б назвати і багатосторонніми.

Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, а ланки ламаної – сторонами багатокутника.

Багатокутник розбиває площину на дві області: внутрішню та зовнішню (рис.6).

Плоським багатокутником або багатокутною областю називається кінцева частина площини обмежена багатокутником.

Дві вершини багатокутника, що є кінцями однієї сторони, називаються сусідніми. Вершини, які є кінцями однієї боку – несусідні.

Багатокутник з n вершинами, отже, і з n сторонами називається n-кутником.

Хоча найменша кількість сторін багатокутника – 3. Але трикутники, з'єднуючись один з одним, можуть утворювати інші фігури, які також є багатокутниками.

Відрізки, що з'єднують сусідні вершини багатокутника, називаються діагоналями.

Багатокутник називається опуклим, якщо він лежить в одній напівплощині щодо будь-якої прямої, що містить його бік. При цьому сама пряма вважається такою, що належить ПІВПЛОСКИ

Кутом опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, утворений його сторонами, що сходяться в цій вершині.

Доведемо теорему (про суму кутів опуклого n – косинця): Сума кутів опуклого n – косинця дорівнює 1800*(n - 2).

Доведення. Що стосується n=3 теорема справедлива. Нехай А1А2 ... А n - даний опуклий багатокутник і n>3. Проведемо у ньому (з однієї вершини) діагоналі. Так як багатокутник опуклий, ці діагоналі розбивають його на n – 2 трикутника. Сума кутів багатокутника збігається із сумою кутів усіх цих трикутників. Сума кутів кожного трикутника дорівнює 1800, а число цих трикутників n – 2. Тому сума кутів опуклого n – кутника А1А2…Аn дорівнює 1800* (n – 2). Теорему доведено.

Зовнішнім кутом опуклого багатокутника при цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині.

Випуклий багатокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони рівні та всі кути рівні.

Тож квадрат можна назвати по-іншому – правильним чотирикутником. Рівносторонні трикутники також є правильними. Такі постаті давно цікавили майстрів, які прикрашали будинки. З них виходили гарні візерунки, наприклад, на паркеті. Але не з усіх правильних багатокутників можна було скласти паркет. Із правильних восьмикутників паркет скласти не можна. Справа в тому, що у них кожен кут дорівнює 1350. І якщо якась точка є вершиною двох таких восьмикутників, то на їх частку доведеться 2700, і третьому восьмикутнику там поміститися ніде: 3600 - 2700 = 900. Але для квадрата цього достатньо. Тому можна скласти паркет із правильних восьмикутників та квадратів.

Правильними бувають і зірки. Наша п'ятикутна зірка – правильна п'ятикутна зірка. А якщо повернути квадрат навколо центру на 450, то вийде правильна восьмикутна зірка.

Що називається ламаною? Поясніть, що таке вершини та ланки ламаної.

Яка ламана називається простою?

Яка ламана називається замкненою?

Що називається багатокутником? Що називається вершинами багатокутника? Що називається сторонами багатокутника?

Який багатокутник називається плоским? Наведіть приклади багатокутників.

Що таке n – косинець?

Поясніть, які вершини багатокутника сусідні, а які ні.

Що таке діагональ багатокутника?

Який багатокутник називається опуклим?

Поясніть, які кути багатокутника зовнішні, а які внутрішні?

Який багатокутник називається правильним? Наведіть приклади правильних багатокутників.

Чому дорівнює сума кутів опуклого n-кутника? Доведіть.

Учні працюють з текстом, шукають відповіді на поставлені питання, після чого формуються експертні групи, робота в яких йде з одних і тих самих питань: учні виділяють головне, складають опорний конспект, подають інформацію однієї з графічних форм. Після закінчення роботи учні повертаються до своїх робочих груп.

3.Стадія рефлексії-

а) оцінка своїх знань, виклик до наступного кроку пізнання;

б) осмислення та присвоєння отриманої інформації.

Прийом: дослідження.

Форми роботи: індивідуальна->парна->групова.

У робочих групах виявляються фахівці з відповідей кожен із розділів запропонованих питань.

Повернувшись до робочої групи, експерт знайомить інших членів групи з відповідями на свої запитання. У групі відбувається обміну інформацією всіх учасників робочої групи. Таким чином, у кожній робочій групі, завдяки роботі експертів, складається загальне уявлення по темі, що вивчається.

Дослідницька робота учнів- Заповнення таблиці.

Правильні багатокутники Креслення Кількість сторін Кількість вершин Сума всіх внутр.кутів Градусна міра внутр. кута Градусна міра зовнішн.кута Кількість діагоналей

А)трикутник

Б) чотирикутник

В)п'ятиуГольник

Г) шестикутник

Д) n-кутник

Вирішення цікавих завдань на тему уроку.

1) Скільки сторін має правильний багатокутник, кожен із внутрішніх кутів якого дорівнює 1350?

2)У деякому багатокутнику всі внутрішні кути рівні між собою. Чи може сума внутрішніх кутів цього багатокутника дорівнювати: 3600, 3800?

3) Чи можна побудувати п'ятикутник із кутами 100,103,110,110,116 градусів?

Підбиття підсумків уроку.

Запис домашнього завдання: СТР66-72 №15,17 І ЗАВДАННЯ: у ЧОТИРИКУТНИКУ, ПРОВЕДІТЬ ПРЯМУ ТАК, ЩОБ ВОНА РОЗДІЛИЛА ЙОГО НА ТРИ ТРИКУТНИКИ.

Рефлексія у вигляді тестів (на інтерактивній дошці)

Види багатокутників:

Чотирикутники

Чотирикутникивідповідно складаються з 4-х сторін і кутів.

Сторони та кути, розташовані навпроти один одного, називаються протилежними.

Діагоналі ділять опуклі чотирикутники на трикутники (див. малюнку).

Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 ° (за формулою: (4-2) * 180 °).

Паралелограми

Паралелограм- це опуклий чотирикутник із протилежними паралельними сторонами (на рис. під номером 1).

Протилежні сторони та кути в паралелограмі завжди рівні.

А діагоналі в точці перетину діляться навпіл.

Трапеції

Трапеція- це теж чотирикутник, і в трапеціїпаралельні лише дві сторони, які називаються підставами. Інші сторони – це бічні сторони.

Трапеція на малюнку під номером 2 та 7.

Як і в трикутнику:

Якщо бічні сторони рівні, то трапеція - рівнобедрений;

Якщо один із кутів прямий, то трапеція - прямокутна.

Середня лінія трапеції дорівнює напівсумі основ і паралельна їм.

Ромб

Ромб- це паралелограм, у якого усі сторони рівні.

Крім властивостей паралелограма, ромби мають свою особливу властивість. діагоналі ромба перпендикулярніодин одному і ділять кути ромба навпіл.

На малюнку ромб за номером 5.

Прямокутники

Прямокутник- це паралелограм, у якого кожен кут прямий (див. рис. під номером 8).

Крім властивостей паралелограма, прямокутники мають свою особливу властивість. діагоналі прямокутника рівні.

Квадрати

Квадрат- Це прямокутник, у якого всі сторони рівні (№4).

Має властивості прямокутника і ромба (оскільки всі сторони рівні).

У курсі гео-метрії ми вивчаємо свої гео-метричні фігур і вже розглянули найпростіші з них: трикутники. і окружності. При цьому ми обговорювали і конкретні приватні випадки цих постатей, такі як прямокутні, рівнобедренні і правильні. трикутники. Тепер прийшов час поговорити про більш загальних і складних фі-гу-рах - багато-го-вугілля-ні-ках.

З приватним випадком багато-вугілля-никівми вже зна-ко-ми - це трикутник (див. рис. 1).

Мал. 1. Трикутник

У самому назві вже під-чер-ки-ва-є-ся, що це фі-гу-ра, у котрої-то три кути. Слі-до-ва-тель-но, в багато-вуго-ні-кеїх то, можливо багато, тобто. більше, ніж три. Наприклад, винахід п'ятикутник (див. мал. 2), тобто. фі-гу-ру з п'ятьма кутами.

Мал. 2. П'ятикутник. Ви-пук-лий багато-кутник

Визначення.Багато-кутник- фі-гу-ра, со-сто-я-ща з кількох точок (більше двох) і со-от-вет-ству-ю-ще-го ко-ли-че-ства від-рез- ків, які їх по-слiд-до-ва-тель-но со-єди-ня-ють. Ці точки на-зи-ва-ють-ся вер-ши-на-мибагато вугілля, а відрізання - сто-ро-на-ми. При цьому жодні дві суміжні сто-ро-ни не лежать на одній прямій і ніякі дві несмеж-ні сто-ро-ни не пе-ре-се-ка-ють-ся .

Визначення.Пра-вільний багато-кутник- це випуклий багато-кутник, у якого всі сторони і кути рівні.

Будь-який мно-го-кутникраз-де-ля-є плоскість на дві області: внут-рен-ню і зовніш-ню. Внут-рен-ню область також відно-сять до багато-го-вугілля-ні-ку.

Іншими словами, наприклад, коли говорять про п'ятикутнику, мають на увазі і всю його внутрішню область, і межі. цю. А до внут-рен-ней об-ла-сти від-но-сят-ся і всі крапки, котрі лежать внут-ри багато-го-уголь-ника, тобто. точка теж від-но-сит-ся до п'я-ти-кут-ника (див. Рис. 2).

Мно-го-вугілля-ні-ки ще інколи-на-зи-ва-ють n-вугілля-ні-ка-ми, щоб підкреслити, що роз-сма-ри-ва-є-ся загальний слу-чай на-лі-чія ка-ко-го-то невідом-но-го ко-лі-че-ства кутів (n штук).

Визначення. Пе-рі-метр багато-го-вугілля-ні-ка- Сума довжин сторін багато-вуго-ни-ка.

Тепер треба по-зна-ко-мити-ся з видами багато кутників. Вони поділяються на ви-пук-ліі неви-пук-лі. Наприклад, багато-кутник, винайдений на Рис. 2, яв-ля-є-ся ви-пук-лим, а на Мал. 3 невипуклим.

Мал. 3. Невипуклий багато-кутник

2. Випуклі та невипуклі багатокутники

Визначення 1. Багато-кутникна-зи-ва-є-ся ви-пук-лим, якщо при проведенні прямий через будь-яку з його сторін весь мно-го-кутниклежить тільки по одну сторону від цієї прямої. Неви-пук-ли-мияв-ля-ють-ся всі інші багато-го-вугілля-ні-ки.

Легко уявити, що при продовженні будь-якої сторони п'ятикутника на Рис. 2 він весь ока-жет-ся по одну сторону від цієї прямий, тобто. він випуклий. А ось при проведенні прямий через у чотири куті на Рис. 3 ми вже бачимо, що вона розділяє його на дві частини, тобто. він невипуклий.

Але сущ-ство-є і інше визна-де-лі-ня ви-пук-ло-сті багато-го-вуго-ні-ка.

Визначення 2. Багато-кутникна-зи-ва-є-ся ви-пук-лим, якщо при ви-бо-ре будь-яких двох його внут-рен-них точок і при з-е-не-ні їх від-різ-ком всі точки від-різ-ка яв-ля-ють-ся також внут-рен -Ні-ми точ-ка-ми багато-го-кут-ні-ка.

Де-мон-стра-цію використання цього визначення можна побачити на прикладі побудови відрізків на Рис. 2 та 3.

Визначення. Діа-го-на-льюбагато-го-вуго-ни-ка на-зи-ва-є-ся будь-який від-різок, з'єд-ня-ю-ючий дві не со-сед-ня його вер-ши-ни.

3. Теорема про суму внутрішніх кутів опуклого n-кутника

Для опису властивостей багатьох кутників існують дві найважливіші теорії про їх кутах: тео-ре-ма про суму внут-рен-них кутів ви-пук-ло-го багато-го-вуго-ни-каі тео-ре-ма про суму зовнішніх кутів ви-пук-ло-го багато-го-вуг-ні-ка. Розглянь-рим їх.

Теорема. Про суму внут-рен-них кутів ви-пук-ло-го багато-го-уголь-ни-ка (n-вугілля-ні-ка).

Де - кількість його кутів (сторон).

До-ка-за-тель-ство 1. Изоб-ра-зим на Рис. 4 випуклий n-кутник.

Мал. 4. Випуклий n-кутник

З вер-ши-ни про-ведемо всі можливі діа-го-на-лі. Вони ділять n-кутник на трикутник, т.к. каж-дая зі сторін багато-го-уголь-ни-ка об-разу-ет трикутник, крім сторін, при-ле-жа-щих до вершини. Легко бачити по малюнку, що сума кутів усіх цих трикутників якраз буде дорівнювати сумі внутрішніх кутів n-кутника. Оскільки сума кутів лю-бо-го трикутника - , то сума внут-рен-них кутів n-кут-ника:

До-ка-за-тель-ство 2. Можливо і інше до-ка-за-тель-ство цієї теореми. Із-ра-зим ана-логічний n-кутник на Рис. 5 і з'єди-ним будь-яку його внутрішню точку з усіма вер-ши-на-ми.

Ми по-лу-чи-ли роз-бі-ня-ня n-вугілля-ні-ка на n трикут-ні-ків (скільки сто-рон, стільки й трикут-ні-ків ). Сума всіх їх кутів дорівнює сумі внутрішніх кутів багатокутника і сумі кутів при внутрішній точці, а це кут . Маємо:

Що й потрібно було довести.

До-ка-за-але.

По до-ка-зан-ної тео-ре-мі видно, що сума кутів n-вугілля-ні-ка за-ві-сит від ко-лі-че-ства його сторін (від n). Наприклад, в трикутнику, а сума кутів. У че-ти-рех-вуг-ні-ці, а сума кутів - і т.д.

4. Теорема про суму зовнішніх кутів опуклого n-кутника

Теорема. Про суму зовнішніх кутів ви-пук-ло-го багато-го-вуго-ні-ка (n-вугілля-ні-ка).

Де - ко-лі-че-ство його кутів (сторон), а , ..., - зовнішні кути.

Доведення. Изоб-ра-зим випукл-лий n-кутник на Рис. 6 і позна-чим його внут-рен-ня і зовнішні кути.

Мал. 6. Ви-пук-лий n-кутник з обо-зна-чен-ни-ми зовні-ні-ми кут-ла-ми

Т.к. зовнішній кут пов'язаний з внутрішнім як суміжні, то і ана-ло-гіч-но для залишкових зовнішніх кутів. Тоді:

У ході пре-об-ра-зо-ва-ний ми вос-поль-зо-ва-лися вже до-ка-зан-ної тео-ре-мою про суму внут-рен-них кутів n-вугілля-ні- ка.

До-ка-за-але.

З до-ка-зан-ної тео-ре-ми слід-ду-є ин-те-рес-ний факт, що сума зовнішніх кутів ви-пук-ло-го n-вуг-ні-ка дорівнює від ко-лі-че-ства його кутів (сторон). Кста-ти, на відміну від суми внут-рен-них кутів.

Далі ми більш детально будемо працювати з приватним випадком багато-кут-ників - че-ти-рех-вугілля-ні-ками. На наступному уроці ми по-зна-ко-мим-ся з такою фі-гу-рою, як пара-ле-ло-ло-грам, і об-судим його влас-ства.

ДЖЕРЕЛО

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144