Як вирішувати логарифми з однаковими основами прикладів. Вирішення найпростіших логарифмічних рівнянь. Область визначення, безліч значень, зростання, спадання

Що таке логарифм?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке логарифм? Як вирішувати логарифми? Ці питання багатьох випускників вводять у ступор. Традиційно тема логарифмів вважається складною, незрозумілою та страшною. Особливо – рівняння з логарифмами.

Це зовсім не так. Абсолютно! Не вірите? Добре. Зараз, за ​​якісь 10 – 20 хвилин ви:

1. Зрозумієте, що таке логарифм.

2. Навчіться розв'язувати цілий клас показових рівнянь. Навіть якщо про них нічого не чули.

3. Навчіться обчислювати прості логарифми.

Причому для цього вам потрібно буде знати лише таблицю множення, та як зводиться число до ступеня...

Відчуваю, сумніваєтеся ви... Ну гаразд, засікайте час! Поїхали!

Для початку вирішіть в умі ось таке рівняння:

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Логарифмічним рівняннямназивається рівняння, в якому невідоме (х) та вирази з ним знаходяться під знаком логарифмічної функції. Рішення логарифмічних рівнянь має на увазі, що ви вже знайомі з і .
Як розв'язувати логарифмічні рівняння?

Найпростіше рівняння має вигляд log a x = b, де a і b деякі числа, x - невідоме.
Рішенням логарифмічного рівнянняє x = a b за умови: a> 0, a 1.

Слід зазначити, що якщо х буде десь поза логарифмом, наприклад log 2 х = х-2, то таке рівняння вже називається змішаним і для його вирішення потрібен особливий підхід.

Ідеальним випадком є ​​ситуація, коли Вам трапиться рівняння, в якому під знаком логарифму знаходяться лише числа, наприклад, х+2 = log 2 2. Тут достатньо знати властивості логарифмів для його вирішення. Але такий успіх трапляється не часто, тому приготуйтеся до складніших речей.

Але спочатку, таки, почнемо з простих рівнянь. Для їх вирішення бажано мати найзагальніше уявлення про логарифм.

Вирішення найпростіших логарифмічних рівнянь

До таких відносяться рівняння типу log 2 х = log 2 16. Неозброєним оком видно, що, опустивши знак логарифму, отримаємо х = 16.

Для того, щоб вирішити більш складне логарифмічний рівняння, його зазвичай призводять до вирішення звичайного рівня алгебри або до вирішення найпростішого логарифмічного рівняння log a x = b. У найпростіших рівняннях це відбувається в один рух, тому вони і звуться найпростішими.

Вищевикористаний метод опускання логарифмів одна із основних способів розв'язання логарифмічних рівнянь і нерівностей. У математиці ця операція зветься потенціювання. Існують певні правила або обмеження для таких операцій:

• однакові числові підстави у логарифмів
• логарифми обох частинах рівняння перебувають вільно, тобто. без будь-яких коефіцієнтів та інших різного роду виразів.

Скажімо в рівнянні log 2 х = 2log 2 (1-х) потенціювання не застосовується - коефіцієнт 2 справа не дозволяє. У наступному прикладі log 2 x + log 2 (1 - х) = log 2 (1 + х) також не виконується одне з обмежень - зліва логарифму два. От був би один – зовсім інша річ!

Втім, прибирати логарифми можна тільки за умови, що рівняння має вигляд:

log a (...) = log a (...)

У дужках можуть бути абсолютно будь-які висловлювання, на операцію потенціювання це ніяк не впливає. І вже після ліквідації логарифмів залишиться простіше рівняння – лінійне, квадратне, показове тощо, яке Ви вже, сподіваюся, вмієте вирішувати.

Візьмемо інший приклад:

log 3 (2х-5) = log 3х

Застосовуємо потенціювання, отримуємо:

log 3 (2х-1) = 2

Виходячи з визначення логарифму, а саме, що логарифм - це число, в яке треба звести основу, щоб отримати вираз, що знаходиться під знаком логарифму, тобто. (4х-1), отримуємо:

Знову отримали гарну відповідь. Тут ми обійшлися без ліквідації логарифмів, але потенціювання можна застосувати і тут, тому що логарифм можна зробити з будь-якої кількості, причому саме такої, яку нам треба. Цей спосіб дуже допомагає при вирішенні логарифмічних рівнянь і особливо нерівностей.

Розв'яжемо наше логарифмічне рівняння log 3 (2х-1) = 2 за допомогою потенціювання:

Уявімо число 2 у вигляді логарифму, наприклад, такого log 3 9, адже 3 2 =9.

Тоді log 3 (2х-1) = log 39 і знову отримуємо все те ж рівняння 2х-1 = 9. Сподіваюся, все зрозуміло.

Ось ми й розглянули як вирішувати найпростіші логарифмічні рівняння, які насправді є дуже важливими, адже розв'язання логарифмічних рівнянь, навіть найстрашніших і закручених, у результаті завжди зводиться до вирішення найпростіших рівнянь.

У всьому, що ми робили вище, ми не брали до уваги один дуже важливий момент, який надалі матиме вирішальну роль. Річ у тім, що рішення будь-якого логарифмічного рівняння, навіть елементарного, складається з двох рівноцінних частин. Перша – це саме рішення рівняння, друга – робота з областю допустимих значень (ОДЗ). Ось саме першу частину ми й освоїли. У наведених вище прикладах ОДЗ на відповідь ніяк не впливає, тому ми її і не розглядали.

А ось візьмемо інший приклад:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Зовні це рівняння нічим не відрізняється від елементарного, яке успішно вирішується. Але це зовсім так. Ні, ми звичайно ж його вирішимо, але швидше за все неправильно, тому що в ньому криється невелика засідка, в яку відразу трапляються і трієчники, і відмінники. Давайте розглянемо його ближче.

Допустимо необхідно знайти корінь рівняння або суму коренів, якщо їх декілька:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Застосовуємо потенціювання, тут воно допустиме. У результаті отримуємо стандартне квадратне рівняння.

Знаходимо коріння рівняння:

Вийшло два корені.

Відповідь: 3 та -1

З першого погляду все вірно. Але перевіримо результат і підставимо його у вихідне рівняння.

Почнемо з х 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Перевірка пройшла успішно, тепер черга х 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Так стоп! Зовні все ідеально. Один момент – логарифмів від негативних чисел не буває! А це означає, що корінь х = –1 не підходить для вирішення нашого рівняння. І тому правильна відповідь буде 3, а не 2, як ми написали.

Ось тут і зіграла свою фатальну роль ОДЗ, про яку ми забули.

Нагадаю, що під областю допустимих значень приймаються такі значення х, які є дозволеними або мають сенс для вихідного прикладу.

Без ОДЗ будь-яке рішення, навіть абсолютно правильне, будь-якого рівняння перетворюється на лотерею – 50/50.

Як же ми змогли потрапити під час вирішення, здавалося б, елементарного прикладу? А ось саме у момент потенціювання. Логарифми зникли, а з ними і всі обмеження.

Що ж тоді робити? Відмовлятися від ліквідації логарифмів? І геть-чисто відмовитися від вирішення цього рівняння?

Ні, ми просто, як справжні герої з однієї відомої пісні, ходімо в обхід!

Перед тим, як приступати до вирішення будь-якого логарифмічного рівняння, будемо записувати ОДЗ. А ось після цього можна робити з нашим рівнянням все, що душа забажає. Отримавши відповідь, ми просто викидаємо те коріння, яке не входить до нашої ОДЗ, і записуємо остаточний варіант.

Тепер визначимося, як записувати ОДЗ. Для цього уважно оглядаємо вихідне рівняння та шукаємо в ньому підозрілі місця, на кшталт поділу на х, кореня парного ступеня тощо. Поки ми не вирішили рівняння, ми не знаємо - чому одно х, але твердо знаємо, що такі х, які при підстановці дадуть поділ на 0 або вилучення квадратного кореня з негативного числа, не відповідають у відповідь. Тому такі х неприйнятні, решта ж і становитимуть ОДЗ.

Скористаємося знову тим самим рівнянням:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Як бачимо, поділу на 0 немає, квадратного коріння також немає, але є вирази з х у тілі логарифму. Тут же згадуємо, що вираз, що знаходиться всередині логарифму, завжди має бути >0. Це умова і записуємо у вигляді ОДЗ:

Тобто. ми ще нічого не вирішували, але вже записали обов'язкову умову на весь підлогарифмний вираз. Фігурна дужка означає, що ці умови мають виконуватися одночасно.

ОДЗ записано, але треба ще й вирішити отриману систему нерівностей, чим і займемося. Отримуємо відповідь x > v3. Тепер точно відомо – які їх нам не підійдуть. А далі вже приступаємо до вирішення самого логарифмічного рівняння, що ми зробили вище.

Отримавши відповіді х 1 = 3 і х 2 = -1, легко побачити, що підходить лише х1= 3, його й записуємо, як остаточну відповідь.

На майбутнє дуже важливо запам'ятати наступне: розв'язання будь-якого логарифмічного рівняння робимо у 2 етапи. Перший вирішуємо саме рівняння, другий вирішуємо умову ОДЗ. Обидва етапи виконуються незалежно друг від друга і тільки під час написання відповіді зіставляються, тобто. відкидаємо все зайве та записуємо правильну відповідь.

Для закріплення матеріалу рекомендуємо подивитися відео:

На відео інші приклади вирішення балки. рівнянь та відпрацювання методу інтервалів на практиці.

На це з питання, як вирішувати логарифмічні рівняння, поки все. Якщо щось за рішенням балка. рівнянь залишилося не ясним чи незрозумілим, пишіть свої запитання у коментарях.

Нотатка: Академія соціальної освіти (КСЮІ) - готова прийняти нових учнів.

Останні відео з довгої серії уроків для вирішення логарифмічних рівнянь. Цього разу ми працюватимемо насамперед із ОДЗ логарифму — саме через неправильний облік (або взагалі ігнорування) області визначення виникає більшість помилок при вирішенні подібних завдань.

У цьому короткому відеоуроці ми розберемо застосування формул додавання та віднімання логарифмів, а також розберемося з дрібно-раціональними рівняннями, з якими у багатьох учнів також виникають проблеми.

Про що йтиметься? Головна формула, з якою я хотів би розібратися, виглядає так:

log a (f g ) = log a f + log a g

Це стандартний перехід від добутку до суми логарифмів і назад. Ви напевно знаєте цю формулу від початку вивчення логарифмів. Однак тут є одна затримка.

До тих пір, поки у вигляді змінних a, f і g виступають звичайні числа, жодних проблем не виникає. Ця формула працює чудово.

Проте, як замість f і g з'являються функції, виникає проблема розширення або звуження області визначення в залежності від того, в яку сторону перетворювати. Судіть самі: у логарифмі, записаному зліва, область визначення така:

fg > 0

А ось у сумі, записаній праворуч, область визначення вже дещо інша:

f > 0

g > 0

Даний набір вимог є жорсткішим, ніж вихідний. У першому випадку нас влаштує варіант f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 виконується).

Отже, під час переходу від лівої конструкції до правої виникає звуження області визначення. Якщо ж спочатку ми мали суму, а ми переписуємо її у вигляді твору, то відбувається розширення області визначення.

Іншими словами, у першому випадку ми могли втратити коріння, а в другому отримати зайві. Це необхідно враховувати під час вирішення реальних логарифмічних рівнянь.

Отже, перше завдання:

Зліва ми бачимо суму логарифмів з тієї ж підставі. Отже, ці логарифми можна скласти:

Як бачите, праворуч ми замінив нуль за формулою:

a = log b b a

Давайте ще трохи перетворимо наше рівняння:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння ми можемо закреслити знак log і прирівняти аргументи:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Зверніть увагу: звідки взявся модуль? Нагадаю, що корінь із точного квадрата дорівнює саме модулю:

Потім розв'язуємо класичне рівняння з модулем:

|f | = g (g > 0) ⇒ f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Ось два кандидати на відповідь. Чи є вони вирішенням вихідного логарифмічного рівняння? Ні, ні в якому випадку!

Залишити все просто так і записати відповідь ми не маємо права. Подивіться той крок, коли ми замінюємо суму логарифмів одним логарифмом від добутку аргументів. Проблема в тому, що у вихідних висловлюваннях у нас стоять функції. Отже, слід вимагати:

х(х − 5) > 0; (х − 5)/х > 0.

Коли ми перетворили твір, отримавши точний квадрат, вимоги змінилися:

(x − 5) 2 > 0

Коли ця вимога виконується? Так практично завжди! За винятком того випадку, коли х − 5 = 0. Тобто. нерівність зведеться до однієї виколотий точці:

х − 5 ≠ 0 ⇒ х ≠ 5

Як бачимо, відбулося розширення області визначення, про що ми й говорили на початку уроку. Отже, може виникнути і зайве коріння.

Як же не допустити виникнення цього зайвого коріння? Дуже просто: дивимося на наше отримане коріння і порівнюємо його з областю визначення вихідного рівняння. Давайте порахуємо:

х (х − 5) > 0

Вирішуватимемо за допомогою методу інтервалів:

х (х − 5) = 0 ⇒ х = 0; х = 5

Зазначаємо отримані числа на прямій. Всі точки виколоті, тому що нерівність сувора. Беремо будь-яке число, більше 5 і підставляємо:

На цікаві проміжки (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Якщо ми відзначимо наше коріння на відрізку, то побачимо, що х = 4 нас не влаштовує, тому що це коріння лежить за межами області визначення вихідного логарифмічного рівняння.

Повертаємося до сукупності, викреслюємо корінь х = 4 та записуємо відповідь: х = 6. Це вже остаточна відповідь до вихідного логарифмічного рівняння. Все, завдання вирішено.

Переходимо до другого логарифмічного рівняння:

Вирішуємо його. Зауважимо, що перший доданок є дріб, а другий — той самий дріб, але перевернутий. Не лякайтеся виразу lgx - це просто десятковий логарифм, ми можемо записати:

lgx = log 10 x

Оскільки перед нами два перевернуті дроби, пропоную ввести нову змінну:

Отже, наше рівняння може бути переписано таким чином:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Як бачимо, у чисельнику дробу стоїть точний квадрат. Дроб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Вирішуємо перше рівняння:

t − 1 = 0;

t = 1.

Це значення задовольняє другу вимогу. Отже, можна стверджувати, що ми повністю вирішили наше рівняння, але щодо змінної t . А тепер згадуємо, що таке t:

Отримали пропорцію:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx − lgx = −1

lgx = −1

Наводимо це рівняння до канонічної форми:

lgx = lg 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

У результаті ми отримали єдине коріння, яке, за ідеєю, є рішенням вихідного рівняння. Однак давайте таки підстрахуємося і випишемо область визначення вихідного рівняння:

Отже, наш корінь відповідає всім вимогам. Ми виявили рішення вихідного логарифмічного рівняння. Відповідь: x = 0,1. Завдання вирішено.

Ключовий момент у сьогоднішньому уроці один: з використанням формули переходу від твору до суми і навпаки обов'язково враховуйте, що область визначення може звужуватися чи розширюватися залежно від цього, у який бік виконується перехід.

Як зрозуміти, що відбувається: звуження чи розширення? Дуже просто. Якщо раніше функції були разом, а тепер стали окремо, то сталося звуження області визначення (бо вимог стало більше). Якщо спочатку функції стояли окремо, тепер — разом, відбувається розширення області визначення (на твір накладається менше вимог, ніж окремі множники).

З урахуванням цього зауваження хотів би зазначити, що друге логарифмічне рівняння взагалі не вимагає даних перетворень, тобто ми ніде не складаємо і не перемножуємо аргументи. Однак тут я хотів би звернути вашу увагу на інший чудовий прийом, який дозволяє суттєво спростити рішення. Йдеться про заміну змінної.

Однак пам'ятайте, що жодні заміни не звільняють нас від області визначення. Саме тому після того було знайдено все коріння, ми не полінувалися і повернулися до вихідного рівняння, щоб знайти його ОДЗ.

Часто при заміні змінної виникає образлива помилка, коли учні знаходять значення t і гадають, що на цьому рішення закінчено. Ні, ні в якому випадку!

Коли ви знайшли значення t, необхідно повернутися до початкового рівняння і подивитися, що саме ми означали цією літерою. В результаті нам належить вирішити ще одне рівняння, яке, втім, буде значно простіше за вихідне.

Саме в цьому полягає сенс запровадження нової змінної. Ми розбиваємо вихідне рівняння на два проміжні, кожне з яких вирішується суттєво простіше.

Як вирішувати «вкладені» логарифмічні рівняння

Сьогодні ми продовжуємо вивчати логарифмічні рівняння та розберемо конструкції, коли один логарифм стоїть під знаком іншого логарифму. Обидва рівняння ми вирішуватимемо за допомогою канонічної форми.

Сьогодні ми продовжуємо вивчати логарифмічні рівняння та розберемо конструкції, коли один логарифм стоїть під знаком іншого. Обидва рівняння ми вирішуватимемо за допомогою канонічної форми. Нагадаю, якщо у нас є найпростіше логарифмічне рівняння виду log a f (x) = b, то для вирішення такого рівняння ми виконуємо такі кроки. Насамперед, нам потрібно замінити число b :

b = log a a b

Зауважте: a b це аргумент. Так само у вихідному рівнянні аргументом є функція f(x). Потім ми переписуємо рівняння і отримуємо таку конструкцію:

log a f(x) = log a a b

Вже потім ми можемо виконати третій крок — позбудеться знаку логарифму і просто записати:

f(x) = a b

В результаті ми отримаємо нове рівняння. При цьому жодних обмежень на функцію f(x) не накладається. Наприклад, на її місці може стояти логарифмічна функція. І тоді ми знову отримаємо логарифмічне рівняння, яке зведемо знову до найпростішого і вирішимо через канонічну форму.

Втім, вистачить лірики. Давайте вирішимо справжнє завдання. Отже, завдання № 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x) = 2

Як бачимо, перед нами найпростіше логарифмічне рівняння. У ролі f (x ) виступає конструкція 1 + 3 log 2 x , а ролі числа b виступає число 2 (у ролі a також виступає двійка). Давайте перепишемо цю двійку так:

Важливо розуміти, що перші дві двійки прийшли до нас з основи логарифму, тобто якби у вихідному рівнянні стояла 5, то ми отримали б, що 2 = log 5 5 2 . Загалом, основа залежить виключно від логарифму, який спочатку дано у завданні. І у нашому випадку це число 2.

Отже, переписуємо наше логарифмічне рівняння з урахуванням того, що двійка, яка стоїть праворуч, насправді є логарифмом. Отримаємо:

log 2 (1 + 3 log 2 x) = log 2 4

Переходимо до останнього кроку нашої схеми — позбавляємося канонічної форми. Можна сказати, просто закреслюємо знаки log. Проте з погляду математики «закреслити log» неможливо — правильніше сказати, що ми просто прирівнюємо аргументи:

1 + 3 log 2 x = 4

Звідси легко знаходиться 3 log 2 x :

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Ми знову отримали найпростіше логарифмічне рівняння, знову приведемо його до канонічної форми. Для цього нам необхідно провести такі зміни:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Чому в основі саме двійка? Тому що в нашому канонічному рівнянні зліва стоїть логарифм саме на підставі 2. Переписуємо завдання з урахуванням цього факту:

log 2 x = log 2 2

Знову позбавляємося знаку логарифму, тобто просто прирівнюємо аргументи. Ми маємо право це зробити, тому що підстави однакові, і більше жодних додаткових дій ні праворуч, ні ліворуч не виконувалося:

От і все! Завдання вирішено. Ми знайшли розв'язання логарифмічного рівняння.

Зверніть увагу! Хоча змінна х і стоїть у аргументі (тобто виникають вимоги до області визначення), ми жодних додаткових вимог пред'являти не будемо.

Як я вже говорив вище, ця перевірка є надмірною, якщо змінна зустрічається лише в одному аргументі лише одного логарифму. У нашому випадку х справді стоїть лише в аргументі і лише під одним знаком log. Отже, жодних додаткових перевірок виконувати не потрібно.

Проте, якщо ви не довіряєте цьому методу, то легко можете переконатися, що х = 2 дійсно є коренем. Достатньо підставити це число у вихідне рівняння.

Давайте перейдемо до другого рівняння, воно трохи цікавіше:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Якщо позначити вираз усередині великого логарифму функцією f(x), отримаємо найпростіше логарифмічне рівняння, з якого ми розпочинали сьогоднішній відеоурок. Отже, можна застосувати канонічну форму, навіщо доведеться уявити одиницю як log 2 2 1 = log 2 2.

Переписуємо наше велике рівняння:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Викидаємося від знака логарифму, прирівнюючи аргументи. Ми маємо право це зробити, тому що і ліворуч, і праворуч підстави однакові. Крім того, зауважимо, що log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Перед нами знову найпростіше логарифмічне рівняння виду log a f(x) = b. Переходимо до канонічної форми, тобто представляємо нуль як log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Переписуємо наше рівняння та позбавляємося знаку log, прирівнюючи аргументи:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Знову ж таки ми відразу отримали відповідь. Жодних додаткових перевірок не потрібно, тому що у вихідному рівнянні лише один логарифм містить функцію аргументу.

Отже, жодних додаткових перевірок виконувати не потрібно. Ми можемо сміливо стверджувати, що х = 1 є єдиним коренем цього рівняння.

А от якби в другому логарифмі замість четвірки стояла б якась функція від х (або 2х стояло б не в аргументі, а в підставі) — тоді потрібно було б перевіряти область визначення. Інакше великий шанс нарватися на зайве коріння.

Звідки виникає таке зайве коріння? Цей момент треба чітко розуміти. Погляньте на вихідні рівняння: скрізь функція x стоїть під знаком логарифму. Отже, оскільки ми записали log 2 x , то автоматично виставляємо вимогу х > 0. Інакше цей запис просто не має сенсу.

Однак у міру вирішення логарифмічного рівняння ми позбавляємося всіх знаків log і отримуємо прості конструкції. Тут уже жодних обмежень не виставляється, тому що лінійна функція визначена за будь-якого значення х.

Саме ця проблема, коли підсумкова функція визначена скрізь і завжди, а вихідна — аж ніяк не скрізь і не завжди, і є причиною, через яку у вирішенні логарифмічних рівнянь дуже часто виникає зайве коріння.

Але повторю ще раз: таке відбуватися лише в ситуації, коли функція стоїть або в кількох логарифмах, або на підставі одного з них. У тих завданнях, які ми розглядаємо сьогодні, проблем із розширенням сфери визначення в принципі не існує.

Випадки різної основи

Цей урок присвячений вже складнішим конструкціям. Логарифми в сьогоднішніх рівняннях вже не вирішуватимуться «напролом» — спочатку потрібно буде виконати деякі перетворення.

Починаємо розв'язання логарифмічних рівнянь із зовсім різними підставами, які не є точними ступенями один одного. Нехай вас не лякають подібні завдання - вирішуються вони нітрохи не складніше, ніж найпростіші конструкції, які ми розбирали вище.

Але перш ніж переходити безпосередньо до завдань, нагадаю про формулу розв'язання найпростіших логарифмічних рівнянь за допомогою канонічної форми. Розглянемо завдання такого вигляду:

log a f(x) = b

Важливо, що функція f (x ) є саме функцією, а ролі чисел а і b повинні виступати саме числа (без будь-яких змінних x ). Зрозуміло, буквально за хвилину ми розглянемо й такі випадки, коли замість змінних а та b стоять функції, але зараз не про це.

Як ми пам'ятаємо, число b потрібно замінити логарифмом на тій самій підставі а, яка стоїть зліва. Це робиться дуже просто:

b = log a a b

Зрозуміло, під словом «будь-яке число b» і «будь-яке число а» маються на увазі такі значення, які задовольняють області визначення. Зокрема, у цьому рівнянні йдеться лише основа a > 0 і a ≠ 1.

Однак ця вимога виконується автоматично, тому що у вихідному завданні вже присутній логарифм на підставі а - воно свідомо буде більше 0 і не дорівнює 1. Тому продовжуємо вирішення логарифмічного рівняння:

log a f(x) = log a a b

Подібний запис називається канонічною формою. Її зручність полягає в тому, що ми відразу можемо позбутися знаку log, прирівнявши аргументи:

f(x) = a b

Саме цей прийом ми зараз використовуватимемо для вирішення логарифмічних рівнянь зі змінною основою. Тож поїхали!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Що далі? Хтось зараз скаже, що потрібно обчислити правий логарифм, або звести їх до однієї основи, або ще щось. Зараз потрібно привести обидві підстави до одного виду — або 2, або 0,5. Але давайте раз і назавжди засвоїмо наступне правило:

Якщо в логарифмічному рівнянні є десяткові дроби, обов'язково переведіть ці дроби з десяткового запису до звичайного. Таке перетворення може значно спростити рішення.

Подібний перехід потрібно виконувати відразу, ще до виконання будь-яких дій та перетворень. Давайте подивимося:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Що нам дає такий запис? Ми можемо 1/2 та 1/8 представити як ступінь з негативним показником:

Перед нами канонічна форма. Прирівнюємо аргументи та отримуємо класичне квадратне рівняння:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Перед нами наведене квадратне рівняння, яке легко вирішується за допомогою формул Вієта. Подібні викладки у старших класах ви повинні бачити буквально усно:

(х + 3) (х + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

От і все! Вихідне логарифмічне рівняння вирішено. Ми отримали два корені.

Нагадаю, що визначати область визначення в цьому випадку не потрібно, оскільки функція зі змінною х присутня лише в одному аргументі. Тому область визначення виконується автоматично.

Отже, перше рівняння вирішено. Переходимо до другого:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

А тепер зауважимо, що аргумент першого логарифму також можна записати у вигляді ступеня з негативним показником: 1/2 = 2 −1 . Потім можна винести ступеня з обох сторін рівняння та розділити все на −1:

І ось зараз ми виконали дуже важливий крок у вирішенні логарифмічного рівняння. Можливо, хтось щось не помітив, тож давайте я поясню.

Погляньте на наше рівняння: і ліворуч, і праворуч стоїть знак log, але ліворуч стоїть логарифм з основи 2, а праворуч стоїть логарифм з основи 3. Трійка не є цілим ступенем двійки і, навпаки: не можна записати, що 2 — це 3 в цілому ступеня.

Отже, це логарифми з різними підставами, які зводяться друг до друга простим винесенням ступенів. Єдиний шлях вирішення таких завдань — позбавитися одного з цих логарифмів. У даному випадку, оскільки ми поки що розглядаємо досить прості завдання, логарифм праворуч просто порахувався, і ми отримали найпростіше рівняння — саме таке, про яке ми говорили на початку сьогоднішнього уроку.

Давайте представимо число 2, яке стоїть праворуч у вигляді log 2 2 2 = log 2 4. А потім позбавимося знака логарифму, після чого у нас залишається просто квадратне рівняння:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Перед нами звичайне квадратне рівняння, проте воно не наведене, тому що коефіцієнт при x 2 відмінний від одиниці. Отже, вирішувати ми його за допомогою дискримінанта:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

От і все! Ми знайшли обидва корені, а отже отримали рішення вихідного логарифмічного рівняння. Адже у вихідному завданні функція зі змінною х присутня лише в одному аргументі. Отже, жодних додаткових перевірок на область визначення не потрібно — обидва корені, які ми знайшли, свідомо відповідають усім можливим обмеженням.

На цьому можна було б закінчити сьогоднішній відеоурок, але на завершення я хотів би сказати ще раз: обов'язково переводьте всі десяткові дроби у звичайні при вирішенні логарифмічних рівнянь. Найчастіше це значно полегшує їх вирішення.

Рідко, дуже рідко трапляються завдання, у яких звільнення від десяткових дробів лише ускладнює викладки. Однак у таких рівняннях, як правило, спочатку видно, що позбавлятися десяткових дробів не треба.

У більшості інших випадків (особливо якщо ви тільки починаєте тренуватися у вирішенні логарифмічних рівнянь) сміливо позбавляйтеся десяткових дробів і переводите їх у звичайні. Тому що практика показує, що таким чином ви значно спростите подальше рішення та викладення.

Тонкощі та хитрощі рішення

Сьогодні ми переходимо до складніших завдань і вирішуватимемо логарифмічне рівняння, в основі якого стоїть не число, а функція.

І нехай навіть ця функція лінійна — до схеми рішення доведеться внести невеликі зміни, зміст яких зводиться до додаткових вимог, що накладаються на область визначення логарифму.

Складні завдання

Цей урок буде досить довгим. У ньому ми розберемо два досить серйозні логарифмічні рівняння, при вирішенні яких багато учнів припускаються помилок. За свою практику роботи репетитором з математики я постійно стикався з двома видами помилок:

1. Виникнення зайвого коріння через розширення області визначення логарифмів. Щоб не допускати таких образливих помилок, просто уважно слідкуйте за кожним перетворенням;
2. Втрата коріння через те, що учень забув розглянути деякі «тонкі» випадки — саме на таких ситуаціях ми сьогодні й зосередимося.

Це останній урок, присвячений логарифмічним рівнянням. Він буде довгим, ми розберемо складні логарифмічні рівняння. Влаштовуйтесь зручніше, заваріть собі чай, і ми починаємо.

Перше рівняння виглядає цілком стандартно:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Відразу зауважимо, що обидва логарифми є перевернутими копіями один одного. Згадуємо чудову формулу:

log a b = 1/log b a

Однак ця формула має ряд обмежень, які виникають у тому випадку, якщо замість чисел а і b стоять функції від змінної х:

b > 0

1 ≠ a > 0

Ці вимоги накладаються на основу логарифму. З іншого боку, дроби від нас вимагається 1 ≠ a > 0, оскільки не тільки змінна a стоїть в аргументі логарифму (отже, a > 0), а й сам логарифм знаходиться в знаменнику дробу. Але log b 1 = 0, а знаменник має бути відмінним від нуля, тому a ≠ 1.

Отже, обмеження змінну a зберігається. Але що відбувається зі змінною b? З одного боку, з основи випливає b > 0, з іншого — змінна b ≠ 1, тому що основа логарифму має бути відмінною від 1. Разом із правої частини формули випливає, що 1 ≠ b > 0.

Але біда: друга вимога (b ≠ 1) відсутня в першому нерівності, присвяченому лівому логарифму. Іншими словами, при виконанні даного перетворення ми повинні окремо перевірити, що аргумент b відмінний від одиниці!

Ось давайте й перевіримо. Застосуємо нашу формулу:

1 ≠ х − 0,5 > 0; 1 ≠ х + 1 > 0

Ось ми й одержали, що вже з вихідного логарифмічного рівняння випливає, що і а, і b повинні бути більшими за 0 і не дорівнюють 1. Отже, ми спокійно можемо перевертати логарифмічне рівняння:

Пропоную ввести нову змінну:

log x + 1 (x − 0,5) = t

У цьому випадку наша конструкція перепишеться так:

(t 2 − 1)/t = 0

Зауважимо, що у чисельнику у нас стоїть різниця квадратів. Розкриваємо різницю квадратів за формулою скороченого множення:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Дроб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Але в чисельнику стоїть твір, тому прирівнюємо до нуля кожен множник:

t1 = 1;

t 2 = -1;

t ≠ 0.

Як бачимо, обидва значення змінної t нас влаштовують. Однак на цьому рішення не закінчується, адже нам потрібно знайти не t, а значення x. Повертаємося до логарифму та отримуємо:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Давайте наведемо кожне з цих рівнянь до канонічної форми:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Позбавляємося знаку логарифму в першому випадку і прирівнюємо аргументи:

х − 0,5 = х + 1;

х − х = 1 + 0,5;

Таке рівняння немає коренів, отже, перше логарифмическое рівняння також має коренів. А ось з другим рівнянням все набагато цікавіше:

(х − 0,5)/1 = 1/(х + 1)

Вирішуємо пропорцію - отримаємо:

(х - 0,5) (х + 1) = 1

Нагадую, що при вирішенні логарифмічних рівнянь набагато зручніше наводити всі десяткові дроби звичайні, тому перепишемо наше рівняння наступним чином:

(х - 1/2) (х + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Перед нами наведене квадратне рівняння, воно легко вирішується за формулами Вієта:

(х + 3/2) (х - 1) = 0;

x 1 = -1,5;

x2=1.

Отримали два корені – вони є кандидатами на вирішення вихідного логарифмічного рівняння. Для того щоб зрозуміти, яке коріння дійсно піде у відповідь, давайте повернемося до вихідного завдання. Зараз ми перевіримо кожне з наших коренів на предмет відповідності області визначення:

1,5 ≠ х > 0,5; 0 ≠ х > −1.

Ці вимоги рівносильні подвійній нерівності:

1 ≠ х > 0,5

Звідси відразу бачимо, що корінь х = −1,5 нас не влаштовує, а ось х = 1 цілком влаштовує. Тому х = 1 — остаточне розв'язання логарифмічного рівняння.

Переходимо до другого завдання:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

На перший погляд може здатися, що у всіх логарифмів різні підстави та аргументи. Що робити з такими конструкціями? Насамперед зауважимо, що числа 25, 5 та 625 — це ступеня 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

А тепер скористаємося чудовою властивістю логарифму. Справа в тому, що можна виносити міри з аргументу у вигляді множників:

log a b n = n ∙ log a b

На це перетворення також накладаються обмеження у разі, коли дома b стоїть функція. Але у нас b – це просто число, і жодних додаткових обмежень не виникає. Перепишемо наше рівняння:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Отримали рівняння з трьома доданками, що містять знак log. Причому аргументи всіх трьох логарифмів дорівнюють.

Саме час перевернути логарифми, щоб привести їх до однієї основи - 5. Оскільки в ролі змінної b виступає константа, жодних змін області визначення не виникає. Просто переписуємо:

Як і передбачалося, у знаменнику «вилізли» ті самі логарифми. Пропоную виконати заміну змінної:

log 5 x = t

У цьому випадку наше рівняння буде переписано таким чином:

Випишемо чисельник і розкриємо дужки:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Повертаємось до нашого дробу. Чисельник повинен дорівнювати нулю:

А знаменник - відмінний від нуля:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Останні вимоги виконуються автоматично, оскільки вони «зав'язані» на цілі числа, проте відповіді — ірраціональні.

Отже, дробово-раціональне рівняння вирішено, що значення змінної t знайдені. Повертаємося до розв'язання логарифмічного рівняння та згадуємо, що таке t :

Наводимо це рівняння до канонічної форми, отримаємо число з ірраціональним ступенем. Нехай вас це не бентежить — навіть такі аргументи можна прирівняти:

У нас вийшло два корені. Точніше, два кандидати у відповіді — перевіримо їх на відповідність галузі визначення. Оскільки в основі логарифму стоїть змінна х, вимагатимемо наступне:

1 ≠ х > 0;

З тим самим успіхом стверджуємо, що х ≠ 1/125, інакше підстава другого логарифму обернеться в одиницю. Нарешті, х ≠ 1/25 для третього логарифму.

Разом ми отримали чотири обмеження:

1 ≠ х > 0; х ≠ 1/125; х ≠ 1/25

А тепер питання: чи задовольняють наше коріння зазначеним вимогам? Звісно задовольняють! Тому що 5 у будь-якій мірі буде більшим за нуль, і вимога х > 0 виконується автоматично.

З іншого боку, 1 = 5 0 , 1/25 = 5 −2 , 1/125 = 5 −3 , а це означає, що ці обмеження для наших коренів (у яких, нагадаю, у показнику стоїть ірраціональне число) також виконані, та обидві відповіді є рішеннями задачі.

Отже, ми отримали остаточну відповідь. Ключових моментів у цій задачі два:

1. Будьте уважні при перевороті логарифму, коли аргумент та основа змінюються місцями. Подібні перетворення накладають зайві обмеження область визначення.
2. Не бійтеся перетворювати логарифми: їх можна не тільки перевертати, а й розкривати за формулою суми і взагалі міняти за будь-якими формулами, які ви вивчали під час вирішення логарифмічних виразів. Однак при цьому завжди пам'ятайте: деякі перетворення розширюють область визначення, а деякі звужують.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Логарифмічні вирази, розв'язання прикладів. У цій статті ми розглянемо завдання, пов'язані з вирішенням логарифмів. У завданнях порушується питання про знаходження значення висловлювання. Потрібно відзначити, що поняття логарифму використовується в багатьох завданнях і розуміти його сенс є вкрай важливим. Що ж до ЄДІ, то логарифм використовується під час вирішення рівнянь, у прикладних завданнях, соціальній та завданнях пов'язані з дослідженням функцій.

Наведемо приклади для розуміння самого змісту логарифму:

Основна логарифмічна тотожність:

Властивості логарифмів, які необхідно завжди пам'ятати:

*Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників.

* * *

*Логарифм приватного (дробу) дорівнює різниці логарифмів співмножників.

* * *

*Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм його заснування.

* * *

*Перехід до нової основи

* * *

Ще властивості:

* * *

Обчислення логарифмів тісно пов'язані з використанням властивостей показників ступеня.

Перерахуємо деякі з них:

Суть цієї властивості полягає в тому, що при перенесенні чисельника у знаменник і навпаки, знак показника ступеня змінюється на протилежний. Наприклад:

Наслідок з цієї властивості:

* * *

При зведенні ступеня в ступінь основа залишається незмінною, а показники перемножуються.

* * *

Як ви переконалися саме поняття логарифму нескладне. Головне те, що потрібна хороша практика, яка дає певну навичку. Вочевидь знання формул обов'язково. Якщо навичка у перетворенні елементарних логарифмів не сформована, то при вирішенні простих завдань можна легко припуститися помилки.

Практикуйтесь, вирішуйте спочатку найпростіші приклади з курсу математики, потім переходьте до складніших. У майбутньому обов'язково покажу, як вирішуються «страшні» логарифми, таких на ЄДІ не буде, але вони становлять інтерес, не пропустіть!

На цьому все! Успіху Вам!

З повагою, Олександр Крутицьких

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.