Як обчислити площу поверхні циліндра – тема цієї статті. У будь-якій математичній задачі почати потрібно з введення даних, визначити, що відомо і чим оперувати надалі, і потім розпочати безпосередньо розрахунку.

Дане об'ємне тіло є геометричною фігурою циліндричної форми, обмеженою зверху і знизу двома паралельними площинами. Якщо докласти трохи уяви, можна помітити, що геометричне тіло утворюється обертанням прямокутника навколо осі, причому віссю одна із його сторін.

Звідси випливає, що крива зверху і знизу циліндра, що описується, буде колом, основним показником якого є радіус або діаметр.

Площа поверхні циліндра - онлайн калькулятор.

Дана функція остаточно полегшує процес розрахунку, і все зводиться лише автоматичному підставленню заданих значень висоти та радіусу (діаметра) основи фігури. Єдине, що потрібно - точно визначити дані та не помилитися під час введення цифр.

Площа бічної поверхні циліндра

Спочатку потрібно уявити, як виглядає розгортка у двомірному просторі.

Це не що інше, як прямокутник, одна сторона якого дорівнює довжині кола. Формула її відома з давніх-давен - 2π *r, де r- Радіус кола. Інша сторона прямокутника дорівнює висоті h. Знайти шукане не складе труднощів.

Sбік= 2π *r * h,

де число π = 3.14.

Площа повної поверхні циліндра

Для знаходження повної площі циліндра потрібно отримати S бікдодати площі двох кіл, верху та низу циліндра, які вважаються за формулою S про =2π * r 2 .

Кінцева формула виглядає так:

Sпідлога= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Площа циліндра – формула через діаметр

Для полегшення розрахунків іноді потрібно зробити обчислення через діаметр. Наприклад, є шматок порожнистої труби відомого діаметра.

Не обтяжуючи себе зайвими розрахунками, маємо готову формулу. На допомогу приходить алгебра за 5 клас.

Sпідлога = 2π*r 2 + 2 π*r*h= 2 π*d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *d * h,

Замість rна повну формулу потрібно вставити значення r =d/2.

Приклади розрахунку площі циліндра

Озброївшись знаннями, приступаємо до практики.

приклад 1. Потрібно обчислити площу зрізаного шматка труби, тобто циліндра.

Маємо r = 24 мм, h = 100 мм. Використовувати необхідно формулу через радіус:

S підлога = 2 * 3.14 * 24 2 + 2 * 3.14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (мм 2).

Перекладаємо у звичні м2 і отримуємо 0,01868928, приблизно 0.02 м2.

приклад 2. Потрібно дізнатися площу внутрішньої поверхні пічної азбестової труби, стінки якої облицьовані вогнетривкою цеглою.

Дані такі: діаметр 0,2 м; висота 2 м. Використовуємо формулу через діаметр:

S підлога = 3.14 * 0.2 2 /2 + 3,14 * 0.2 * 2 = 0,0628 + 1.256 = 1.3188 м 2 .

приклад 3. Як дізнатися, скільки матеріалу потрібно для пошиття мішка, r = 1 м і висотою 1 м.

Один момент є формула:

S бік = 2 * 3.14 * 1 * 1 = 6.28 м 2 .

Висновок

Наприкінці статті назріло питання: а чи так необхідні всі ці обчислення та переведення одних значень до інших. Навіщо все це потрібне і найголовніше, для кого? Але не варто нехтувати і забувати прості формули із середньої школи.

Світ стояв і стоятиме на елементарних знаннях з математики, в тому числі. І, приступаючи до якоїсь важливої ​​роботи, ніколи не зайве освіжити в пам'яті дані викладки, застосувавши їх на практиці з великим ефектом. Точність – ввічливість королів.

Знайдіть площу осьового перерізу, перпендикулярного основам циліндра. Одна зі сторін цього прямокутника дорівнює висоті циліндра, друга - діаметру кола основи. Відповідно, площа перерізу в цьому випадку дорівнюватиме добутку сторін прямокутника. S = 2R * h, де S - площа перерізу, R - радіус кола основи, заданий умовами задачі, а h - висота циліндра, також задана умовами задачі.

Якщо перетин перпендикулярно основам, але при цьому не проходить через вісь обертання, прямокутника не дорівнюватиме діаметру кола. Її треба вирахувати. Для цього завдання має бути сказано, на якій відстані від осі обертання проходить площина перерізу. Для зручності обчислень побудуйте коло основи циліндра, проведіть радіус і відкладіть на ньому відстань, на якій від центру кола знаходиться перетин. Від цієї точки проведіть до перпендикуляра до їхнього перетину з колом. З'єднайте точки перетину із центром. Вам потрібно знайти хорди. Знайдіть розмір половини хорди за теоремою Піфагора. Він дорівнюватиме квадратному кореню з різниці квадратів радіусу кола від центру до лінії перерізу. a2 = R2-b2. Вся хорда буде відповідно дорівнює 2а. Обчисліть площу перерізу, яка дорівнює добутку сторін прямокутника, тобто S = 2a * h.

Циліндр можна розсікти, що не проходить через площину основи. Якщо поперечний переріз проходить перпендикулярно осі обертання, воно буде коло. Площа його в цьому випадку дорівнює площі основ, тобто обчислюється за формулою S = R2.

Корисна порада

Щоб точніше уявити перетин, зробіть креслення та додаткові побудови до нього.

Джерела:

• переріз циліндра площа

Лінія перетину поверхні з площиною належить одночасно поверхні та січній площині. Лінія перетину циліндричної поверхні січною площиною, паралельною прямою твірною – пряма лінія. Якщо січна площина перпендикулярна до осі поверхні обертання – у перерізі буде коло. У загальному випадку лінія перетину циліндричної поверхні із січною площиною – крива лінія.

Вам знадобиться

• Олівець, лінійка, трикутник, лекала, циркуль, вимірювач.

Інструкція

На фронтальній площині проекцій П₂ лінія перерізу збігається з проекцією площини, що січе, Σ₂ у вигляді прямої.
Позначте точки перетину циліндра, що утворюють, з проекцією Σ₂ 1₂, 2₂ і т.д. до точок 10₂ та 11₂.

На площині П₁ – це коло. Зазначені на площині перерізу Σ₂ точки 1₂ , 2₂ і т.д. за допомогою лінії проекційного зв'язку спроектуються на нарисі цього кола. Позначте їх горизонтальні проекції симетрично щодо горизонтальної осі кола.

Отже, проекції шуканого перерізу визначено: на площині П₂ – пряма (точки 1₂, 2₂…10₂); на площині П₁ – коло (точки 1₁, 2₁…10₁).

По двох побудуйте натуральну величину перерізу даного циліндра площиною, що фронтально-проектує, Σ. Для цього використовуйте метод проекцій.

Проведіть площину П₄ паралельно до проекції площини Σ₂. На цій новій осі x₂₄ позначте точку 1₀. Відстань між точками 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ і т.д. з фронтальної проекції перерізу відкладіть на осі x₂₄, проведіть тонкі лінії проекційного зв'язку перпендикулярно до осі x₂₄.

У цьому способі площиною П₄ замінюється площина П₁, тому з горизонтальної проекції розміри від осі до точок перенесіть на вісь площини П₄.

Наприклад, на П₁ для точок 2 і 3 це буде відстань від 2₁ і 3₁ до осі (точка А) і т.д.

Відклавши з горизонтальної проекції зазначені відстані, отримайте точки 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Потім для більшої точності побудови визначаються інші проміжні точки.

З'єднавши лекальною кривою всі точки, отримайте шукану натуральну величину перерізу циліндра фронтально-проектуючою площиною.

Джерела:

• як замінити площину

Порада 3: Як знайти площу осьового перерізу зрізаного конуса

Щоб вирішити це завдання, необхідно згадати, що таке усічений конус і які властивості він має. Обов'язково зробіть креслення. Це дозволить визначити, яку геометричну фігуру є переріз . Цілком можливо, що після цього розв'язання задачі вже не представлятиме вам складності.

Інструкція

Круглий конус – тіло, отримане шляхом обертання трикутника навколо одного з його катетів. Прямі, що виходять із вершини конусаі перетинають його основу, називаються утворюючими. Якщо всі утворюють рівні, конус є прямим. В основі круглого конусалежить коло. Перпендикуляр, опущений на основу з вершини, є висотою конуса. У круглого прямого конусависота збігається з його віссю. Вісь – це пряма, що з'єднує з центром основи. Якщо горизонтальна січна площина кругового конуса, то його верхня основа є коло.

Оскільки за умови завдання не обумовлено, саме конус дається у разі, можна дійти невтішного висновку, що це прямий усічений конус, горизонтальне перетин якого паралельно підставі. Його осьовий перетин, тобто. вертикальна площина, яка через вісь круглого конуса, являє собою рівнобічну трапецію Усі осьові перерізукруглого прямого конусарівні між собою. Отже, щоб знайти площаосьового перерізу, потрібно знайти площатрапеції, основами якої діаметри основ усіченого конуса, А бічні сторони - його утворюють. Висота усіченого конусає одночасно заввишки трапеції.

Площа трапеції визначається за формулою: S = ½(a+b) h, де S – площатрапеції; a – величина нижньої основи трапеції; b – величина її верхньої основи; h – висота трапеції.

Оскільки в умові не обумовлено, які саме дані, можна визначити, що діаметри обох підстав усіченого конусавідомі: AD = d1 – діаметр нижньої основи усіченого конуса;BC = d2 – діаметр його верхньої основи; EH = h1 – висота конуса.Таким чином, площаосьового перерізуусіченого конусавизначається: S1 = ½ (d1+d2) h1

Джерела:

• площа зрізаного конуса

Циліндр є просторовою фігурою і складається з двох рівних основ, які являють собою кола та бічній поверхні, що з'єднує лінії, що обмежують основи. Щоб обчислити площа циліндра, знайдіть площі всіх поверхонь і складіть їх.

Стереометрія – це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури у просторі. Основними фігурами у просторі є точка, пряма та площина. У стереометрії з'являється новий вид взаємного розташування прямих: прямі, що схрещуються. Це одна з небагатьох суттєвих відмінностей стереометрії від планіметрії, тому що в багатьох випадках завдання стереометрії вирішуються шляхом розгляду різних площин, в яких виконуються планиметричні закони.

У природі, що нас оточує, існує безліч об'єктів, які є фізичними моделями зазначеної фігури. Наприклад, багато деталей машин мають форму циліндра або є деяким їх поєднанням, а величні колони храмів і соборів, виконані у формі циліндрів, підкреслюють їх гармонію і красу.

Греч. − кюліндрос. Античний термін. У побуті – сувій папірусу, валик, ковзанка (дієслово – крутити, катати).

У Евкліда циліндр виходить обертанням прямокутника. У Кавальєрі – рухом утворюючої (при довільній напрямній – "циліндрика").

Мета цього реферату розглянути геометричне тіло – циліндр.

Для досягнення цієї мети необхідно розглянути такі завдання:

− дати визначення циліндра;

− розглянути елементи циліндра;

− вивчити властивості циліндра;

− розглянути види перерізу циліндра;

− вивести формулу площі циліндра;

− вивести формулу об'єму циліндра;

− розв'язати задачі з використанням циліндра.

1.1. Визначення циліндра

Розглянемо якусь лінію (криву, ламану або змішану) l, що лежить у деякій площині α, і деяку пряму S, що перетинає цю площину. Через усі точки даної лінії l проведемо прямі, паралельні прямий S; утворена цими прямими поверхня називається циліндричною поверхнею. Лінія l називається спрямовуючою цієї поверхні, прямі s 1 , s 2 , s 3 ,... − її утворюючими.

Якщо напрямна є ламаною, то така циліндрична поверхня складається з ряду плоских смуг, укладених між парами паралельних прямих, і називається призматичною поверхнею. Утворюючі, що проходять через вершини напрямної ламаною, називаються ребрами призматичної поверхні, плоскі смуги між ними її гранями.

Якщо розсікти будь-яку циліндричну поверхню довільною площиною, що не паралельна її утворює, то отримаємо лінію, яка також може бути прийнята за напрямну даної поверхні. Серед напрямних виділяється та, яка, виходить, від перерізу поверхні площиною, перпендикулярною до утворює поверхні. Такий переріз називається нормальним перерізом, а відповідна напрямна – нормальною напрямною.

Якщо напрямна − замкнута (опукла) лінія (ламана чи крива), то відповідна поверхня називається замкненою (опуклою) призматичною чи циліндричною поверхнею. З циліндричних поверхонь найпростіша має своєю нормальною напрямною коло. Розсічемо замкнуту опуклу призматичну поверхню двома площинами, паралельними між собою, але не паралельними утворюючим.

У перерізах отримаємо опуклі багатокутники. Тепер частина призматичної поверхні, укладена між площинами α і α", і дві багатокутні пластинки, що при цьому утворилися, в цих площинах обмежують тіло, зване призматичним тілом - призмою.

Циліндричне тіло - циліндр визначається аналогічно призмі:
Циліндром називається тіло, обмежене з боків замкненою (опуклою) циліндричною поверхнею, а з торців двома плоскими паралельними основами. Обидва підстави циліндра рівні, також рівні між собою і всі утворюють циліндра, тобто. відрізки утворюють циліндричної поверхні між площинами основ.

Циліндром (точніше, круговим циліндром) називається геометричне тіло, яке складається з двох кіл, що не лежать в одній площині і поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл (рис. 1).

Кола називаються основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл кіл, − утворюючими циліндра.

Так як паралельне перенесення є рух, то підстави циліндра рівні.

Оскільки при паралельному перенесенні площина перетворюється на паралельну площину (чи у собі), то циліндра підстави лежать у паралельних площинах.

Так як при паралельному перенесенні точки зміщуються по паралельним (або збігаються) прямим на одну і ту ж відстань, то у циліндра утворюють паралельні та рівні.

Поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні. Бічна поверхня складена з утворюючих.

Циліндр називається прямим, якщо його утворюють перпендикулярні до площин основ.

Прямий циліндр наочно можна уявити як геометричне тіло, яке описує прямокутник при обертанні його біля боку як осі (рис. 2).

Мал. 2 − Прямий циліндр

Надалі ми розглядатимемо лише прямий циліндр, називаючи його для стислості просто циліндром.

Радіусом циліндра називається радіус його основи. Висотою циліндра називається відстань між площинами його основ. Оссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вона паралельна утворюючим.

Циліндр називається рівностороннім, якщо його висота дорівнює діаметру основи.

Якщо підстави циліндра плоскі (і, отже, площини, що їх містять, паралельні), то циліндр називають стоять на площині. Якщо підстави циліндра, що стоїть на площині, перпендикулярні до утворюючої, то циліндр називається прямим.

Зокрема, якщо основа циліндра, що стоїть на площині − коло, то говорять про круговий (круглий) циліндр; якщо еліпс – то еліптичному.

1. 3. Перетину циліндра

Перетин циліндра площиною, паралельної його осі, є прямокутником (рис. 3, а). Дві його сторони – утворюють циліндри, а дві інші – паралельні хорди основ.

а) б)

в) г)

Мал. 3 – Переріз циліндра

Зокрема, прямокутником є ​​осьовий переріз. Це − перетин циліндра площиною, що проходить крізь його вісь (рис. 3, б).

Перетин циліндра площиною, паралельною до основи − коло (рис 3, в).

Перетин циліндра площиною не паралельною до основи та його осі − овал (рис. 3г).

Теорема 1. Площина, паралельна площині основи циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, рівному колу основи.

Доведення. Нехай β – площина, паралельна площині основи циліндра. Паралельний перенесення в напрямку осі циліндра, що поєднує площину β з площиною основи циліндра, поєднує переріз бічної поверхні площиною з коло основи. Теорему доведено.

Площа бічній поверхні циліндра.

За площу бічної поверхні циліндра приймається межа, якого прагне площа бічної поверхні правильної призми, вписаної в циліндр, коли кількість сторін підстави цієї призми необмежено зросте.

Теорема 2. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола його основи на висоту (S бок.ц = 2πRH, де R - радіус основи циліндра, Н - висота циліндра).

а) б)
Мал. 4 − Площа бічної поверхні циліндра

Доведення.

Нехай P n та Н відповідно периметр основи та висота правильної n-вугільної призми, вписаної в циліндр (рис. 4, а). Тоді площа бічної поверхні цієї призми S бок. Тоді периметр P n прагне довжині кола З = 2πR, де R- радіус основи циліндра, а висота H не змінюється. Таким чином, площа бічної поверхні призми прагне межі 2πRH, тобто площа бічної поверхні циліндра дорівнює S бок.ц = 2πRH. Теорему доведено.

Повна поверхня циліндра.

Площею повної поверхні циліндра називається сума площ бічної поверхні та двох основ. Площа кожної основи циліндра дорівнює πR 2 , отже, площа повної поверхні циліндра S повний обчислюється за формулою S бок.ц = 2πRH+ 2πR 2 .

Мал. 5 − Площа повної поверхні циліндра

Якщо бічну поверхню циліндра розрізати по твірної FT (рис. 5, а) і розгорнути так, щоб усі утворювальні опинилися в одній площині, то в результаті ми отримаємо прямокутник FTT1F1, який називається розгорткою бічної поверхні циліндра. Сторона FF1 прямокутника є розгорткою кола основи циліндра, отже, FF1=2πR, яке сторона FT дорівнює твірної циліндра, т. е. FT = Н (рис. 5, б). Таким чином, площа FT∙FF1=2πRH розгортки циліндра дорівнює площі його бічної поверхні.

1.5. Об'єм циліндра

Якщо геометричне тіло просте, тобто допускає розбиття на кінцеве число трикутних пірамід, його обсяг дорівнює сумі обсягів цих пірамід. Для довільного тіла обсяг визначається в такий спосіб.

Дане тіло має об'єм V, якщо існує прості тіла, що містять його, і містяться в ньому прості тіла з об'ємами, скільки завгодно мало відрізняються від V.

Застосуємо це визначення знаходження об'єму циліндра з радіусом підстави R і висотою Н.

При виведенні формули для площі кола були побудовані такі два n-кутники (один - коло, другий - що міститься в колі), що їх площі при необмеженому збільшенні n необмежено наближалися до площі кола. Побудуємо такі багатокутники для кола в основі циліндра. Нехай Р – багатокутник, що містить коло, а Р” – багатокутник, що міститься у колі (рис. 6).

Мал. 7 − Циліндр із описаною та вписаною в нього призмою

Побудуємо дві прямі призми з основами Р і Р" і висотою Н, що дорівнює висоті циліндра. Перша призма містить циліндр, а друга призма міститься в циліндрі. Так як при необмеженому збільшенні n площі основ призм необмежено наближаються до площі основи циліндра S, то їх обсяги необмежено наближаються до SН, згідно з визначенням об'єм циліндра

V = SH = πR 2 H.

Отже, обсяг циліндра дорівнює добутку площі основи висоту.

Завдання 1.

Осьовий переріз циліндра – квадрат, площа якого Q.

Знайдіть площу основи циліндра.

Дано: циліндр, квадрат – осьовий переріз циліндра, S квадрата = Q.

Знайти: S осн.

Сторона квадрата дорівнює. Вона дорівнює діаметру основи. Тому площа основи дорівнює .

Відповідь: S осн.цил. =

Завдання 2.

У циліндр вписано правильну шестикутну призму. Знайдіть кут між діагоналлю її бічної грані та віссю циліндра, якщо радіус основи дорівнює висоті циліндра.

Дано: циліндр, правильна шестикутна призма, вписана в циліндр, радіус основи = висоті циліндра.

Знайти: кут між діагоналлю її бічної грані та віссю циліндра.

Рішення: Бічні грані призми – квадрати, оскільки сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, дорівнює радіусу.

Ребра призми паралельні осі циліндра, тому кут між діагоналлю грані та віссю циліндра дорівнює куту між діагоналлю та бічним ребром. А це кут дорівнює 45°, оскільки грані – квадрати.

Відповідь: кут між діагоналлю її бічної грані та віссю циліндра = 45°.

Завдання 3.

Висота циліндра 6см, радіус основи 5см.

Знайдіть площу перерізу, проведеного паралельно осі циліндра на відстані 4 см від неї.

Дано: Н = 6см, R = 5см, ОЕ = 4см.

Знайти: S січ.

S січ. = КМ×КС,

ОЕ = 4 див, КС = 6 див.

Трикутник ОКМ - рівнобедрений (ОК = ОМ = R = 5 см),

трикутник ОЕК – прямокутний.

З трикутника ОЕК, за теоремою Піфагора:

КМ = 2ЕК = 2×3 = 6,

S січ. = 6×6 = 36 см 2 .

Мета даного реферату виконано, розглянуто таке геометричне тіло, як циліндр.

Розглянуто такі завдання:

− дано визначення циліндра;

− розглянуті елементи циліндра;

− вивчено властивості циліндра;

− розглянуті види перерізу циліндра;

− виведено формулу площі циліндра;

− виведено формулу об'єму циліндра;

− вирішені задачі з використанням циліндра.

1. Погорєлов А. В. Геометрія: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ, 1995.

2. Бескін Л.М. Стереометрія. Посібник для вчителів середньої школи, 1999р.

3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Кисельова Л. С., Позняк Е. Г. Геометрія: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ, 2000.

4. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рижик В.І. Геометрія: підручник для 10–11 класів загальноосвітніх установ, 1998.

5. Кисельов А. П., Рибкін Н. А. Геометрія: Стереометрія: 10 - 11 класи: Підручник та задачник, 2000.

Циліндр – це фігура, що складається з циліндричної поверхні та двох кіл, розташованих паралельно. Розрахунок площі циліндра – це завдання геометричного розділу математики, яке вирішується досить просто. Існує кілька методів її вирішення, які в результаті завжди зводяться до однієї формули.

Як знайти площу циліндра – правила обчислення

• Щоб дізнатися площу циліндра, необхідно дві площі основи скласти з площею бічної поверхні: S = Sбок. + 2Sосн. У більш розгорнутому варіанті дана формула виглядає так: S = 2 π rh + 2 π r2 = 2 π r (h + r).
• Площа бічної поверхні даного геометричного тіла можна вирахувати, якщо відомі його висота і радіус кола, що лежить в основі. В даному випадку можна виразити радіус із довжини кола, якщо вона дана. Висота може бути знайдена, якщо в умові задано значення твірної. У цьому випадку утворювальна дорівнюватиме висоті. Формула бічної поверхні даного тіла виглядає так: S = 2 π rh.
• Площа основи вважається за формулою знаходження площі кола: S osn = π r 2 . У деяких завданнях може не даватися радіус, але задаватися довжина кола. З цієї формули радіус виражається досить легко. С=2π r, r=С/2π. Потрібно пам'ятати про те, що радіус – це половина діаметра.
• При виконанні всіх цих розрахунків число π зазвичай не переводиться в 3,14159… Його потрібно просто дописувати поруч із числовим значенням, яке було отримано в результаті обчислень.
• Далі необхідно лише помножити знайдену площу підстави на 2 і додати до отриманого числа обчислену площу бічної поверхні фігури.
• Якщо завдання вказується, що у циліндрі є осьовий перетин і це – прямокутник, то рішення буде трохи іншим. У такому випадку ширина прямокутника буде діаметром кола, що лежить в основі тіла. Довжина фігури дорівнюватиме утворює або висоті циліндра. Необхідно вирахувати потрібні значення і підставити вже відому формулу. В даному випадку ширину прямокутника потрібно розділити на два, щоб знайти площу основи. Для знаходження бічної поверхні довжина множиться на два радіуси і на число π.
• Можна вирахувати площу даного геометричного тіла через його об'єм. Для цього потрібно з формули V = π r 2 h вивести недостатню величину.
• У обчисленні площі циліндра немає нічого складного. Потрібно лише знати формули та вміти виводити з них величини, необхідні для проведення розрахунків.

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі прямокутника, основа якого дорівнює 2π r, а висота дорівнює висоті циліндра h, Т. е. 2π rh.

Повна поверхня циліндра становитиме: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).

За площу бічної поверхні циліндра приймається площа розгорткийого бічній поверхні.

Тому площа бічної поверхні прямого кругового циліндра дорівнює площі відповідного прямокутника (рис.) і обчислюється за формулою

S б.ц. = 2πRH, (1)

Якщо до площі бічної поверхні циліндра додати площі двох його основ, то отримаємо площу повної поверхні циліндра

S повн. =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Об'єм прямого циліндра

де Q – площа основи, а Н – висота циліндра.

Так як площа основи циліндра дорівнює Q, то існують послідовності описаних та вписаних багатокутників з площами Q nта Q’ nтаких, що

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= Q.

Побудуємо послідовності призм, основами яких є розглянуті вище описані та вписані багатокутники, а бічні ребра паралельні утворює даного циліндра і мають довжину H. Ці призми є описаними та вписаними для даного циліндра. Їхні обсяги знаходяться за формулами

V n= Q n H та V’ n= Q’ n H.

Отже,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n H = QH.

Слідство.
Об'єм прямого кругового циліндра обчислюється за формулою

V = π R 2 H

де R – радіус основи, а H – висота циліндра.

Так як основа кругового циліндра є коло радіусу R, то Q = π R 2 і тому