Вектори Вектори Історична довідка Поняття вектора Рівність векторів Відкладення вектора від цієї точки Сума двох векторів Закони складання Віднімання. Урок "відкладення вектора від цієї точки"

Сторінка 1 з 2

Запитання 1.Що таке вектор? Як позначаються вектори?
Відповідь.Вектором ми називатимемо спрямований відрізок (рис. 211). Напрямок вектора визначається зазначенням його початку та кінця. На кресленні напрямок вектора відзначається стрілкою. Для позначення векторів користуватимемося малими латинськими літерами a, b, c, ... . Можна також позначити вектор вказівкою початку і кінця. У цьому початок вектора ставиться першому місці. Замість слова "вектор" над буквеним позначенням вектора іноді ставиться стрілка чи риса. Вектор на малюнку 211 можна позначити так:

\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) або \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).

Запитання 2.Які вектори називаються однаково спрямованими (протилежно спрямованими)?
Відповідь.Вектори \(\overline(AB)\) і \(\overline(CD)\) називаються однаково спрямованими, якщо напівпрямі AB і CD однаково спрямовані.
Вектори \(\overline(AB)\) і \(\overline(CD)\) називаються протилежно спрямованими, якщо напівпрямі AB і CD протилежно спрямовані.
На малюнку 212 вектори \(\overline(a)\) і \(\overline(b)\) однаково спрямовані, а вектори \(\overline(a)\) і \(\overline(c)\) протилежно спрямовані.

Запитання 3.Що таке абсолютна величина вектора?
Відповідь.Абсолютною величиною (або модулем) вектора називається довжина відрізка, що зображує вектор. Абсолютна величина вектора \(\overline(a)\) позначається |\(\overline(a)\)|.

Запитання 4.Що таке нульовий вектор?
Відповідь.Початок вектора може збігатися з кінцем. Такий вектор називатимемо нульовим вектором. Нульовий вектор позначається нулем з рисочкою (\(\overline(0)\)). Про спрямування нульового вектора не говорять. Абсолютна величина нульового вектора вважається рівною нулю.

Запитання 5.Які вектори називаються рівними?
Відповідь.Два вектори називаються рівними, якщо вони поєднуються паралельним перенесенням. Це означає, що існує паралельне перенесення, яке переводить початок і кінець одного вектора відповідно на початок і кінець іншого вектора.

Запитання 6.Доведіть, що рівні вектори однаково спрямовані та рівні за абсолютною величиною. І назад: однаково спрямовані вектори, рівні за абсолютною величиною, рівні.
Відповідь.При паралельному перенесенні вектор зберігає свій напрямок, а також абсолютну величину. Значить, рівні вектори спрямовані однаково і по абсолютній величині.
Нехай \(\overline(AB)\) і \(\overline(CD)\) – однаково спрямовані вектори, рівні за абсолютною величиною (рис. 213). Паралельне перенесення, що переводить точку C в точку A, поєднує напівпряму CD з напівпрямою AB, оскільки вони однаково спрямовані. Оскільки відрізки AB і CD рівні, то цьому крапка D поєднується з точкою B, тобто. паралельне перенесення переводить вектор \(\overline(CD)\) у вектор \(\overline(AB)\). Отже, вектори \(\overline(AB)\) і \(\overline(CD)\) рівні, що й потрібно було довести.

Запитання 7.Доведіть, що від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний даному вектору, і лише один.
Відповідь.Нехай CD - пряма, а вектор \ (\ overline (CD) \) - частина прямої CD. Нехай AB - пряма, в яку переходить пряма CD при паралельному перенесенні, \(\overline(AB)\) - вектор, в який при паралельному перенесенні переходить вектор \(\overline(CD)\), а значить, вектори \(\ overline(AB)\) і \(\overline(CD)\) рівні, а прямі AB і CD паралельні (див. рис. 213). Як ми знаємо, через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, паралельної даній (аксіома паралельних прямих). Отже, через точку A можна провести одну пряму, паралельну до прямої CD. Так як вектор \(\overline(AB)\) - частина прямої AB, то через точку A можна провести один вектор \(\overline(AB)\), рівний вектору \(\overline(CD)\).

Запитання 8.Що таке координати вектора? Чому дорівнює абсолютна величина вектора з координатами a1, a2?
Відповідь.Нехай вектор \(\overline(a)\) має початком точку A 1 (x 1 ; y 1), а кінцем точку A 2 (x 2 ; y 2). Координатами вектора \(\overline(a)\) називатимемо числа a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Координати вектора будемо ставити поруч із буквеним позначенням вектора, в даному випадку \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) або просто \((\overline(a 1 ; a 2 ))\). Координати нульового вектора дорівнюють нулю.
З формули, що виражає відстань між двома точками через їх координати, випливає, що абсолютна величина вектора з координатами a 1 a 2 дорівнює \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\).

Запитання 9.Доведіть, що рівні вектори мають відповідно рівні координати, а вектори відповідно рівними координатами рівні.
Відповідь.Нехай A 1 (x 1 ; y 1) і A 2 (x 2 ; y 2) - початок і кінець вектора \ (\ overline (a) \). Так як рівний йому вектор \(\overline(a")\) виходить з вектора \(\overline(a)\) паралельним переносом, то його початком і кінцем будуть відповідно A" 1 (x 1 + c; y 1 + d ), A" 2 (x 2 + c; y 2 ​​+ d). Звідси видно, що обидва вектори \(\overline(a)\) і \(\overline(a")\) мають одні й ті ж координати: x 2 - x 1, y 2 - y 1 .
Доведемо тепер зворотне твердження. Нехай відповідні координати векторів \(\overline(A 1 A 2 )\) і \(\overline(A" 1 A" 2 )\) рівні. Доведемо, що вектори є рівними.
Нехай x" 1 та y" 1 - координати точки A" 1 , а x" 2 , y" 2 - координати точки A" 2 . За умовою теореми x 2 - x 1 = x" 2 - x" 1 , y 2 - y 1 = y" 2 - y" 1 . Звідси x" 2 = x 2 + x" 1 - x 1 , y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1 . Паралельне перенесення, задане формулами

x" = x + x" 1 - x 1 , y" = y + y" 1 - y 1 ,

переводить точку A 1 до точки A" 1 , а точку A 2 в точку A" 2 , тобто. вектори \(\overline(A 1 A 2 )\) і \(\overline(A" 1 A" 2 )\) рівні, що і потрібно довести.

Запитання 10.Дайте визначення суми векторів.
Відповідь.Сумою векторів \(\overline(a)\) і \(\overline(b)\) з координатами a 1 , a 2 і b 1 , b 2 називається вектор \(\overline(c)\) з координатами a 1 + b 1 , a 2 + ba 2 , тобто.

\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).

1. Загальні положення

1.1. З метою підтримки ділової репутації та забезпечення виконання норм федерального законодавства ФДАУ ДНДІ ІТТ «Інформіка» (далі – Компанія) вважає найважливішим завданням забезпечення легітимності обробки та безпеки персональних даних суб'єктів у бізнес-процесах Компанії.

1.2. Для вирішення цього завдання в Компанії запроваджено, функціонує та проходить періодичний перегляд (контроль) система захисту персональних даних.

1.3. Обробка персональних даних у Компанії ґрунтується на наступних принципах:

Законності цілей та способів обробки персональних даних та сумлінності;

Відповідність цілей обробки персональних даних цілям, заздалегідь визначеним та заявленим при зборі персональних даних, а також повноваженням Компанії;

Відповідності обсягу та характеру оброблюваних персональних даних, способів обробки персональних даних цілям обробки персональних даних;

Достовірності персональних даних, їх актуальності та достатності для цілей обробки, неприпустимості обробки надлишкових по відношенню до цілей збору персональних даних;

Легітимності організаційних та технічних заходів щодо забезпечення безпеки персональних даних;

Безперервності підвищення рівня знань працівників Компанії у сфері забезпечення безпеки персональних даних під час їх обробки;

Прагнення постійного вдосконалення системи захисту персональних даних.

2. Цілі обробки персональних даних

2.1. Відповідно до принципів обробки персональних даних, у Компанії визначено склад та цілі обробки.

Цілі обробки персональних даних:

Укладання, супровід, зміна, розірвання трудових договорів, що є підставою для виникнення або припинення трудових відносин між Компанією та її працівниками;

Надання порталу, сервісів особистого кабінету для учнів, батьків та вчителів;

Зберігання результатів навчання;

виконання зобов'язань, передбачених федеральним законодавством та іншими нормативними правовими актами;

3. Правила обробки персональних даних

3.1. У Компанії здійснюється обробка лише тих персональних даних, які представлені у затвердженому Переліку персональних даних, що обробляються у ФДАУ ДНДІ ІТТ «Інформіка»

3.2. У Компанії не допускається обробка наступних категорій персональних даних:

Расова приналежність;

Політичні погляди;

Філософські переконання;

Про стан здоров'я;

Стан інтимного життя;

Національна приналежність;

Релігійні переконання.

3.3. У Компанії не обробляються біометричні персональні дані (відомості, що характеризують фізіологічні та біологічні особливості людини, на підставі яких можна встановити її особистість).

3.4. У Компанії не здійснюється транскордонна передача персональних даних (передача персональних даних на територію іноземної держави до органу влади іноземної держави, іноземної фізичної особи або іноземної юридичної особи).

3.5. У Компанії заборонено ухвалення рішень щодо суб'єктів персональних даних на підставі виключно автоматизованої обробки їх персональних даних.

3.6. У Компанії не здійснюється опрацювання даних про судимість суб'єктів.

3.7. Компанія не розміщує персональні дані суб'єкта у загальнодоступних джерелах без його попередньої згоди.

4. Реалізовані вимоги щодо забезпечення безпеки персональних даних

4.1. З метою забезпечення безпеки персональних даних при їх обробці в Компанії реалізуються вимоги наступних нормативних документів РФ у галузі обробки та забезпечення безпеки персональних даних:

Федеральний закон від 27.07.2006 р. № 152-ФЗ "Про персональні дані";

Постанова Уряду Російської Федерації від 1 листопада 2012 р. N 1119 "Про затвердження вимог щодо захисту персональних даних при їх обробці в інформаційних системах персональних даних";

Постанова Уряду Російської Федерації від 15.09.2008 р. №687 "Про затвердження Положення про особливості обробки персональних даних, що здійснюється без використання засобів автоматизації";

Наказ ФСТЕК Росії від 18.02.2013 N 21 "Про затвердження Складу та змісту організаційних та технічних заходів щодо забезпечення безпеки персональних даних при їх обробці в інформаційних системах персональних даних";

Базова модель загроз безпеці персональних даних при їх обробці в інформаційних системах персональних даних (затверджена заступником директора ФСТЕК Росії 15.02.2008);

Методика визначення актуальних загроз безпеці персональних даних при їх обробці в інформаційних системах персональних даних (затверджено заступником директора ФСТЕК Росії 14.02.2008 р.).

4.2. Компанія проводить оцінку шкоди, яка може бути заподіяна суб'єктам персональних даних та визначає загрози безпеці персональних даних. Відповідно до виявлених актуальних загроз Компанія застосовує необхідні та достатні організаційні та технічні заходи, що включають використання засобів захисту інформації, виявлення фактів несанкціонованого доступу, відновлення персональних даних, встановлення правил доступу до персональних даних, а також контроль та оцінку ефективності вживаних заходів.

4.3. У Компанії призначено осіб, відповідальних за організацію обробки та забезпечення безпеки персональних даних.

4.4. Керівництво Компанії усвідомлює необхідність і зацікавлене у забезпеченні належного як з погляду вимог нормативних документів РФ, і обгрунтованого з погляду оцінки ризиків бізнесу рівня безпеки персональних даних, оброблюваних у межах виконання основний діяльності Компанії.

Нарешті у мене дісталися руки до великої та довгоочікуваної теми. аналітичної геометрії. Спочатку трохи про цей розділ вищої математики. Напевно, вам зараз згадався курс шкільної геометрії з численними теоремами, їх доказами, кресленнями тощо. Що приховувати, зненавиджений і часто малозрозумілий предмет для значної частки учнів. Аналітична геометрія, як не дивно, може здатися більш цікавою та доступною. Що означає прикметник «аналітична»? На думку відразу приходять два штамповані математичні обороти: «графічний метод рішення» та «аналітичний метод рішення». Графічний метод, Зрозуміло, пов'язані з побудовою графіків, креслень. Аналітичнийж методпередбачає вирішення завдань переважноза допомогою алгебраїчних процесів. У зв'язку з цим алгоритм розв'язання практично всіх завдань аналітичної геометрії простий і прозорий, часто досить акуратно застосувати потрібні формули – і відповідь готова! Ні, звичайно, зовсім без креслень тут не обійдеться, до того ж для кращого розуміння матеріалу я намагатимусь наводити їх понад необхідність.

Відкривається курс уроків з геометрії не претендує на теоретичну повноту, він орієнтований рішення практичних завдань. Я включу у свої лекції тільки те, що, на мій погляд, є важливим у практичному плані. Якщо вам потрібна повна довідка по якомусь підрозділу, рекомендую наступну цілком доступну літературу:

1) Річ, з якою, без жартів, знайомо кілька поколінь: Шкільний підручник з геометрії, автори – Л.С. Атанасян та Компанія. Ця вішалка шкільної роздягальні вже витримала 20 (!) перевидань, що, звичайно, не є межею.

2) Геометрія у 2 томах. Автори Л.С. Атанасян, Базильов В.Т. Це література для вищої школи, вам знадобиться перший том. З мого поля зору можуть випадати завдання, що рідко зустрічаються, і навчальний посібник надасть неоціненну допомогу.

Обидві книги можна завантажити безкоштовно в Інтернеті. Крім того, можете використовувати мій архів із готовими рішеннями, який можна знайти на сторінці Завантажити приклади з вищої математики.

З інструментальних засобів пропоную знову ж таки власну розробку – програмний комплексз аналітичної геометрії, який значно спростить життя та заощадить масу часу.

Передбачається, що читач знайомий з базовими геометричними поняттями та фігурами: точка, пряма, площина, трикутник, паралелограм, паралелепіпед, куб і т.д. Бажано пам'ятати деякі теореми, хоча б теорему Піфагора, привіт другорічникам)

Нині ж ми послідовно розглянемо: поняття вектора, дії з векторами, координати вектора. Далі рекомендую прочитати найважливішу статтю Скалярний добуток векторів, а також і Векторний та змішаний твір векторів. Не зайвою буде і локальне завдання - Розподіл відрізка в цьому відношенні. На основі вищезгаданої інформації можна освоїти рівняння прямої на площиніз найпростішими прикладами рішеньщо дозволить навчитися вирішувати завдання з геометрії. Також корисні такі статті: Рівняння площини у просторі, Рівняння прямої у просторі, Основні завдання на пряму та площину, інші розділи аналітичної геометрії. Природно, принагідно розглядатимуть типові завдання.

Концепція вектор. Вільний вектор

Спочатку повторимо шкільне визначення вектора. Векторназивається спрямованийвідрізок, для якого вказано його початок та кінець:

У разі початком відрізка є точка , кінцем відрізка – точка . Сам вектор позначений через . Напряммає важливе значення, якщо переставити стрілку в інший кінець відрізка, то вийде вектор , і це вже зовсім інший вектор. Поняття вектора зручно ототожнювати з рухом фізичного тіла: погодьтеся, зайти у двері інституту або вийти з дверей інституту – це різні речі.

Окремі точки площини, простору зручно вважати так званим нульовим вектором. У такого вектора кінець і початок збігаються.

!!! Примітка: Тут і далі можете вважати, що вектори лежать в одній площині або вважати, що вони розташовані в просторі - суть матеріалу, що викладається, справедлива і для площини і для простору.

Позначення:Багато хто відразу звернув увагу на паличку без стрілочки в позначенні і сказав, там же зверху ще стрілку ставлять! Правильно, можна записати зі стрілкою: , але допустима і запис , який я використовуватиму надалі. Чому? Мабуть, така звичка склалася з практичних міркувань, надто різнокаліберними та волохатими виходили мої стрілки у школі та ВНЗ. У навчальній літературі іноді взагалі не морочаться клинописом, а виділяють букви жирним шрифтом: , маючи на увазі тим самим, що це вектор.

То була стилістика, а зараз про способи запису векторів:

1) Вектори можна записати двома великими латинськими літерами:
і так далі. При цьому перша літера обов'язковопозначає точку-початок вектора, а друга літера - точку-кінець вектора.

2) Вектори також записують маленькими латинськими літерами:
Зокрема, наш вектор можна для стислості перепозначити маленькою латинською літерою.

Довжиноюабо модулемненульового вектора називається довжина відрізка. Довжина нульового вектора дорівнює нулю. Логічно.

Довжина вектора позначається знаком модуля: ,

Як знаходити довжину вектора ми дізнаємося (або повторимо, для кого як) трохи згодом.

Це були елементарні відомості про вектор, знайомі всім школярам. В аналітичній геометрії розглядається так званий вільний вектор.

Якщо дуже просто – вектор можна відкласти від будь-якої точки:

Такі вектори ми звикли називати рівними (визначення рівних векторів буде дано нижче), але чисто з математичної точки зору це ОДИН І ТОЙ Ж ВЕКТОР або вільний вектор. Чому вільний? Тому що в ході вирішення завдань ви можете «прилаштувати» той чи інший вектор у БУДЬ-ЯКУ, потрібну вам точку площини або простору. Це дуже крута властивість! Уявіть вектор довільної довжини та напрямки – його можна «клонувати» нескінченну кількість разів і в будь-якій точці простору, по суті, він існує СКРІЗЬ. Є така студентська приказка: Кожному лектору в ж**у по вектору. Адже не просто дотепна рима, все математично коректно – вектор можна влаштувати і туди. Але не поспішайте радіти, частіше страждають самі студенти.

Отже, вільний вектор– це безліч однакових спрямованих відрізків. Шкільне визначення вектора, дане на початку параграфа: «Вектором називається спрямований відрізок…», має на увазі конкретнийспрямований відрізок, взятий з цієї множини, який прив'язаний до певної точки площини або простору.

Слід зазначити, що з погляду фізики поняття вільного вектора у випадку некоректно, і точка докладання вектора має значення. Дійсно, прямий удар однакової сили по носі чи по лобі вистачить розвивати мій безглуздий приклад спричиняє різні наслідки. Втім, невільнівектори зустрічаються і в курсі вышмата (не ходіть туди:)).

Дії з векторами. Колінеарність векторів

У шкільному курсі геометрії розглядається ряд дій та правил із векторами: додавання за правилом трикутника, додавання за правилом паралелограма, правило різниці векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів та ін.Для затравки повторимо два правила, які особливо актуальні на вирішення завдань аналітичної геометрії.

Правило складання векторів за правилом трикутників

Розглянемо два довільні ненульові вектори і :

Потрібно знайти суму даних векторів. Через те, що всі вектори вважаються вільними, відкладемо вектор від кінцявектор :

Сумою векторів і є вектор. Для кращого розуміння правила в нього доцільно вкласти фізичний зміст: нехай деяке тіло зробило шлях вектором, а потім вектором. Тоді сума векторів є вектором результуючого шляху з початком у точці відправлення і кінцем у точці прибуття. Аналогічне правило формулюється для будь-якої кількості векторів. Як кажуть, тіло може пройти свій шлях сильно підданим по зигзагу, а може і на автопілоті - по результуючого вектора суми.

До речі, якщо вектор відкласти початкувектора , то вийде еквівалентне правило паралелограмадодавання векторів.

Спочатку про колінеарність векторів. Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Грубо кажучи, йдеться про паралельні вектори. Але стосовно них завжди використовують прикметник «колінеарні».

Уявіть два колінеарні вектори. Якщо стрілки даних векторів спрямовані в однаковому напрямку, такі вектори називаються співспрямованими. Якщо стрілки дивляться в різні боки, вектори будуть протилежно спрямовані.

Позначення:колінеарність векторів записують звичним значком паралельності: при цьому можлива деталізація: (вектори сонаправлены) або (вектори спрямовані протилежно).

Творомненульового вектора на число є такий вектор, довжина якого дорівнює, причому вектори і сонаправлены і протилежно спрямовані при .

Правило множення вектора на число легко зрозуміти за допомогою малюнка:

Розбираємось детальніше:

1) Напрямок. Якщо множник негативний, то вектор змінює напрямокна протилежне.

2) Довжина. Якщо множник укладено в межах або , то довжина вектора зменшується. Так, довжина вектора вдвічі менша за довжину вектора . Якщо множник за модулем більше одиниці, то довжина вектора збільшуєтьсяв раз.

3) Зверніть увагу, що всі вектори колінеарніпри цьому один вектор виражений через інший, наприклад, . Назад теж справедливоЯкщо один вектор можна виразити через інший, то такі вектори обов'язково колінеарні. Таким чином: якщо ми множимо вектор на число, то вийде колінеарний(По відношенню до вихідного) вектор.

4) Вектори спрямовані. Вектори також співспрямовані. Будь-який вектор першої групи протилежно спрямований стосовно будь-якого вектора другої групи.

Які вектори є рівними?

Два вектори рівні, якщо вони спрямовані і мають однакову довжину. Зауважте, що сонаправленность передбачає колінеарність векторів. Визначення буде неточним (надлишковим), якщо сказати: «Два вектори рівні, якщо вони колінеарні, співспрямовані та мають однакову довжину».

З погляду поняття вільного вектора, рівні вектори – це той самий вектор, що вже йшлося у попередньому параграфі.

Координати вектора на площині та у просторі

Першим пунктом розглянемо вектори на площині. Зобразимо декартову прямокутну систему координат і від початку координат відкладемо одиничнівектори та :

Вектори та ортогональні. Ортогональні = Перпендикулярні. Рекомендую потихеньку звикати до термінів: замість паралельності та перпендикулярності використовуємо відповідно слова колінеарністьі ортогональність.

Позначення:ортогональність векторів записують звичним значком перпендикулярності, наприклад: .

Вектори, що розглядаються, називають координатними векторамиабо ортами. Дані вектори утворюють базисна площині. Що таке базис, думаю, інтуїтивно багатьом зрозуміло, більш детальну інформацію можна знайти у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів.Простими словами, базис і початок координат задають всю систему - це своєрідний фундамент, на якому вирує повне і насичене геометричне життя.

Іноді побудований базис називають ортонормованимбазисом площини: «орто» – оскільки координатні вектори ортогональні, прикметник «нормований» означає одиничний, тобто. Довжина векторів базису дорівнює одиниці.

Позначення:базис зазвичай записують у круглих дужках, усередині яких у суворій послідовностіперераховуються базисні вектори, наприклад: . Координатні вектори не можнапереставляти місцями.

Будь-якийвектор площині єдиним чиномвиражається у вигляді:
, де - числаякі називаються координатами векторау цьому базисі. А сам вираз називається розкладання векторапо базису .

Вечеря подана:

Почнемо з першої літери алфавіту: . По кресленню добре видно, що з розкладанні вектора по базису використовуються щойно розглянуті:
1) правило множення вектора на число: і;
2) складання векторів за правилом трикутника: .

А тепер подумки відкладіть вектор від будь-якої іншої точки площини. Цілком очевидно, що його розкладання «невідступно слідуватиме за ним». Ось вона, свобода вектора - вектор "все носить при собі". Ця властивість, зрозуміло, слушна для будь-якого вектора. Смішно, що самі базисні (вільні) вектори не обов'язково відкладати від початку координат, один можна намалювати, наприклад, ліворуч унизу, а інший – праворуч вгорі, і від цього нічого не зміниться! Щоправда, робити так не потрібно, оскільки викладач теж виявить оригінальність і намалює вам зараховане в несподіваному місці.

Вектори , ілюструють в точності правило множення вектора на число, вектор направлений з базисним вектором , вектор направлений протилежно до базисного вектора . У даних векторів одна з координат дорівнює нулю, прискіпливо можна записати так:


А базисні вектори, до речі, так: (по суті вони виражаються самі через себе).

І наостанок: , . До речі, що таке віднімання векторів, і чому я не розповів про правило віднімання? Десь у лінійній алгебрі, вже не пам'ятаю де, я зазначав, що віднімання – це окремий випадок складання. Так, розкладання векторів «де» і «е» спокійнісінько записуються як суми: , . Переставте доданки місцями і простежте за кресленням, як чітко у цих ситуаціях працює старе добре складання векторів за правилом трикутника.

Розглянуте розкладання виду іноді називають розкладанням вектора у системі орт(Тобто в системі одиничних векторів). Але це не єдиний спосіб запису вектора, поширений наступний варіант:

Або зі знаком рівності:

Самі базисні вектори записуються так: і

Тобто, у круглих дужках зазначаються координати вектора. У практичних завданнях використовуються усі три варіанти запису.

сумнівався, чи говорити, але все-таки скажу: координати векторів переставляти не можна. Суворо на першому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору , суворо на другому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору. Справді, і – це два різних вектори.

З координатами на площині розібралися. Тепер розглянемо вектори в тривимірному просторі, тут практично так само! Тільки додасться ще одна координата. Тривимірні креслення виконувати важко, тому обмежуся одним вектором, який для простоти відкладу від початку координат:

Будь-якийвектор тривимірного простору можна єдиним способомрозкласти по ортонормованому базису:
, де - Координати вектора (числа) в даному базисі.

Приклад з картинки: . Давайте подивимося, як тут працюють правила дій із векторами. По-перше, множення вектора на число: (червона стрілка), (зелена стрілка) та (малінова стрілка). По-друге, перед вами приклад додавання кількох, у разі трьох, векторов: . Вектор суми починається у вихідній точці відправлення (початок вектора) і втикається у підсумкову точку прибуття (кінець вектора).

Всі вектори тривимірного простору, природно, теж вільні, спробуйте подумки відкласти вектор від будь-якої іншої точки, і ви зрозумієте, що його розкладання залишиться при ньому.

Аналогічно плоскому випадку, крім запису широко використовуються версії з дужками: або .

Якщо у розкладанні відсутня один (або два) координатні вектори, то замість них ставляться нулі. Приклади:
вектор (прискіпливо ) - Запишемо;
вектор (прискіпливо ) - Запишемо;
вектор (прискіпливо ) – запишемо.

Базисні вектори записуються так:

Ось, мабуть, і всі мінімальні теоретичні знання, необхідні вирішення завдань аналітичної геометрії. Можливо забагато термінів та визначень, тому чайникам рекомендую перечитати та осмислити цю інформацію ще раз. Та й будь-якому читачеві буде корисно іноді звертатися до базового уроку для кращого засвоєння матеріалу. Колінеарність, ортогональність, ортонормований базис, розкладання вектора – ці та інші поняття часто використовуватимуться надалі. Зазначу, що матеріалів сайту недостатньо для складання теоретичного заліку, колоквіуму з геометрії, тому що всі теореми (до того ж без доказів) я акуратно шифрую – на шкоду науковому стилю викладу, але плюсом до вашого розуміння предмета. Для отримання докладної теоретичної довідки прошу слідувати на уклін до професора Атанасяна.

А ми переходимо до практичної частини:

Найпростіші завдання аналітичної геометрії.
Дії з векторами в координатах

Завдання, які будуть розглянуті, дуже бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ять, навіть спеціально не запам'ятовувати, самі запам'ятаються =) Це дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарних прикладах базуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий час на поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.

Виклад матеріалу піде паралельним курсом – і площині, і простору. З тієї причини, що всі формули самі побачите.

Як знайти вектор по двох точках?

Якщо дані дві точки площини і , то вектор має такі координати:

Якщо дані дві точки простору і , то вектор має такі координати:

Тобто, з координат кінця векторапотрібно відняти відповідні координати початку вектора.

Завдання:Для тих самих точок запишіть формули знаходження координат вектора. Формули наприкінці уроку.

Приклад 1

Дано дві точки площини і . Знайти координати вектора

Рішення:за відповідною формулою:

Як варіант, можна було використати наступний запис:

Естети вирішать і так:

Особисто я звик до першої версії запису.

Відповідь:

За умовою не потрібно будувати креслення (що характерно для завдань аналітичної геометрії), але з метою пояснення деяких моментів чайникам, не полінуюся:

Обов'язково потрібно розуміти відмінність між координатами точок та координатами векторів:

Координати точок- Це звичайні координати у прямокутній системі координат. Відкладати крапки на координатній площині, гадаю, всі вміють ще з 5-6 класу. Кожна точка має суворе місце на площині, і переміщати їх кудись не можна.

Координати ж вектора- Це його розкладання по базису, в даному випадку. Будь-який вектор є вільним, тому за потреби ми легко можемо відкласти його від будь-якої іншої точки площини. Цікаво, що векторів можна взагалі будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, у разі ортонормований базис площини .

Записи координат точок і координат векторів начебто схожі: , а сенс координатабсолютно різний, і вам слід добре розуміти цю різницю. Ця відмінність, зрозуміло, справедлива і для простору.

Пані та панове, набиваємо руку:

Приклад 2

а) Дані точки та . Знайти вектори та .
б) Дані точки та . Знайти вектори та .
в) Дані точки та . Знайти вектори та .
г) Дані точки. Знайти вектори .

Мабуть, достатньо. Це приклади для самостійного рішення, постарайтеся ними не ігнорувати, окупиться;-). Креслення робити не потрібно. Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Що важливо під час вирішення завдань аналітичної геометрії?Важливо бути гранично уважним, щоб не припуститися майстерної помилки «два плюс два і нулю». Відразу перепрошую, якщо де помилився =)

Як знайти довжину відрізка?

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Приклад 3

Рішення:за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його кудись, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення в масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще кілька важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, ЩО це, міліметри, сантиметри, метри чи кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, який корисний не тільки для розглянутого завдання:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить досить велика кількість, наприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок:якщо під коренем виходить невитягне націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході вирішення різних завдань коріння зустрічаються нерідко, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доопрацюванням ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заразом повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями у загальному вигляді можна знайти у шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного вирішення з відрізком у просторі:

Приклад 4

Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Як знайти довжину вектора?

Якщо дано вектор площини, його довжина обчислюється за такою формулою.

Якщо дано вектор простору, то його довжина обчислюється за формулою .

Вектор – одне із основних геометричних понять. Вектор характеризується числом (довжиною) та напрямком. Наочно його можна уявити у вигляді спрямованого відрізка, хоча, говорячи про вектор, правильніше мати на увазі цілий клас спрямованих відрізків, які всі паралельні між собою, мають однакову довжину та однаковий напрямок (рис. 1). Прикладами фізичних величин, які мають векторний характер, можуть бути швидкість (що поступово рухається тіла), прискорення, сила та ін.

Поняття вектора з'явилося у працях німецького математика ХІХ ст. Г. Грассмана та ірландського математика У. Гамільтона; потім воно було охоче сприйняте багатьма математиками та фізиками. У сучасній математиці та її додатках це поняття відіграє найважливішу роль. Вектори застосовуються в класичній механіці Галілея-Ньютона (у її сучасному викладі), теорії відносності, квантової фізики, математичної економіки та багатьох інших розділах природознавства, не кажучи вже про застосування векторів у різних галузях математики.

Кожен із спрямованих відрізків, що становлять вектор (рис. 1), можна назвати представником цього вектора. Вектор, представником якого є спрямований відрізок, що йде від точки до точки, позначається через . На рис. 1 маємо, тобто. і - це один і той же вектор (представниками якого є обидва спрямовані відрізки, виділені на рис. 1). Іноді вектор позначають малою літерою зі стрілкою: , .

Вектор, що зображується спрямованим відрізком, у якого початок і кінець збігаються, називається нульовим; він позначається через , тобто. . Два паралельні вектори, що мають однакові довжини, але протилежні напрямки, називаються протилежними. Якщо вектор позначений через , то протилежний вектор позначається через .

Назвемо основні операції, пов'язані із векторами.

I. Відкладення вектора від точки. Нехай - деякий вектор та - точка. Серед спрямованих відрізків, які є представниками вектора є спрямований відрізок, що починається в точці . Кінець цього спрямованого відрізка називається точкою, що утворюється в результаті відкладання вектора від точки (рис. 2). Ця операція має наступну властивість:

I1. Для будь-якої точки та будь-якого вектора існує, і до того ж тільки одна, точка , для якої .

Складання векторів. Нехай і – два вектори. Візьмемо довільну точку і відкладемо вектор від точки, тобто. знайдемо таку точку, що (рис. 3). Потім від крапки відкладемо вектор, тобто знайдемо таку точку, що. Вектор називається сумою векторів і позначається через . Можна довести, що сума залежить від вибору точки , тобто. якщо замінити іншою точкою, то вийде вектор, рівний (рис. 3). З визначення суми векторів випливає, що для будь-яких трьох точок справедлива рівність

I2:

(«Правило трьох точок»). Якщо ненульові вектори і паралельні, їх суму зручно знаходити з допомогою правила паралелограмма (рис. 4).

ІІ. Основні властивості суми векторів виражають наступні 4 рівності (справедливі для будь-яких векторів , , ):

II2. .

Зауважимо ще, що кілька векторів перебуває послідовним знаходженням суми двох із них. Наприклад: .

При цьому, як би ми не складали задані вектори, результат (як це випливає з властивостей, названих у пунктах II1, і II2) завжди буде одним і тим же. Наприклад:

Далі геометрично сума кількох векторів може бути отримана наступним чином: треба спрямовані відрізки, які є представниками цих векторів, послідовно відкласти один за одним (тобто так, щоб початок другого спрямованого відрізка збігався з кінцем першого, початок третього - з кінцем другого і тощо); тоді вектор матиме своїм представником «замикаючий» спрямований відрізок, що йде від початку першого до кінця останнього (рис. 5). (Зауважимо, що якщо при такому послідовному відкладанні виходить «замкнена векторна ламана», то .)

ІІІ. Умноження вектора на число. Нехай – ненульовий вектор і – відмінне від нуля число. Через позначається вектор, який визначається наступними двома умовами: а) довжина вектора дорівнює ; б) вектор паралельний вектору , причому його напрямок збігається з напрямком вектора і протилежно йому при (рис. 6). Якщо справедлива хоча б одна з рівностей, то твір вважається рівним. Таким чином, твір визначено для будь-якого вектора та будь-якого числа .

Наступні 4 рівності (справедливі для будь-яких векторів і будь-яких чисел ) виражають основні властивості операції множення вектора на число:

III2. .

III3. .

З цих властивостей випливає ряд подальших фактів, пов'язаних із розглянутими операціями над векторами. Зазначимо деякі з них, які часто застосовуються при вирішенні завдань.

а) Якщо - така точка відрізка , що , то для будь-якої точки справедлива рівність , зокрема якщо - середина відрізка, то .

б) Якщо - точка перетину медіан трикутника, то ; крім того, для будь-якої точки справедлива рівність (Зворотні теореми також справедливі).

в) Нехай - точка прямий і - ненульовий вектор, паралельний цій прямій. Крапка в тому і тільки в тому випадку належить прямий, якщо (де - деяке число).

г) Нехай - точка площини і - ненульові і непаралельні між собою вектори, паралельні цій площині. Крапка у цьому і лише тому випадку належить площині , якщо вектор виражається через і , тобто. .

Зрештою, відзначимо ще властивість розмірності, що виражає той факт, що простір тривимірний.

IV. У просторі існують такі три вектори , , що жоден з них не виражається через два інших; будь-який четвертий вектор виражається через ці три вектори: . визначається рівністю: позначено скалярний добуток вектора (і тоді кут між ними не визначається).

Наведені вище властивості векторних операцій багато в чому схожі на властивості додавання та множення чисел. У той самий час вектор – геометричний об'єкт, й у визначенні векторних операцій використовують такі геометричні поняття, як довжина і кут; цим і пояснюється користь векторів для геометрії (і її додатків до фізики та інших галузей знання). Однак для вирішення геометричних задач за допомогою векторів необхідно передусім навчитися «перекладати» умову геометричної задачі на векторну мову. Після такого перекладу здійснюються алгебраїчні обчислення з векторами, а потім отримане векторне рішення знову перекладається на геометричну мову. У цьому полягає векторне рішення геометричних завдань.

При викладі курсу геометрії у школі вектор дається як поняття (див. Визначення), і тому прийнята в шкільному підручнику аксіоматика геометрії нічого не говорить про властивості векторів, тобто. всі ці властивості мають доводитися як теореми.

Існує, однак, і інший шлях викладу геометрії, при якому початковими (невизначуваними) поняттями вважаються вектор і точка, а зазначені вище властивості I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4 приймаються за аксіоми. Такий шлях побудови геометрії було запропоновано у 1917 р. німецьким математиком Г. Вейлем. Тут прямі та площини є визначеними поняттями. Перевага такої побудови в його стислості та в органічному зв'язку із сучасним розумінням геометрії як у самій математиці, так і в інших галузях знання. Зокрема, аксіоми II1-II4, III1-III4 вводять так званий векторний простір, що використовується в сучасній математиці, фізиці, математичній економіці і т.д.

1. Дати визначення рівності геометричних векторів.

Два геометричні вектори називають рівними, якщо:

вони колінеарні та односпрямовані;

їх довжини збігаються.

2. Дати визначення суми векторів та множення вектора на число.

Сумою a + b двох векторів і b називають вектор c, побудований за наступним правилом трикутника. Сумісний початок вектора b з кінцем вектора a. Тоді сумою цих векторів буде вектор з початок якого збігається з початком a, а кінець - з кінцем b.

Поряд із правилом трикутника існує правило паралелограма. Вибравши для векторів a і b загальний початок, будуємо цих векторах паралелограм. Тоді діагональ паралелограма, що виходить із загального початку векторів, визначає їхню суму.

При множенні вектора на число напрям вектора не змінюється, а довжина вектора множиться на число.

3. Дати визначення колінеарних та компланарних векторів.

Два геометричні вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Три геометричні вектори називають компланарними, якщо ці вектори лежать на прямих, паралельних до деякої площини.

4. Дати визначення лінійно залежної та лінійно незалежної системи векторів.

Вектори a 1 , … , a n називають лінійно залежними, якщо існує такий набір коефіцієнтів α 1 , . . . , n , що 1 a 1 + . . . + α n a n = 0 і при цьому хоча б один із цих коефіцієнтів ненульовий.

Якщо зазначеного набору коефіцієнтів немає, то вектори називають лінійно незалежними.

5. Сформулювати геометричні критерії лінійної залежності 2-х та 3-х векторів.

Два вектори лінійно залежні тоді й лише тоді, коли вони колінеарні.

6. Дати визначення базису та координат вектора.

Базис- безліч таких векторів у векторному просторі, що будь-який вектор цього простору може бути єдиним чином представлений у вигляді лінійної комбінації векторів з цієї множини - базисних векторів.

Координати вектора - коефіцієнти єдино можливої ​​лінійної комбінації базисних векторів у вибраній системі координат, що дорівнює даному вектору.

7. Сформулювати теорему про розкладання вектора за базисом.

Будь-який вектор векторного простору можна розкласти за його базисом і єдиним способом.

8. Дати визначення ортогональної скалярної проекції вектора на напрямок.

Ортогональної проекції вектора напрям вектора називається скалярна величина Пр = | | cos() де кут – кут між векторами.

9. Дати визначення скалярного добутку векторів.

Скалярним твором двох векторів і називають число, що дорівнює cos -

добутку довжин | | та| | цих векторів на косинус кута між ними.

10. Сформулювати властивість лінійності скалярного твору.

λ(̅ ̅ ).

= ̅ с̅+ ̅ с̅.

11. Записати формулу для обчислення скалярного добутку двох векторів, заданих в базісі ортонормованого.

̅ = { , }, ̅ = { , }

̅ ̅ = + +

12. Записати формулу для косинуса кута між векторами, заданими в ортонормованому базисі.

̅ ̅ cos =̅ |̅|| |

13. Дати визначення правої та лівої трійки векторів.

Упорядковану трійку некомпланарних векторів a, b, c називають правою, якщо напрям вектораa поєднується з напрямом вектораb за допомогою найкоротшого повороту вектораa у площині цих векторів, який з боку векторас здійснюється проти ходу годинникової стрілки. В іншому випадку (поворот по ходу годинникової стрілки) цю трійку називають лівою.

14. Дати визначення векторного добутку векторів.

Векторним творомнеколлінеарних векторів і називають такий векторс, який задовольняє наступним трьом умовам:

вектор з ортогональним векторами і b ;

довжина вектора дорівнює |с̅ | = | | |̅ |sin ϕ, де ϕ - кут між векторами̅ і̅;

упорядкована трійка векторів ̅ ,̅ ,с̅ є правою.

15. Сформулювати властивість комутативності (симетричності) скалярного твору та властивість антикомутативності (антисиметричності) векторного твору.

Скалярний твір комутативно: ̅ ̅ =̅ ̅ .

Векторний твір антикоммутативно: x x = = x x .

16. Сформулювати властивість лінійності векторного добутку векторів.

властивість асоціативності спільно з множенням на число (? ?) ×? = ? (? ×?);

властивість дистрибутивності щодо складання (? +?) xс = = x x + + x x .

Властивості асоціативності та дистрибутивності векторного твору поєднують, аналогічно випадку скалярного твору, властивість лінійності векторного твору

щодо першого співмножника. З огляду на властивості антикомутативності векторного твору векторний твір лінійно і щодо другого співмножника:

̅ ×(λ̅ ) = −(λ̅ )×̅ = −λ(̅ ×̅ ) = λ(̅ ×̅ )

̅×(̅+̅с) = −(̅+̅с)×̅ = −(̅×̅+̅с×̅) =̅×̅+̅×̅с.

17. Записати формулу для обчислення векторного добутку у правому ортонормованому базисі.

̅ = { , }, ̅ = { , }.

18. Дати визначення змішаного добутку векторів.

Змішаним творомтрьох векторів̅ ,̅ ,с̅ називають число, що дорівнює (̅ ×̅ )с̅ - скалярному твору векторного твору перших двох векторів та третього вектора.

19. Сформулювати властивість перестановки (кососиметричності) змішаного твору.

Для змішаного твору діє правило циклічної перестановки:

Ці властивості змішаного твору сформульовані для першого співмножника. Однак за допомогою циклічної перестановки можна довести аналогічні

затвердження й у другого й у третього співмножників, тобто. вірні рівності

̅ (λ̅ )̅с = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ ̅ (λ̅с ) = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ (̅̅̅ 1 +̅̅̅ 2 )̅с =̅ ̅̅ 1 ̅ 1 +̅ 2 ) =̅ ̅ ̅ 1 +̅ ̅ ̅ 2 ,

і в результаті маємо властивість лінійності змішаного твору по кожному співмножнику.

21. Записати формулу для обчислення змішаного твору у правому ортонормованому базисі.

̅ = { , }, ̅ = { , }, ̅= { , }

22. Записати загальне рівняння площини та рівняння "у відрізках". Пояснити геометричний зміст параметрів, що входять до цих рівнянь.

Рівняння Ax + By + Cz + D = 0 називають загальним рівнянням площини. Коефіцієнти A, B, C при невідомих у цьому рівнянні мають наочний геометричний зміст: вектор n = (A; B; C) перпендикулярний площині. Його називають нормальним вектором площини. Він, як і загальне рівняння площини, визначається з точністю до (ненульового) числового множника.

Рівняння + + = 1 називають рівнянням площини у відрізках, де a, b, c –

відповідні координати точок лежачих на осях OX, OY та OZ відповідно.

23. Записати рівняння площини, що проходить через 3 дані.

Нехай 1 (1, 1, 1), 2 (2, 2, 2), 3 (3, 3, 3) – задані точки, а точка M(x, y, z) – точка, що належить площині, утвореної точками1, 2 і 3 тоді рівняння площини має

24. Сформулювати умови паралельності та перпендикулярності двох площин.

Дві площини перпендикулярні, якщо їх нормальні вектори ортогональні .

Дві площини паралельні, якщо їх нормальні вектори колінеарні.

25. Записати формулу на відстані від точки до площини, заданої загальним рівнянням.

Для знаходження відстані від точки 0 (0, 0, 0) до площини

: + + + = 0 використовується формула:(,) = | 0+0+0+ |

√ 2 +2 +2

26. Записати канонічні та параметричні рівняння прямої у просторі. Пояснити геометричний зміст параметрів, що входять до цих рівнянь.

Рівняння ( = 0 + , де (l; m; n) - координати напрямного вектора прямий L і

1 (1,1,1) і 2 (2,2,2).

28. Записати умову приналежності двох прямих однієї площини.

Нехай а і b - напрямні вектори цих прямих, а точки M1 і M2 належать відповідно до прямих il 1 іl 2 . Тоді дві прямі належать до однієї площини, якщо змішаний добуток (a, b, M1 M2 ) дорівнює 0.

29. Записати формулу для відстані від точки до прямої у просторі.

Відстань від точки 1 до прямої L може бути обчислена за формулою:

30. Записати формулу для відстані між прямими, що схрещуються.

Відстань між схрещувальними прямими 1 і 2 може бути обчислена за формулою:

що належать прямим.

1. Довести геометричний критерій лінійної залежності трьох векторів.

Три вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони є компланарними.

Доведення:

Якщо три вектори ̅ ,̅ ,̅ лінійно залежні, то, згідно з теоремою 2.1 (про лінійну залежність векторів), один з них, наприклад, є лінійною комбінацією інших: ̅ = β̅ + γ̅ . Сумісний початок векторів̅ і̅ у точці A. Тоді вектори β̅ , γ̅ матимуть загальний початок у точці A і з правилу паралелограма їх сума, тобто. вектор , буде вектор з початком A і кінцем, що є вершиною паралелограма, побудованого на векторах доданих. Отже, всі вектори лежать у одній площині, тобто. компланарні.

Нехай вектори ̅ ,̅ ,̅ компланарні. Якщо один із цих векторів є нульовим, то очевидно, що він буде лінійною комбінацією інших. Достатньо всі коефіцієнти лінійної комбінації взяти рівними нулю. Тому можна вважати, що всі три вектори не є нульовими. Сумісний початок цих векторів у загальній точці O. Нехай їх кінцями будуть відповідно точки A, B, C (рис. 2.1). Через точку C проведемо прямі, паралельні прямим, що проходить через пари точок O, A та O, B. Позначивши точки перетину через A' та B', отримаємо

вектор в базис.

Доказ: (для i = 2)

(̅1, ̅2) – базис 2, ̅2

За визначенням простору V2: x, e1, e2 – компланарні => (критерій лінійної залежності 3-х векторів) => ̅ ,̅ 1 , ̅ 2 лінійно залежні =>0 , 1 , 2 .

0 ̅+1 ̅1 +2 ̅2 = 0̅ ,0 2 +1 2 +2 2 ≠ 0

1 випадок: 0 = 0 , тоді1 1 + 2 2 = 0 ,1 2 + 2 2 0 , значить1, 2 - лінійно залежні (1, 2) - лін. завис. ̅ 1 та ̅ 2 колінеарні.

2 випадок: 0 ≠ 0

̅= (−1) ̅1 + (−2) ̅2 0 0

Довели існування.

Нехай існує 2 уявлення:

̅= 1 ̅1 +2 ̅2

Різниця:

0 ̅ = ̅− ̅= 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 − 1 ̅ 1 − 2 ̅ 2 = (1 − 1 )̅ 1 + (2 − 2 )̅ 2 => лінійно залежні, а це суперечить визначенню базису.

3. Довести властивість лінійності скалярного добутку.

Спільно з множенням на число операція скалярного множення асоціативна: (λ ) =

λ(̅ ̅ ).

Скалярне множення та додавання векторів пов'язані властивістю дистрибутивності: (̅ +̅ )с̅

= ̅ с̅+ ̅ с̅.

Що й потрібно було довести.

4. Вивести формулу для обчислення скалярного добутку векторів, що задані в ортонормованому базисі.

Висновок формули для обчислення скалярного добутку векторів, заданих ортонормированном базисі.

Нехай вектори ̅ и̅ из3 задані своїми координатами в ортонормованому базисі,̅ ,̅ ̅ :̅ = ( ; ; ),̅ = ( ; ; ). Це означає, що є розкладання = = + + + + ,

̅ =̅ +̅ +̅ . Використовуючи їх та властивості скалярного твору, обчислимо

̅̅ = (̅+ ̅+̅ )(̅+ ̅+̅ )

= + + + + + .

Остаточну відповідь отримано з урахуванням того, що ортонормованість базису, ,

̅ означає виконання рівностей̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, 2 ̅= 2 ̅= 2 = 1 . Таким чином,

̅ ̅ = + +

5. Вивести формулу для обчислення векторного добутку векторів, заданих у правому ортонормованому базисі.

Висновок формули для обчислення векторного добутку векторів, заданих у ортонормованому базисі.

Щоб спростити отриману формулу, зауважимо, що вона схожа на формулу розкладання визначника третього порядку по 1 рядку, тільки замість числових коефіцієнтів стоять вектори. Тому можна записати цю формулу як визначник, який обчислюється за звичайними правилами. Два рядки цього визначника складатимуться з чисел, а один - із векторів. Отже, формулу обчислення векторного твору в правому ортонормованому базисі, , , можна записати у вигляді:

6. Довести властивість лінійності змішаного твору.

Використовуючи властивості змішаного твору, можна довести лінійність векторного.

твори за першим множником:

(̅ + ̅ , ̅)= (̅,)̅+ (̅ ,)̅

Для цього знайдемо скалярний добуток вектора в лівій частині рівності та одиничного вектора стандартного базису. Враховуючи лінійність змішаного твору по другому множнику,

отримуємо

тобто. абсциса вектора, що стоїть у лівій частині рівності, що доводиться дорівнює абсцисі вектора в правій його частині. Аналогічно доводимо, що ординати, а також аплікати, векторів в обох частинах рівності відповідно рівні. Отже, це рівні вектори, оскільки їх координати щодо стандартного базису збігаються.

7. Вивести формулу для обчислення змішаного добутку трьох векторів у правому ортонормованому базисі.

Висновок формули для обчислення змішаного добутку трьох векторів у правому ортонормованому базисі.

8. Вивести формулу для відстані від точки до площини, заданої загальним рівнянням.

Висновок формули відстані від точки до площині, заданої загальним рівнянням.

Розглянемо у просторі деяку площину π і довільну точку 0 . Виберемо

для площини одиничний нормальний вектор n з початком в деякій точці 1 π і нехай ρ(0 ,

оскільки | ̅ | = 1.

= |0 +0 +0 + | √2 +2 +2

оскільки 1 + 1 + 1 = −. Отже, щоб обчислити відстань від точки до площини потрібно підставити координати точки в загальне рівняння площини, а потім абсолютну величину результату розділити на множник, що нормує, рівний довжині відповідного нормального вектора.

9. Вивести формулу для відстані від точки до прямої у просторі.

Висновок формули для відстані від точки до прямої у просторі.

Відстань від точки 1 (1 , 1 , 1 ) до прямої L, заданої канонічними рівняннями L:− 0 = − 0 = − 0 може бути обчислена за допомогою векторного добутку. Справді,

канонічні рівняння прямої дають нам точку 0 (0, 0, 0) на прямій

і напрямний вектор ? = (l; m; n) цієї прямої. Побудуємо паралелограм на векторах ̅ і̅̅̅̅̅̅̅̅̅ .

Тоді відстань від точки 1 до прямої L дорівнюватиме висоті h паралелограма (рис. 6.6).

Отже, потрібна відстань може бути обчислена за формулою

10. Вивести формулу для відстані між прямими, що схрещуються.

Висновок формули для відстані між прямими, що схрещуються.

Відстань між схрещувальними прямими можна знаходити, використовуючи змішане

схрещуються, їх напрямні вектори 1 ,2 і вектор1 2 з'єднує точки на прямих, некомпланарні. Тому на них можна побудувати паралелепіпед (рис. 6.7).

Тоді відстань між прямими дорівнює висоті h цього паралелепіпеда. У свою чергу, висоту паралелепіпеда можна обчислити як відношення обсягу паралелепіпеда до площі його основи. Об'єм паралелепіпеда дорівнює модулю змішаного добутку трьох зазначених векторів, а площа паралелограма на підставі паралелепіпеда дорівнює модулю векторного добутку напрямних векторів прямих. В результаті одержуємо формулу для відстані

(1 , 2 ) між прямими:	̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅
(1 ,2 ) =	| 1 2	1 2|
		Поділіться у соціальних мережах! Оцініть статтю: (1оцінок, у середньому: 5,00із 5) Loading... Корисні статті Як врятувати сина від привороту жінки Як матері позбавити сина від коханки Козеріг та діва сумісність у любовних відносинах Як забрати енергію у людини?