Якщо підстави логарифмів однакові, то показники. Властивості логарифмів та приклади їх рішень. Вичерпний гід (2019)

Продовжуємо вивчати логарифми. У цій статті ми поговоримо про обчислення логарифмів, цей процес називають логарифмуванням. Спочатку ми розберемося з обчисленням логарифмів за визначенням. Далі розглянемо, як знаходять значення логарифмів з їх властивостей. Після цього зупинимося на обчисленні логарифмів через задані значення інших логарифмів. Нарешті, навчимося використовувати таблиці логарифмів. Вся теорія має приклади з докладними рішеннями.

Навігація на сторінці.

Обчислення логарифмів за визначенням

У найпростіших випадках можна досить швидко і легко виконати знаходження логарифму за визначенням. Давайте докладно розглянемо, як відбувається цей процес.

Його суть полягає в поданні числа b у вигляді a c , звідки визначення логарифму число c є значенням логарифму. Тобто, знаходження логарифму за визначенням відповідає наступний ланцюжок рівностей: log a b = log a a c = c.

Отже, обчислення логарифму за визначенням зводиться до знаходження такого числа c , що a c = b , а саме c є значення логарифму.

Враховуючи інформацію попередніх абзаців, коли число під знаком логарифму задано деяким ступенем заснування логарифму, то можна відразу вказати, чому дорівнює логарифм – він дорівнює показнику ступеня. Покажемо рішення прикладів.

приклад.

Знайдіть log 2 2 −3, а також обчисліть натуральний логарифм числа e 5,3.

Рішення.

Визначення логарифму дозволяє нам відразу сказати, що log 2 2 −3 =−3 . Дійсно, число під знаком логарифму дорівнює підставі 2 -3 ступеня.

Аналогічно знаходимо другий логарифм: lne 5,3 = 5,3.

Відповідь:

log 2 2 −3 =−3 та lne 5,3 =5,3 .

Якщо ж число b під знаком логарифму не задано як ступінь основи логарифму, потрібно уважно подивитися, чи можна дійти уявлення числа b як a c . Часто таке уявлення буває досить очевидним, особливо коли число під знаком логарифму дорівнює підставі в ступені 1, або 2, або 3, ...

приклад.

Обчисліть логарифми log 5 25 і .

Рішення.

Нескладно помітити, що 25 = 5 2 це дозволяє обчислювати перший логарифм: log 5 25 = log 5 5 2 = 2 .

Переходимо до обчислення другого логарифму. Число можна представити у вигляді ступеня числа 7: (за потреби дивіться ). Отже, .

Перепишемо третій логарифм у такому вигляді. Тепер можна побачити, що , звідки укладаємо, що . Отже, за визначенням логарифму .

Коротко рішення можна було записати так: .

Відповідь:

log 5 25 = 2, і .

Коли під знаком логарифму знаходиться досить велике натуральне число, його не завадить розкласти на прості множники. Це часто допомагає уявити таке число у вигляді певної міри підстави логарифму, отже, обчислити цей логарифм за визначенням.

приклад.

Знайдіть значення логарифму.

Рішення.

Деякі властивості логарифмів дозволяють одразу вказати значення логарифмів. До таких властивостей відносяться властивість логарифму одиниці та властивість логарифму числа, що дорівнює основі: log 1 1 = log a a 0 = 0 і log a a = log a a 1 = 1 . Тобто коли під знаком логарифму знаходиться число 1 або число a , рівне підставі логарифму, то в цих випадках логарифми рівні 0 і 1 відповідно.

приклад.

Чому рівні логарифми та lg10?

Рішення.

Оскільки , то з визначення логарифму випливає .

У другому прикладі число 10 під знаком логарифму збігається з його основою, тому десятковий логарифм десяти дорівнює одиниці, тобто lg10=lg10 1 =1 .

Відповідь:

І lg10=1.

Зазначимо, що обчислення логарифмів за визначенням (яке ми розібрали в попередньому пункті) має на увазі використання рівності log a a p =p, яка є однією з властивостей логарифмів.

На практиці, коли число під знаком логарифму та основа логарифму легко видаються у вигляді ступеня деякого числа, дуже зручно використовувати формулу , Що відповідає одному з властивостей логарифмів. Розглянемо приклад знаходження логарифму, що ілюструє використання цієї формули.

приклад.

Обчисліть логарифм.

Рішення.

Відповідь:

Не згадані вище властивості логарифмів також використовуються для обчислення, але про це поговоримо в наступних пунктах.

Знаходження логарифмів через інші відомі логарифми

Інформація цього пункту продовжує тему використання властивостей логарифмів під час їх обчислення. Але тут основна відмінність полягає в тому, що властивості логарифмів використовуються для того, щоб виразити вихідний логарифм через інший логарифм, значення якого відомо. Наведемо приклад пояснення. Припустимо, ми знаємо, що log 2 3≈1,584963 тоді ми можемо знайти, наприклад, log 2 6 , виконавши невелике перетворення за допомогою властивостей логарифму: log 2 6=log 2 (2·3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

У наведеному прикладі нам було достатньо використати властивість логарифму твору. Однак набагато частіше доводиться застосовувати ширший арсенал властивостей логарифмів, щоб обчислити вихідний логарифм через задані.

приклад.

Обчисліть логарифм 27 на підставі 60 якщо відомо, що log 60 2=a і log 60 5=b .

Рішення.

Отже, нам потрібно знайти log 60 27 . Нескладно помітити, що 27=3 3 і вихідний логарифм в силу властивості логарифму ступеня можна переписати як 3 log 60 3 .

Тепер подивимося, як log 60 3 виразити через відомі логарифми. Властивість логарифму числа, що дорівнює основі, дозволяє записати рівність log 60 60 = 1 . З іншого боку log 60 60 = log60 (2 2 · 3 · 5) = log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Таким чином, 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Отже, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Нарешті, обчислюємо вихідний логарифм: log 60 27 = 3 · log 60 3 = 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Відповідь:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Окремо варто сказати про значення формули переходу до нової основи логарифму виду . Вона дозволяє від логарифмів з будь-якими основами переходити до логарифмів з конкретною основою, значення яких відомі або є можливість їх відшукати. Зазвичай від вихідного логарифму за формулою переходу переходять до логарифм по одній з підстав 2 , e або 10 , так як з цих підстав існують таблиці логарифмів, що дозволяють з певним ступенем точності обчислювати їх значення. У цьому пункті ми покажемо, як це робиться.

Таблиці логарифмів, їх використання

Для наближеного обчислення значень логарифмів можна використовувати таблиці логарифмів. Найчастіше використовується таблиця логарифмів на підставі 2 таблиця натуральних логарифмів і таблиця десяткових логарифмів. При роботі в десятковій системі числення зручно користуватися таблицею логарифмів на підставі десять. З її допомогою і вчитимемося знаходити значення логарифмів.

Подана таблиця дозволяє з точністю до однієї десятитисячної знаходити значення десяткових логарифмів чисел від 1000 до 9999 (з трьома знаками після коми). Принцип знаходження значення логарифму за допомогою таблиці десяткових логарифмів розберемо на конкретному прикладі так зрозуміло. Знайдемо lg1,256.

У лівому стовпці таблиці десяткових логарифмів знаходимо дві перші цифри числа 1,256, тобто, знаходимо 1,2 (це для наочності обведено синьою лінією). Третю цифру числа 1,256 (цифру 5) знаходимо в першому або останньому рядку зліва від подвійної лінії (це число обведене червоною лінією). Четверту цифру вихідного числа 1,256 (цифру 6) знаходимо в першому або останньому рядку праворуч від подвійної лінії (це число обведене зеленою лінією). Тепер знаходимо числа в осередках таблиці логарифмів на перетині зазначеного рядка та зазначених стовпців (ці числа виділені оранжевим кольором). Сума зазначених чисел дає значення десяткового логарифму з точністю до четвертого знака після коми, тобто, lg1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

А чи можна, використовуючи наведену таблицю, знаходити значення десяткових логарифмів чисел, що мають більше трьох цифр після коми, а також за межі від 1 до 9,999? Так можна. Покажемо, як це робиться на прикладі.

Обчислимо lg102,76332. Спочатку потрібно записати число у стандартному вигляді: 102,76332 = 1,0276332 · 10 2 . Після цього мантису слід округлити до третього знака після коми, маємо 1,0276332·10 2 ≈1,028·10 2, при цьому вихідний десятковий логарифм приблизно дорівнює логарифму отриманого числа, тобто, приймаємо lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Тепер застосовуємо властивості логарифму: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Нарешті, знаходимо значення логарифму lg1,028 по таблиці десяткових логарифмів lg1,028 0,0086 +0,0034 = 0,012 . У результаті весь процес обчислення логарифму виглядає так: lg102,76332=lg1,0276332·10 2 ≈lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Насамкінець варто відзначити, що використовуючи таблицю десяткових логарифмів можна обчислити наближене значення будь-якого логарифму. Для цього достатньо за допомогою формули переходу перейти до десяткових логарифмів, знайти їх значення по таблиці, і виконати обчислення, що залишилися.

Наприклад обчислимо log 2 3 . За формулою переходу до нової основи логарифму маємо. З таблиці десяткових логарифмів знаходимо lg3 ≈ 0,4771 та lg2 ≈ 0,3010 . Таким чином, .

Список літератури.

Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Логарифмом числа N на підставі а називається показник ступеня х , в яку потрібно звести а , щоб отримати число N

За умови, що
,
,

З визначення логарифму випливає, що
, тобто.
- ця рівність є основною логарифмічною тотожністю.

Логарифми на підставі 10 називаються десятковими логарифмами. Замість
пишуть
.

Логарифми на підставі e називаються натуральними та позначаються
.

Основні властивості логарифмів.

Логарифм одиниці за будь-якої підстави дорівнює нулю

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників.

3) Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів

Множник
називається модулем переходу від логарифмів на підставі a до логарифмів на підставі b .

За допомогою властивостей 2-5 часто вдається звести логарифм складного виразу результату простих арифметичних дій над логарифмами.

Наприклад,

Такі перетворення логарифму називаються логарифмуванням. Перетворення зворотні логарифмування називаються потенціюванням.

Розділ 2. Елементи вищої математики.

1. Межі

Межею функції
є кінцеве число А, якщо при прагненні xx 0 для кожного наперед заданого
, знайдеться таке число
, що як тільки
, то
.

Функція, що має межу, відрізняється від нього на нескінченно малу величину:
, де -б.м.в., тобто.
.

приклад. Розглянемо функцію
.

При прагненні
, функція y прагне до нуля:

1.1. Основні теореми про межі.

Межа постійної величини дорівнює цій постійній величині

Межа суми (різниці) кінцевого числа функцій дорівнює сумі (різниці) меж цих функцій.

Межа добутку кінцевого числа функцій дорівнює добутку меж цих функцій.

Межа частки двох функцій дорівнює приватній межі цих функцій, якщо межа знаменника не дорівнює нулю.

Чудові межі

,
, де

1.2. Приклади обчислення меж

Однак не всі межі обчислюються так просто. Найчастіше обчислення межі зводиться до розкриття невизначеності типу: або .

2. Похідна функції

Нехай ми маємо функцію
, безперервну на відрізку
.

Аргумент отримав деякий приріст
. Тоді і функція отримає збільшення
.

Значення аргументу відповідає значення функції
.

Значення аргументу
відповідає значення функції.

Отже, .

Знайдемо межу цього відношення при
. Якщо ця межа існує, то вона називається похідною цієї функції.

Визначення 3Виробної даної функції
за аргументом називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу, коли збільшення аргументу довільним чином прагне до нуля.

Похідна функції
може бути позначена таким чином:

; ; ; .

Визначення 4Операція знаходження похідної від функції називається диференціюванням.

2.1. Механічний сенс похідної.

Розглянемо прямолінійний рух деякого твердого тіла чи матеріальної точки.

Нехай у певний момент часу точка, що рухається
знаходилась на відстані від початкового становища
.

Через деякий проміжок часу
вона перемістилася на відстань
. Ставлення =- Середня швидкість матеріальної точки
. Знайдемо межу цього відношення, враховуючи що
.

Отже визначення миттєвої швидкості руху матеріальної точки зводиться до знаходження похідної від шляху за часом.

2.2. Геометричне значення похідної

Нехай ми маємо графічно задану деяку функцію
.

Мал. 1. Геометричний зміст похідної

Якщо
, то крапка
, буде переміщатися кривою, наближаючись до точки
.

Отже
, тобто. значення похідної за даного значення аргументу чисельно дорівнює тангенсу кута утвореного дотичної в даній точці з позитивним напрямом осі
.

2.3. Таблиця основних формул диференціювання.

Ступінна функція

Показова функція

Логарифмічна функція

Тригонометрична функція

Зворотна тригонометрична функція

2.4. Правила диференціювання.

Похідна від

Похідна суми (різниці) функцій

Похідна робота двох функцій

Похідна приватного двох функцій

2.5. Похідна від складної функції.

Нехай дана функція
така, що її можна подати у вигляді

і
, де змінна є проміжним аргументом, тоді

Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу по x.

Приклад1.

Приклад2.

3. Диференціал функції.

Нехай є
, що диференціюється на деякому відрізку
і нехай у цієї функції є похідна

тоді можна записати

(1),

де - нескінченно мала величина,

так як при

Помножуючи всі члени рівності (1) на
маємо:

Де
- Б.М.В. вищого ладу.

Величина
називається диференціалом функції
і позначається

3.1. Геометричне значення диференціалу.

Нехай дана функція
.

Рис.2. Геометричний зміст диференціала.

Очевидно, що диференціал функції
дорівнює приросту ординати дотичної в цій точці.

3.2. Похідні та диференціали різних порядків.

Якщо є
тоді
називається першою похідною.

Похідна від першої похідної називається похідною другого порядку та записується
.

Похідний n-го порядку від функції
називається похідна (n-1)-го порядку та записується:

Диференціал від диференціалу функції називається другим диференціалом чи диференціалом другого порядку.

.

.

3.3 Розв'язання біологічних завдань із застосуванням диференціювання.

Задача1. Дослідження показали, що зростання колонії мікроорганізмів підпорядковується закону
, де N – чисельність мікроорганізмів (у тис.), t -Час (Дні).

б) Чи буде в цей період чисельність колонії збільшуватися чи зменшуватись?

Відповідь. Чисельність колонії збільшуватиметься.

Задача 2. Вода в озері періодично тестується контролю вмісту хвороботворних бактерій. Через t днів після тестування концентрація бактерій визначається співвідношенням

Коли в озері настане мінімальна концентрація бактерій і чи можна буде в ньому купатися?

РішенняФункція досягає max або min, коли її похідна дорівнює нулю.

Визначимо max чи min буде через 6 днів. Для цього візьмемо другу похідну.

Відповідь: Через 6 днів буде мінімальна концентрація бактерій.

У центрі уваги цієї статті – логарифм. Тут ми дамо визначення логарифму, покажемо прийняте позначення, наведемо приклади логарифмів, і скажемо про натуральні та десяткові логарифми. Після цього розглянемо основну логарифмічну тотожність.

Навігація на сторінці.

Визначення логарифму

Поняття логарифма виникає під час вирішення завдання у сенсі зворотної , коли необхідно визначити показник ступеня за відомим значенням ступеня і відомому підставі.

Але вистачить передмов, настав час відповісти на запитання «що таке логарифм»? Дамо відповідне визначення.

Визначення.

Логарифм числа b на підставі a, де a>0 , a≠1 і b>0 – це показник ступеня, який потрібно звести число a , щоб у результаті отримати b .

На цьому етапі зауважимо, що вимовлене слово «логарифм» має відразу викликати два питання: «якого числа» і «з якої підстави». Інакше кажучи, просто логарифма немає, а є лише логарифм числа з деякому підставі.

Відразу введемо позначення логарифму: логарифм числа b на основі a прийнято позначати як log a b . Логарифм числа b на підставі e і логарифм на підставі 10 мають свої спеціальні позначення lnb і lgb відповідно, тобто, пишуть не log e b , а lnb і не log 10 b , а lgb .

Тепер можна навести: .
А записи немає сенсу, оскільки у першій їх під знаком логарифма перебуває негативне число, у другій – негативне число основу, а третій – і негативне число під знаком логарифму і одиниця основу.

Тепер скажемо про правила читання логарифмів. Запис log a b читається як «логарифм b на основі a ». Наприклад, log 2 3 - це логарифм трьох з основи 2 , а - це логарифм двох цілих двох третіх з основи квадратний корінь з п'яти. Логарифм на основі e називають натуральним логарифмома запис lnb читається як «натуральний логарифм b». Наприклад, ln7 – це натуральний логарифм семи, а ми прочитаємо як натуральний логарифм пі. Логарифм на підставі 10 також має спеціальну назву – десятковий логарифм, а запис lgb читається як «десятковий логарифм b». Наприклад, lg1 – це десятковий логарифм одиниці, а lg2,75 – десятковий логарифм двох цілих сімдесяти п'яти сотих.

Варто окремо зупинитися на умовах a>0, a≠1 і b>0, за яких дається визначення логарифму. Пояснимо, звідки беруться ці обмеження. Зробити це допоможе рівності виду , зване , яке безпосередньо випливає з цього вище визначення логарифму.

Почнемо з a≠1. Так як одиниця в будь-якій мірі дорівнює одиниці, то рівність може бути справедливою лише при b = 1, але при цьому log 1 може бути будь-яким дійсним числом. Щоб уникнути цієї багатозначності і приймається a≠1.

Обгрунтуємо доцільність умови a>0. При a = 0 за визначенням логарифму ми мали рівність , яке можливе лише за b = 0 . Але тоді log 0 0 може бути будь-яким відмінним від нуля дійсним числом, так як нуль у будь-якому відмінному від нуля ступені є нуль. Уникнути цієї багатозначності дозволяє умова a≠0. А при a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Нарешті, умова b>0 випливає з нерівності a>0 , оскільки , а значення ступеня з позитивною основою завжди позитивно.

На закінчення цього пункту скажемо, що озвучене визначення логарифму дозволяє відразу вказати значення логарифму, коли під знаком логарифму є певний ступінь підстави. Дійсно, визначення логарифму дозволяє стверджувати, що якщо b=a p , то логарифм числа b на підставі a дорівнює p . Тобто справедливо рівність log a a p = p . Наприклад, знаємо, що 2 3 =8 , тоді log 2 8=3 . Докладніше про це ми поговоримо у статті

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

У співвідношенні

може бути завдання знайти будь-якого з трьох чисел за двома іншими, заданим. Якщо дані а то N знаходять дією зведення в ступінь. Якщо дані N і то а знаходять вилученням кореня ступеня х (або зведенням у ступінь). Тепер розглянемо випадок, коли з заданим а і N потрібно знайти х.

Нехай число N позитивно: число а позитивно і дорівнює одиниці: .

Визначення. Логарифмом числа N на підставі а називається показник ступеня, в який потрібно звести а, щоб отримати число N; логарифм позначається через

Таким чином, у рівності (26.1) показник ступеня знаходять як логарифм N на підставі а. Записи

мають однаковий зміст. Рівність (26.1) іноді називають основною тотожністю теорії логарифмів; насправді воно висловлює визначення поняття логарифму. За цим визначенням основа логарифму завжди позитивно і від одиниці; логарифмується N позитивно. Негативні числа та нуль логарифмів не мають. Можна довести, що всяке число при даній підставі має певний логарифм. Тому рівність тягне за собою. Зауважимо, що тут істотно умова інакше висновок було б обгрунтований, оскільки рівність вірно за будь-яких значеннях х і у.

Приклад 1. Знайти

Рішення. Для отримання числа слід звести основу 2 у ступінь Тому.

Можна проводити записи при вирішенні таких прикладів у такій формі:

Приклад 2. Знайти.

Рішення. Маємо

У прикладах 1 і 2 ми легко знаходили шуканий логарифм, представляючи число, що логарифмується, як ступінь підстави з раціональним показником. У випадку, наприклад і т. буд., цього зробити вдасться, оскільки логарифм має ірраціональне значення. Звернімо увагу на одне пов'язане з цим твердженням питання. У п. 12 ми дали поняття про можливість визначення будь-якого дійсного ступеня цього позитивного числа. Це було необхідне запровадження логарифмів, які, взагалі кажучи, може бути ірраціональними числами.

Розглянемо деякі властивості логарифмів.

Властивість 1. Якщо число і основа рівні, то логарифм дорівнює одиниці, і, якщо логарифм дорівнює одиниці, то число і основа рівні.

Доведення. Нехай За визначенням логарифму маємо а звідки

Назад, нехай Тоді за визначенням

Властивість 2. Логарифм одиниці з будь-якої основи дорівнює нулю.

Доведення. За визначенням логарифму (нульовий ступінь будь-якої позитивної основи дорівнює одиниці, див. (10.1)). Звідси

що й потрібно було довести.

Правильне і зворотне твердження: якщо , то N = 1. Дійсно, маємо .

Перш ніж сформулювати таку властивість логарифмів, умовимося говорити, що два числа а і b лежать по одну сторону від третього числа с, якщо вони обидва або більше, або менше с. Якщо одне з цих чисел більше с, а інше менше с, то говоритимемо, що вони лежать по різні боки від с.

Властивість 3. Якщо число і основа лежать з одного боку від одиниці, то логарифм позитивний; якщо число та основа лежать по різні боки від одиниці, то логарифм негативний.

Доказ властивості 3 заснований на тому, що ступінь а більше одиниці, якщо основа більше одиниці і показник позитивний або основа менше одиниці і показник негативний. Ступінь менше одиниці, якщо основа більша за одиницю і показник від'ємний або основа менша за одиницю і показник позитивний.

Потрібно розглянути чотири випадки:

Обмежимося розбором першого їх, інші читач розгляне самостійно.

Нехай тоді рівності показник ступеня може бути ні негативним, ні рівним нулю, отже, він позитивний, т. е. що потрібно було довести.

Приклад 3. З'ясувати, які із наведених нижче логарифмів позитивні, які негативні:

Рішення, а) оскільки число 15 і основа 12 розташовані по один бік від одиниці;

б) , оскільки 1000 та 2 розташовані по один бік від одиниці; при цьому несуттєво, що підстава більша за число, що логарифмується;

в) , оскільки 3,1 та 0,8 лежать по різні боки від одиниці;

г); чому?

д); чому?

Наступні властивості 4-6 часто називають правилами логарифмування: вони дозволяють, знаючи логарифми деяких чисел, знайти логарифми їхнього твору, приватного, ступеня кожного з них.

Властивість 4 (правило логарифмування твору). Логарифм добутку кількох позитивних чисел з цієї підстави дорівнює сумі логарифмів цих чисел з тієї ж підстави.

Доведення. Нехай дані позитивні числа.

Для логарифму їхнього твору напишемо визначальну логарифм рівність (26.1):

Звідси знайдемо

Порівнявши показники ступеня першого та останнього виразів, отримаємо необхідну рівність:

Зауважимо, що умова суттєво; логарифм добутку двох негативних чисел має сенс, але в цьому випадку отримаємо

У випадку, якщо добуток кількох співмножників позитивно, його логарифм дорівнює сумі логарифмів модулів цих співмножників.

Властивість 5 (правило логарифмування приватного). Логарифм приватного позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника, взятих з тієї ж підстави. Доведення. Послідовно знаходимо

що й потрібно було довести.

Властивість 6 (правило логарифмування ступеня). Логарифм ступеня якогось позитивного числа дорівнює логарифму цього числа, помноженого на показник ступеня.

Доведення. Запишемо знову основну тотожність (26.1) для числа:

що й потрібно було довести.

Слідство. Логарифм кореня з позитивного числа дорівнює логарифму підкореного числа, поділеному на показник кореня:

Довести справедливість цього слідства можна, представивши, як і скориставшись властивістю 6.

Приклад 4. Прологарифмувати на підставі а:

а) (передбачається, що всі величини b, с, d, е позитивні);

б) (передбачається, що).

Рішення, а) Зручно перейти в даному виразі до дробових ступенів:

На підставі рівностей (26.5)-(26.7) тепер можна записати:

Ми зауважуємо, що над логарифмами чисел виконуються дії простіші, ніж над самими числами: при множенні чисел їх логарифми складаються, при розподілі - віднімаються і т.д.

Саме тому логарифми набули застосування у обчислювальній практиці (див. п. 29).

Дія, зворотне логарифмування, називається потенціюванням, а саме: потенціюванням називається дія, за допомогою якого за даним логарифмом числа знаходиться саме це число. По суті потенціювання не є якоюсь особливою дією: воно зводиться до зведення підстави в ступінь (рівну логарифму числа). Термін "потенціювання" можна вважати синонімом терміна "зведення в ступінь".

При потенціювання треба користуватися правилами, зворотними по відношенню до правил логарифмування: суму логарифмів замінити логарифмом твору, різниця логарифмів - логарифмом приватного і т. д. Зокрема, якщо перед знаком логарифму знаходиться якийсь множник, то його при потенці ступінь під знак логарифму.

Приклад 5. Знайти N, якщо відомо, що

Рішення. У зв'язку з щойно висловленим правилом потенціювання множники 2/3 і 1/3, які стоять перед знаками логарифмів у правій частині цієї рівності, перенесемо до показників ступеня під знаками цих логарифмів; отримаємо

Тепер різницю логарифмів замінимо логарифмом приватного:

для отримання останнього дробу у цьому ланцюжку рівностей ми попередній дріб звільнили від ірраціональності у знаменнику (п. 25).

Властивість 7. Якщо основа більше одиниці, то більше число має більший логарифм (а менше - менший), якщо основа менше одиниці, то більше число має менший логарифм (а менше - більший).

Цю властивість формулюють також як правило логарифмування нерівностей, обидві частини яких позитивні:

При логарифмуванні нерівностей з основи, більшої одиниці, знак нерівності зберігається, а при логарифмуванні з основи, меншої одиниці, знак нерівності змінюється на протилежний (див. також п. 80).

Доказ заснований на властивості 5 і 3. Розглянемо випадок, коли Якщо , то і, логарифмуючи, отримаємо

(а та N/М лежать по один бік від одиниці). Звідси

Випадок отже, читач розбере самостійно.