Формула обчислення циклічної частоти. Що таке частота коливань? Період загасаючих коливань Т

Гармонічні коливання - коливання, які здійснюються за законами синуса та косинуса. На наступному малюнку представлений графік зміни координати точки з часом за законом косинуса.

малюнок

Амплітуда коливань

Амплітудою гармонійного коливання називається найбільше значення усунення тіла від положення рівноваги. Амплітуда може набувати різних значень. Вона залежатиме від того, наскільки ми змістимо тіло в початковий час від положення рівноваги.

Амплітуда визначається початковими умовами, тобто енергією тілу, що повідомляється в початковий момент часу. Так як синус і косинус можуть набувати значення в діапазоні від -1 до 1, то в рівнянні повинен бути множник Xm, що виражає амплітуду коливань. Рівняння руху при гармонійних коливаннях:

x = Xm * cos (ω0 * t).

Період коливань

Період коливань – це час здійснення одного повного коливання. Період коливання позначається буквою Т. Одиниці виміру періоду відповідають одиницям часу. Тобто в СІ – це секунди.

Частота коливань – кількість коливань скоєних за одиницю часу. Частота коливань позначається буквою ν. Частоту коливань можна виразити через період коливання.

ν = 1/Т.

Одиниці вимірювання частоти СІ 1/сек. Ця одиниця виміру отримала назву Герца. Число коливань за час 2*pi секунд дорівнюватиме:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Частота коливань

Ця величина називається циклічною частотою коливань. У деякій літературі трапляється назва кругова частота. Власна частота коливальної системи – частота вільних коливань.

Частота власних коливань розраховується за такою формулою:

Частота своїх коливань залежить від властивостей матеріалу та маси вантажу. Чим більша жорсткість пружини, тим більша частота власних коливань. Чим більша маса вантажу, тим менша частота власних коливань.

Ці два висновки очевидні. Чим жорсткіша пружина, тим більше прискорення вона повідомить тілу, при виведенні системи з рівноваги. Чим більша маса тіла, тим повільніше змінюватиметься ця швидкість цього тіла.

Період вільних коливань:

T = 2 * pi / ω0 = 2 * pi * √ (m / k)

Примітний той факт, що при малих кутах відхилення період коливання тіла на пружині та період коливання маятника не залежатимуть від амплітуди коливань.

Запишемо формули періоду та частоти вільних коливань для математичного маятника.

тоді період дорівнюватиме

T = 2*pi*√(l/g).

Ця формула буде справедлива лише малих кутів відхилення. З формули бачимо, що період коливань зростає із збільшенням довжини нитки маятника. Чим більше буде довжина, тим повільніше тіло коливатиметься.

Від маси вантажу період коливань не залежить. Натомість залежить від прискорення вільного падіння. При зменшенні g період коливань буде збільшуватися. Ця властивість широко використовують на практиці. Наприклад, вимірювання точного значення вільного прискорення.

(Лат. amplitude- величина) - це найбільше відхилення тіла, що коливається від положення рівноваги.

Для маятника це максимальна відстань, на яку віддаляється кулька від свого положення рівноваги (рисунок нижче). Для коливань з малими амплітудами за таку відстань можна приймати як довжину дуги 01 чи 02, і довжини цих відрізків.

Амплітуда коливань вимірюється в одиницях довжини - метрах, сантиметрах і т. д. На графіку коливань амплітуда визначається як максимальна (за модулем) ордината синусоїдальної кривої, (див. рис. Нижче).

Період коливань.

Період коливань- Це найменший проміжок часу, через який система, що робить коливання, знову повертається в той же стан, в якому вона знаходилася в початковий момент часу, вибраний довільно.

Іншими словами, період коливань ( Т) - це час, за який відбувається одне повне коливання. Наприклад, на малюнку нижче цей час, за який вантаж маятника переміщається з крайньої правої точки через точку рівноваги Проу крайню ліву точку і назад через точку Прознову в крайню праву.

За повний період коливань, таким чином, тіло проходить шлях, рівний чотирьом амплітудам. Період коливань вимірюється в одиницях часу - секундах, хвилинах і т. д. Період коливань може бути визначений за відомим графіком коливань (див. рис. нижче).

Поняття «період коливань», строго кажучи, справедливе, лише коли значення коливається величини точно повторюються через певний проміжок часу, тобто для гармонійних коливань. Однак це поняття застосовується також і для випадків приблизно повторюваних величин, наприклад, для загасаючих коливань.

Частота коливань.

Частота коливань- Це число коливань, що здійснюються за одиницю часу, наприклад, за 1 с.

Одиниця частоти у СІ названа герцем(Гц) на честь німецького фізика Г. Герца (1857-1894). Якщо частота коливань ( v) дорівнює 1 Гц, то це означає, що за кожну секунду відбувається одне коливання. Частота та період коливань пов'язані співвідношеннями:

Теоретично коливань користуються також поняттям циклічною, або кругової частоти ω . Вона пов'язана із звичайною частотою vта періодом коливань Тспіввідношеннями:

.

Циклічна частота- Це число коливань, що здійснюються за 2πсекунд.

При вивченні цього розділу слід мати на увазі, що коливанняРізної фізичної природи описуються з єдиних математичних позицій. Тут треба чітко усвідомити такі поняття, як гармонійне коливання, фаза, різницю фаз, амплітуда, частота, період коливання.

Треба пам'ятати, що у будь-якій реальній коливальній системі є опору середовища, тобто. коливання будуть загасаючими. Для характеристики загасання коливань вводиться коефіцієнт загасання та логарифмічний декремент згасання.

Якщо коливання відбуваються під дією зовнішньої сили, що періодично змінюється, то такі коливання називають вимушеними. Вони будуть незагасаючими. Амплітуда вимушених коливань залежить від частоти сили, що змушує. При наближенні частоти вимушених коливань до частоти власних коливань амплітуда вимушених коливань різко зростає. Це називається резонансом.

Переходячи до вивчення електромагнітних хвиль потрібно чітко уявляти, щоелектромагнітна хвиля- це електромагнітне поле, що розповсюджується в просторі. Найпростішою системою, що випромінює електромагнітні хвилі, є електричний диполь. Якщо диполь здійснює гармонійні коливання, він випромінює монохроматичну хвилю.

Таблиця формул: коливання та хвилі

Коливальним називається будь-який рух, що періодично повторюється. Тому залежності координати та швидкості тіла від часу при коливаннях описуються періодичними функціями часу. У шкільному курсі фізики розглядаються такі коливання, в яких залежності та швидкості тіла є тригонометричними функціями. , або їхню комбінацію, де - деяке число. Такі коливання називаються гармонійними (функції і часто називають гармонійними функціями). Для вирішення завдань на коливання, що входять до програми єдиного державного іспиту з фізики, потрібно знати визначення основних характеристик коливального руху: амплітуди, періоду, частоти, кругової (або циклічної) частоти та фази коливань. Дамо ці визначення і зв'яжемо перераховані величини з параметрами залежності координати тіла від часу, яка у разі гармонійних коливань завжди може бути представлена ​​у вигляді

де , І - деякі числа.

Амплітудою коливань називається максимальне відхилення тіла, що коливається, від положення рівноваги. Оскільки максимальне і мінімальне значення косинуса (11.1) дорівнює ±1, то амплітуда коливань тіла, що робить коливання (11.1), дорівнює величині . Період коливань – це мінімальний час, через який рух тіла повторюється. Для залежності (11.1) період можна встановити з таких міркувань. Косинус - періодична функція з періодом. Тому рух повністю повторюється через таке значення, що. Звідси отримуємо

Круговою (або циклічною) частотою коливань називається кількість коливань, що здійснюються за одиниць часу. З формули (11.3) укладаємо, що круговою частотою є величина формули (11.1).

Фазою коливань називається аргумент тригонометричної функції, що описує залежність координати від часу. З формули (11.1) бачимо, що фаза коливань тіла, рух якого описується залежністю (11.1), дорівнює . Значення фази коливань у час = 0 називається початкової фазою. Для залежності (11.1) початкова фаза коливань дорівнює величині. Очевидно, початкова фаза коливань залежить від вибору початку відліку часу (моменту = 0), який є умовним. Зміною початку відліку часу початкова фаза коливань завжди може бути «зроблена» рівною нулю, а синус у формулі (11.1) «перетворений» на косинус або навпаки.

До програми єдиного державного іспиту входить також знання формул для частоти коливань пружинного та математичного маятників. Пружинним маятником прийнято називати тіло, яке може коливати на гладкій горизонтальній поверхні під дією пружини, другий кінець якої закріплений (лівий малюнок). Математичним маятником називається масивне тіло, розмірами якого можна знехтувати, що робить коливання на довгій, невагомій та нерозтяжній нитці (правий малюнок). Назва цієї системи – «математичний маятник» пов'язана з тим, що вона є абстрактною. математичнумодель реального ( фізичного) маятника. Необхідно пам'ятати формули для періоду (або частоти) коливань пружинного та математичного маятників. Для пружинного маятника

де - Довжина нитки, - Прискорення вільного падіння. Розглянемо застосування цих термінів і законів з прикладу розв'язання задач.

Щоб знайти циклічну частоту коливань вантажу в Завдання 11.1.1знайдемо спочатку період коливань, та був скористаємося формулою (11.2). Оскільки 10 м 28 с – це 628 с, і за цей час вантаж здійснює 100 коливань, період коливань вантажу дорівнює 6,28 с. Тому циклічна частота коливань дорівнює 1 c -1 (відповідь 2 ). У задачі 11.1.2вантаж за 600 с здійснив 60 коливань, тому частота коливань - 0,1 с -1 (відповідь 1 ).

Щоб зрозуміти, який шлях пройде вантаж за 2,5 періоди ( Завдання 11.1.3), простежимо за його рухом. Через період вантаж повернеться назад до точки максимального відхилення, здійснивши повне коливання. Тому за цей час вантаж пройде відстань, що дорівнює чотирьом амплітудам: до положення рівноваги - одна амплітуда, від положення рівноваги до точки максимального відхилення в інший бік - друга, назад у положення рівноваги - третя, положення рівноваги в початкову точку - четверта. За другий період вантаж знову пройде чотири амплітуди, а за половину періоду, що залишилися, - дві амплітуди. Тому пройдений шлях дорівнює десяти амплітудам (відповідь 4 ).

Величина переміщення тіла – відстань від початкової точки до кінцевої. За 2,5 періоду в задачі 11.1.4тіло встигне здійснити два повні і половину повного коливання, тобто. виявиться на максимальному відхиленні, але з іншого боку положення рівноваги. Тому величина переміщення дорівнює двом амплітудам (відповідь 3 ).

За визначенням фаза коливань - це аргумент тригонометричної функції, якою описується залежність координати тіла, що коливається від часу. Тому правильна відповідь у задачі 11.1.5 - 3 .

Період – це час повного коливання. Це означає, що повернення тіла назад у ту ж точку, з якої тіло почало рух, ще не означає, що пройшов період: тіло має повернутися в ту саму точку з тією ж швидкістю. Наприклад, тіло, почавши коливання з положення рівноваги, за період встигне відхилитися на максимальну величину в один бік, повернутися назад, відхилиться на максимум в іншу сторону і знову повернутися назад. Тому за період тіло встигне двічі відхилитися на максимальну величину від положення рівноваги та повернутися назад. Отже, проходження від положення рівноваги до точки максимального відхилення ( завдання 11.1.6) тіло витрачає четверту частину періоду (відповідь 3 ).

Гармонічними називаються такі коливання, при яких залежність координати тіла, що коливається, від часу описується тригонометричною (синус або косинус) функцією часу. У задачі 11.1.7такими є функції і , незважаючи на те, що параметри, що входять до них, позначені як 2 і 2 . Функція ж – тригонометрична функція квадрата часу. Тому гармонійними є коливання тільки величин і (відповідь 4 ).

При гармонійних коливаннях швидкість тіла змінюється згідно із законом , де - Амплітуда коливань швидкості (початок відліку часу обрано так, щоб початкова фаза коливань дорівнювала б нулю). Звідси знаходимо залежність кінетичної енергії тіла від часу
(Завдання 11.1.8). Використовуючи далі відому тригонометричну формулу, отримуємо

З цієї формули випливає, що кінетична енергія тіла змінюється при гармонійних коливаннях також за гармонійним законом, але з подвоєною частотою (відповідь 2 ).

За співвідношенням між кінетичною енергією вантажу та потенційною енергією пружини ( Завдання 11.1.9) легко простежити з таких міркувань. Коли тіло відхилено на максимальну величину від положення рівноваги, швидкість тіла дорівнює нулю, і, отже, потенційна енергія пружини більша за кінетичну енергію вантажу. Навпаки, коли тіло проходить положення рівноваги, потенційна енергія пружини дорівнює нулю, і, отже, кінетична енергія більша за потенційну. Тому між проходженням положення рівноваги та максимальним відхиленням кінетична та потенційна енергія один раз порівнюються. А оскільки за період тіло чотири рази проходить від положення рівноваги до максимального відхилення або назад, то за період кінетична енергія вантажу та потенційна енергія пружини порівнюються один з одним чотири рази (відповідь 2 ).

Амплітуду коливань швидкості ( завдання 11.1.10) Найпростіше знайти за законом збереження енергії. У точці максимального відхилення енергія коливальної системи дорівнює потенційній енергії пружини , де - Коефіцієнт жорсткості пружини, - Амплітуда коливань. При проходженні положення рівноваги енергія тіла дорівнює кінетичній енергії , де - маса тіла, - швидкість тіла при проходженні положення рівноваги, яка є максимальною швидкістю тіла в процесі коливань і, отже, є амплітудою коливань швидкості. Прирівнюючи ці енергії, знаходимо

(відповідь 4 ).

З формули (11.5) укладаємо ( Завдання 11.2.2), що від маси математичного маятника його період не залежить, а при збільшенні довжини в 4 рази період коливань збільшується в 2 рази (відповідь 1 ).

Годинник - це коливальний процес, який використовується для вимірювання інтервалів часу ( Завдання 11.2.3). Слова годинник «поспішають» означає, що період цього процесу менший від того, яким він має бути. Тому для уточнення ходу цього годинника необхідно збільшити період процесу. Згідно з формулою (11.5) для збільшення періоду коливань математичного маятника необхідно збільшити його довжину (відповідь 3 ).

Щоб знайти амплітуду коливань у задачі 11.2.4необхідно уявити залежність координати тіла від часу у вигляді однієї тригонометричної функції. Для цієї функції це можна зробити за допомогою введення додаткового кута. Помножуючи і поділяючи цю функцію на і використовуючи формулу складання тригонометричних функцій, отримаємо

де - такий кут, що . З цієї формули випливає, що амплітуда коливань тіла - (відповідь 4 ).

Час, протягом якого відбувається одна повна зміна ЕРС, тобто один цикл коливання або один повний оборот радіуса-вектора, називається періодом коливання змінного струму(малюнок 1).

Малюнок 1. Період та амплітуда синусоїдального коливання. Період – час одного коливання; Аплітуда – його найбільше миттєве значення.

Період виражають у секундах та позначають буквою Т.

Також використовуються дрібніші одиниці виміру періоду це мілісекунда (мс)- одна тисячна секунди і мікросекунда (мкс)- одна мільйонна секунди.

1 мс = 0,001 сек = 10 -3 сек.

1 мкс = 0,001 мс = 0,000001сек = 10 -6 сек.

1000 мкс = 1 мс.

Число повних змін ЕРС або кількість обертів радіуса-вектора, тобто інакше кажучи, кількість повних циклів коливань, що здійснюються змінним струмом протягом однієї секунди, називається частотою коливань змінного струму.

Частота позначається буквою f і виявляється у періодах на секунду чи герцах.

Одна тисяча герц називається кілогерцем (кГц), а мільйон герц – мегагерцем (МГц). Існує так само одиниця гігагерц (ГГц), що дорівнює одній тисячі мегагерц.

1000 Гц = 103 Гц = 1 кГц;

1000000 Гц = 106 Гц = 1000 кГц = 1 МГц;

1000000000 Гц = 10 9 Гц = 1000 000 кГц = 1000 МГц = 1 ГГц;

Чим швидше відбувається зміна ЕРС, тобто чим швидше обертається радіус-вектор, тим менше період коливання Чим швидше обертається радіус-вектор, тим вища частота. Таким чином, частота та період змінного струму є величинами, обернено пропорційними один одному. Чим більше одна з них, тим менша інша.

Математичний зв'язок між періодом та частотою змінного струму та напруги виражається формулами

Наприклад, якщо частота струму дорівнює 50 Гц, то період дорівнюватиме:

Т=1/f=1/50=0,02 сек.

І навпаки, якщо відомо, що період струму дорівнює 0,02 сек, (T=0,02 сек.), то частота дорівнюватиме:

f = 1/T = 1/0,02 = 100/2 = 50 Гц

Частота змінного струму, що використовується для освітлення та промислових цілей, якраз і дорівнює 50 Гц.

Частоти від 20 до 20000 Гц називаються звуковими частотами. Струми в антена радіостанцій коливаються з частотами до 1 500 000 000 Гц або, інакше кажучи, до 1 500 МГц або 1,5 ГГц. Такі високі частоти називають радіочастотами або коливаннями високої частоти.

Нарешті, струми в антенах станцій радіолокацій, станцій супутникового зв'язку, інших спецсистем (наприклад ГЛАНАСС, GPS) коливаються з частотами до 40 000 МГц (40 ГГц) і вище.

Амплітуда змінного струму

Найбільше значення, якого досягає ЕРС чи сила струму за період, називається амплітудою ЕРС чи сили змінного струму. Легко помітити, що амплітуда в масштабі дорівнює довжині радіусу-вектора. Амплітуди струму, ЕРС та напруги позначаються відповідно літерами Im, Em та Um (малюнок 1).

Кутова (циклічна) частота змінного струму.

Швидкість обертання радіуса-вектора, тобто зміна величини кута повороту протягом однієї секунди, називається кутовою (циклічною) частотою змінного струму і позначається грецькою літерою ? (Омега). Кут повороту радіуса-вектора у будь-який момент щодо його початкового положення вимірюється зазвичай над градусах, а спеціальних одиницях - радіанах.

Радіаном називається кутова величина дуги кола, довжина якої дорівнює радіусу цього кола (рисунок 2). Все коло, що становить 360 °, дорівнює 6,28 радіан, тобто 2.

Малюнок 2.

1рад = 360 ° / 2

Отже, кінець радіусу-вектора протягом одного періоду пробігають шлях, що дорівнює 6,28 радіан (2). Так як протягом однієї секунди радіус-вектор здійснює число обертів, що дорівнює частоті змінного струму. f, то за одну секунду його кінець пробігає шлях, рівний 6,28*fрадіан. Це вираз, що характеризує швидкість обертання радіуса-вектора, і буде кутовий частотою змінного струму -? .

? = 6,28 * f = 2f

Кут повороту радіуса-вектора будь-якої миті щодо його початкового положення називається фазою змінного струму. Фаза характеризує величину ЕРС (або струму) в дану мить або, як то кажуть, миттєве значення ЕРС, її напрям у ланцюгу та напрям її зміни; фаза показує, чи зменшується ЕРС чи зростає.

Малюнок 3.

Повний оборот радіуса-вектора дорівнює 360 °. З початком нового обороту радіуса-вектора зміна ЕРС відбувається у тому порядку, як і протягом першого обороту. Отже, всі фази ЕРС повторюватимуться у колишньому порядку. Наприклад, фаза ЕРС при повороті радіуса-вектора на кут 370° буде такою ж, як і при повороті на 10°. В обох випадках радіус-вектор займає однакове положення, і, отже, миттєві значення ЕРС будуть в обох випадках однаковими по фазі.