Чему равносильно неравенство с параметром x a. Учебное пособие "уравнения и неравенства с параметрами"
Многие задачи с параметром сводятся к исследованию квадратного трёхчлена, поэтому рассмотрим эти задачи подробнее.
I. При решении простейших задач бывает достаточно формулы для корней квадратного уравнения и теоремы Виета.
При каких значениях параметра a a множество решений неравенства $$x^2+ax-1
Поскольку коэффициент при x 2 x^2 положителен, решением неравенства является интервал между корнями в случае $$D > 0$$ и пустое множество, если D ≤ 0 D \leq 0 .
Находим дискриминант: D = a 2 + 4 D = a^2+4 ($$D>0$$ при всех a a). Тогда множество решений есть промежуток
x ∈ (- a - a 2 + 4 2 ; - a + a 2 + 4 2) x \in (\dfrac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2}; \dfrac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2}) . Требуется, чтобы длина этого промежутка была равна 5, т. е.
A + a 2 + 4 2 = - a - a 2 + 4 2 + 5 ⇔ a 2 + 4 = 5 ⇔ a = ± 21 \dfrac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2} = \dfrac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2} + 5 \Leftrightarrow \sqrt{a^2+4}=5 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt{21} .
ОТВЕТ
A = ± 21 a = \pm \sqrt{21}
При каких значениях параметра p p уравнение x 2 + p 2 + 4 p · x + p - 1 x^2+\sqrt{p^2+4p}\cdot x +p-1 имеет корни, а сумма квадратов корней минимальна?
Сумму квадратов корней уравнения удобно выразить с помощью теоремы Виета:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = (- p 2 + 4 p) 2 - 2 (p - 1) = p 2 + 2 p + 2 x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-\sqrt{p^2+4p})^2-2(p-1) = p^2 +2p + 2 .
Но прежде, чем применять теорему Виета, обязательно нужно проверить, что уравнение имеет корни! Для этого вычисляем дискриминант: D = p 2 + 4 p - 4 (p - 1) = p 2 + 4 D = p^2+4p-4(p-1) = p^2+4 . Видим, что дискриминант положителен при любых допустимых значениях p p , т. е. при
p ∈ (- ∞ ; - 4 ] ∪ [ 0 ; + ∞) (5) p \in (-\infty; -4]\bigcup и пр.), в которых надо самостоятельно нарисовать чертёж и сделать соответствующие выводы.
Замечания. 1. Для уравнений и неравенств вида
$$ax^2 + bx + c = 0,\: ax^2 + bx + c > 0, \: ax^2 + bx + c надо отдельно рассматривать случай a = 0 a =0 . Тогда получится линейное уравнение (неравенство).
2. В большинстве задач важно учесть знак числа a a - от этого зависит направление ветвей параболы.
3. Заметим, что совокупность двух систем
$$\begin{cases} a > 0, \\ f(a) > 0 \end{cases} и \begin{cases} a
равносильна неравенству $$a f(a) > 0$$. Поэтому в условии 1 ° 1^{\circ} можно записать одну систему $$\begin{cases} D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_{\text{в}}
Аналогично можно упростить и другие условия:
$$2^{\circ} \Leftrightarrow \begin{cases} D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_{\text{в}} > A .\end{cases} \:\:\: 3^{\circ} \Leftrightarrow a f(A) 0, \\ a f(A) > 0, \\ a f(B) > 0, \\ A
Перейдём к примерам.
При каких a a уравнение (2 a - 2) x 2 + (a + 1) x + 1 = 0 (2a-2)x^2 + (a+1)x +1 = 0 имеет корни, и все они принадлежат интервалу (- 2 ; 0) (-2; 0) ?
1) Если 2 a - 2 = 0 (a = 1) 2a-2=0\:(a=1) , то уравнение принимает вид 2 x + 1 = 0 2x+1=0 . Это уравнение имеет единственный корень x = - 0,5 x=-0,5 , который принадлежит интервалу (- 2 ; 0) (-2; 0) . Значит, a = 1 a =1 удовлетворяет условию задачи.
2) Если 2 a - 2 ≠ 0 2a-2 \neq 0 , то уравнение квадратное. Находим дискриминант:
D = (a + 1) 2 - 4 (2 a - 2) = a 2 - 6 a + 9 = (a - 3) 2 D=(a+1)^2-4(2a-2)=a^2-6a+9=(a-3)^2 .
Поскольку дискриминант является полным квадратом, находим корни(как правило, вышеописанные приёмы с расположением корней удобно использовать, если формулы для корней громоздкие. Если дискриминант является полным квадратом и корни получаются “хорошими”, то проще решить задачу напрямую):
Для выполнения условий задачи требуется, чтобы выполнялось неравенство $$-2 \dfrac{3}{2}$$.
ОТВЕТ
A ∈ { 1 } ∪ (3 2 ; + ∞) a \in \{1\}\bigcup (\dfrac{3}{2}; +\infty) .
При каких значениях a a неравенство $$4^{\textrm{sin}\:x}-2\cdot (a-3) \cdot 2^{\textrm{sin}\:x} + a+3 > 0$$ выполняется для всех x x ?
Обозначим 2 sin x = y 2^{\textrm{sin}\:x}=y . Поскольку - 1 ≤ sin x ≤ 1 -1 \leq \textrm{sin}\:x \leq 1 , получаем, что 1 2 ≤ 2 sin x ≤ 2 \dfrac{1}{2} \leq 2^{\textrm{sin}\:x} \leq 2 . Исходное неравенство принимает вид
$$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$
Данная задача эквивалентна следующей: «при каких a a неравенство $$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$ выполнено для всех y ∈ [ 1 2 ; 2 ] y \in [\dfrac{1}{2};2] ?»
График левой части этого неравенства - парабола с ветвями вверх. Требования задачи будут выполнены в двух случаях. 1) $$D
а) Это расположение параболы (корни находятся слева от отрезка [ 1 2 ; 2 ] [\dfrac{1}{2};2]) задаётся условиями (записываем и решаем систему):
$$\begin{cases} D \geq 0,\\ x_{\text{в}} 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (a-3)^3-(a+3) \geq 0,\\ a-3 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in (-\infty;1]\bigcup]6;+\infty),\\ a 0 \end{cases} \Leftrightarrow a \leq 1 $$.
б) Этот случай задаётся условием $$D
в) Аналогично случаю а) получаем систему:
$$\!\!\!\! \begin{cases} D \geq 0,\\ x_{\text{в}} > 2,\\ f(2) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (a-3)^3-(a+3) \geq 0,\\ a-3 > 2,\\ 4 - 4(a-3) +a+3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\in (-\infty; 1]\bigcup ?
1) Рассматриваем случай a = 0 a = 0 (тогда уравнение не квадратное). Уравнение принимает вид - 5 x - 6 = 0 -5x-6=0 . Корней на отрезке [ 0 ; 2 ] нет, поэтому a = 0 a = 0 не подходит.
2) Уравнение квадратное. Обозначим левую часть уравнения через f (x) f(x) . Уравнение имеет на отрезке [ 0 ; 2 ] ровно один корень в двух случаях.
А) Уравнение имеет единственный корень, и он принадлежит отрезку [ 0 ; 2 ] . Это возможно при D = 0 D = 0 . Вычисляем дискриминант:
D = (2 a - 5) 2 - 4 a (a - 6) = 4 a + 25 D = (2a-5)^2-4a(a-6) = 4a+25 .
Дискриминант обращается в ноль при a = - 25 4 a=-\dfrac{25}{4} . При этом исходное уравнение принимает вид - 25 4 x 2 - 35 2 x - 49 4 = 0 -\dfrac{25}{4}x^2-\dfrac{35}{2}x - \dfrac{49}{4} = 0 , откуда x = - 7 5 x = -\dfrac{7}{5} . Корней на отрезке [ 0 ; 2 ] нет, значит, этот случай не реализуется ни при каких значениях параметра a a .
Б) Уравнение имеет два корня ($$D>0 \Leftrightarrow a>-\dfrac{25}{4}$$), один из которых принадлежит отрезку [ 0 ; 2 ] , а другой - нет. Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы либо (а) функция f (x) f(x) принимала на концах отрезка [ 0 ; 2 ] значения разных знаков - тогда корень лежит в интервале (0 ; 2) (0;2) (в качестве примера(можете самостоятельно рассмотреть и другие возможные расположения параболы) см. рис. 7), либо (б) в одном из концов отрезка обращалась в ноль - тогда корень лежит на одном из концов отрезка.
(а) Условие “числа f (0) f(0) и f (2) f(2) имеют разные знаки” равносильно неравенству $$f(0)\cdot f(2)
$$\left(a-6\right)\left(4a+2\left(2a-5\right)+\left(a-6\right)\right)
(б) Если f (0) = 0 f(0) = 0 , то a = 6 a=6 . Тогда уравнение принимает вид 6 x 2 + 7 x = 0 6x^2+7x=0 . Его корнями являются числа x = 0 x=0 и x = - 7 6 x=-\dfrac{7}{6} , т. е. на отрезке [ 0 ; 2 ] оно имеет ровно один корень.
Если f (2) = 0 f(2) = 0 , то a = 16 9 a=\dfrac{16}{9} . Тогда получаем 16 9 x 2 - 13 9 x - 38 9 = 0 \dfrac{16}{9}x^2 - \dfrac{13}{9}x - \dfrac{38}{9} = 0 , откуда x = 2 x=2 или x = - 19 16 x=-\dfrac{19}{16} , т. е. опять из двух корней только один принадлежит отрезку [ 0 ; 2 ] .
Значит, оба значения a = 6 a=6 и a = 16 9 a=\dfrac{16}{9} и удовлетворяют условию задачи(при f (2) = 0 f(2) = 0 или f (0) = 0 f(0) = 0 обязательно надо найти второй корень и посмотреть, находится ли он на отрезке [ 0 ; 2 ] ).
Объединяя результаты, получаем a ∈ [ 16 9 ; 6 ] a\in [\dfrac{16}{9}; 6] .
ОТВЕТ
16 9 ≤ a ≤ 6 \dfrac{16}{9} \leq a \leq 6
При каких значениях параметра a a уравнение | x 2 - 4 | x | + 3 | = a |x^2-4|x|+3| = a имеет ровно 8 решений?
Изобразим графики левой и правой частей на плоскости xOy.
Чтобы построить график левой части, сначала изображаем параболу y = x 2 - 4 x + 3 y = x^2-4x+3 . Затем отражаем все точки этой параболы, лежащие ниже оси абсцисс, относительно этой оси и получаем график функции y = | x 2 - 4 x + 3 | y=|x^2-4x+3| (рис. 8а). Далее отбрасываем все точки, лежащие слева от оси абсцисс, а оставшиеся точки отражаем относительно этой оси - получаем график функции y = | x 2 - 4 | x | + 3 | y=|x^2-4|x|+3| .
График правой части - это горизонтальная прямая y = a y=a . Уравнение имеет 8 решений, когда эта прямая пересекает график y = | x 2 - 4 | x | + 3 | y=|x^2-4|x|+3| в восьми точках. Несложно видеть, что это происходит при $$0ОТВЕТ
A ∈ (0 ; 1) a\in (0;1)
Найдите все значения параметра p p , при которых уравнение 4 x + 2 x + 2 + 7 = p - 4 - x - 2 · 2 1 - x 4^x+2^{x+2}+7=p-4^{-x}-2\cdot 2^{1-x} имеет хотя бы одно решение.
Перепишем уравнение в виде (4 x + 4 - x) + 4 · (2 x + 2 - x) = p - 7 (4^x+4^{-x})+4\cdot (2^x+2^{-x})=p-7 и сделаем замену 2 x + 2 - x = t 2^x+2^{-x}=t . Возводя обе части последнего равенства в квадрат, получаем, что t 2 = (2 x + 2 - x) 2 = 4 x + 2 + 4 - x t^2=(2^x+2^{-x})^2=4^x+2+4^{-x} , откуда 4 x + 4 - x = t 2 - 2 4^x+4^{-x} = t^2-2 . Уравнение принимает вид t 2 - 2 + 4 t = p - 7 ⇔ (t + 2) 2 = p - 1 t^2-2+4t = p-7 \Leftrightarrow (t+2)^2 = p-1 .
Найдём множество значений левой части уравнения. Поскольку(используем, что сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше двух: a + 1 a ≥ 2 a+\dfrac{1}{a} \geq 2 при $$a>0$$ 0 (равенство возможно только при a = 1 a = 1). Это можно доказать, например, с помощью неравенства Коши: для положительных чисел среднее арифметическое не меньше среднего геометрического (a 1 + a 2 + . . . + a k k ≥ a 1 · a 2 · . . · a k k) (\dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k} \geq \sqrt[k]{a_1\cdot a_2\cdot .. \cdot a_k}) , причём равенство достигается только в случае a 1 = a 2 = . . . = a k a_1=a_2=...=a_k . Для двух положительных чисел это неравенство принимает вид a + b 2 ≥ a b \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} . Если сюда подставить b = 1 a b = \dfrac{1}{a} , то получится требуемое неравенство.) t ≥ 2 t \geq 2 , получаем, что левая часть уравнения принимает значения из промежутка [ 16 ; + ∞) .
Решение. Преобразуем левую часть данного неравенства следующим образом:
(2-x)а 2 + (x 2 -2x+3)а-3х=ах 2 - а 2 х - 2ах + 2а 2 + 3а - 3x =
Ах (х - а)-2а(х - а)- 3(х-а) = (x - а)(аx- 2а - 3).
Данное неравенство примет вид: (x - а) (аx - 2а - 3) ≥ 0.
Если а = 0, получаем - Зх ≥ 0 x ≤ 0.
Если а ≠ 0, то -3 а
Так как а 0, то решением этого неравенства будет промежуток числовой оси, расположенный между корнями соответствующего неравенству уравнения.
Выясним взаимное расположение чисел а и , учитывая при этом условие - 3 ≤ а
3 ≤a
A = -1.
Представим во всех рассмотренных случаях решения данного неравенства в зависимости от значений параметра:
Получим, что только х = -1 является решением данного неравенства при любом значении параметра а .
Ответ: -1
- Заключение.
Почему мной был выбран проект по теме «Разработка методических рекомендаций решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами»? Так как при решении любых тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений, неравенств, систем мы чаще всего приходим к рассмотрению иногда линейных, а чаще всего квадратных уравнений и неравенств. При решении сложнейших задач с параметрами большинство заданий сводится с помощью равносильных преобразований к выбору решений типа: а (х – а) (х – с) > 0 (
Мы рассмотрели теоретические основы для решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами. Вспомнили необходимые формулы и преобразования, рассмотрели различные расположения графиков квадратичной функции в зависимости от значения дискриминанта, от знака при старшем коэффициенте, от расположения корней, вершины параболы. Выявили схему решения и выбора результатов, составили таблицу.
В проекте показаны аналитические и графические методы решения квадратных уравнений и неравенств. Обучающимся в профессиональном училище необходимо зрительное восприятие материала для лучшего усвоения материала. Показано, как можно поменять переменную х и принять параметр как равноправную величину.
Для наглядного усвоения данной темы рассмотрено решение 8 задач с параметрами, по 1 – 2 для каждого раздела. В примере № 1 рассмотрено количество решений при различных значениях параметра, в примере № 3 проводится разбор решения квадратного уравнения при самых различных начальных условиях. Для решения квадратных неравенств сделана графическая иллюстрация. В примере № 5 применяется метод замены параметра как равноправной величины. В проект включено рассмотрение примера № 8 из заданий, включенных в раздел С, для интенсивной подготовки к сдаче ЕГЭ.
Для качественной подготовки обучающихся решению задач с параметрами рекомендуется в полном объеме использовать мультимедийные технологии, а именно: использовать для лекций презентации, электронные учебники и книги, собственные разработки из медиатеки. Очень эффективны бинарные уроки математика + информатика. Незаменимым помощником преподавателю и учащемуся является Интернет. В презентации необходимы импортированные объекты из существующих образовательных ресурсов. Наиболее удобным и приемлемым в работе является ЦОР «Использование Microsoft Office в школе».
Разработка методических рекомендаций по данной тематике облегчит работу молодых преподавателей, пришедших работать в училище, пополнит портфолио преподавателя, послужит образцом для специальных предметов, образцы решений помогут обучающимся справиться со сложными заданиями.
- Литература.
1.Горнштейн П.И., Полонский В.Б., ЯкирМ.С. Задачи с параметрами. «Илекса», «Гимназия», Москва – Харьков, 2002.
2.Балаян Э.Н. Сборник задач по математике для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам. 9-11 классы. «Феникс», Ростов-на Дону, 2010.
3.Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М., «Просвещение», 1986.
4.Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. М. «АЙРИС – пресс», 2005.
5.Родионов Е.М., Синякова С.Л. Математика. Пособие для поступающих в вузы. Учебный центр «Ориентир» МГТУ им. Н.Э. Баумана, М., 2004.
6. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: В 2 кн. Кн.1, М., 2009.
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской области средняя общеобразовательная
школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино
муниципального района Клявлинский
Самарской области
« Уравнения
и
неравенства
с параметрами»
учебное пособие
Клявлино
Учебное пособие
« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов
данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)
Авторы
Ромаданова Ирина Владимировна
учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной
школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области
Сербаева Ирина Алексеевна
Введение……………………………………………………………3-4
Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7
Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9
Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11
Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15
Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17
Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…...16-18
Задачи ЕГЭ………………………………………………………...18-20
Задания для самостоятельной работы…………………………...21-28
Введение.
Уравнения и неравенства с параметрами.
Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.
Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:
Выделить особое значение - это то значение параметра, в котором или при переходе через которое меняется решение уравнения или неравенства.
Определить допустимые значения – это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.
Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:
1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.
Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.
Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.
Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.
§ 1. Линейные уравнения и неравенства.
Линейное уравнение а x = b , записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x – неизвестное, a , b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра a является значение а = 0.
b = 0 является особым значением параметра b .
При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.
При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0 . Решением данного уравнения является любое действительное число.
Неравенства вида ах > b и ax < b (а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b – промежуток
(; +
),
если
a
> 0
, и
(-;)
, если
а < 0
. Аналогично для неравенства
ах <
b
множество решений – промежуток
(-;),
если
a
> 0,
и
(; +),
если
а < 0.
Пример 1. Решить уравнение ах = 5
Решение : Это линейное уравнение.
Если а = 0 , то уравнение 0 × х = 5 решения не имеет.
Если а ¹ 0, х = - решение уравнения.
Ответ : при а ¹ 0, х=
при а = 0 решения нет.
Пример 2. Решить уравнение ах – 6 = 2а – 3х.
Решение: Это линейное уравнение, ах – 6 = 2а – 3х (1)
ах + 3х = 2а +6
Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3) , рассмотрим два случая:
а= -3 и а ¹ -3.
Если а= -3 , то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же а ¹ -3 , уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.
Ответ:
При
а = -3, х 
R
;
при
а
¹
-3, х = 2.
Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения
2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1 ?
Решение : Решим уравнение 2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 – линейное уравнение
2(а - 2) х = а 2 – 4а +4
2(а - 2) х = (а – 2) 2
При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.
При а
¹
2 х =
.
По условию х > 1
, то есть >1, а > 4.
Ответ:
При
а {2} U (4;∞).
Пример 4 . Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.
Решение. ах = 8 – линейное уравнение.
y = a – семейство горизонтальных прямых;
y = - графиком является гипербола. Построим графики этих функций.
Ответ: Если а =0 , то уравнение решений не имеет. Если а ≠ 0 , то уравнение имеет одно решение.
Пример 5 . С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:
|х| = ах – 1.
y =| х | ,
y = ах – 1 – графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).
Построим графики этих функций.
Ответ:При|а|>1 - один корень
при | а| ≤1 – уравнение корней не имеет.
Пример 6 . Решить неравенство ах + 4 > 2х + а 2
Решение
:
ах + 4 > 2х + а
2
(а – 2) х >
а
2
– 4. Рассмотрим три случая.
Ответ. х > а + 2 при а > 2; х <а + 2, при а < 2; при а=2 решений нет.
§ 2. Квадратные уравнения и неравенства
Квадратное уравнение – это уравнение вида ах ² + b х + с = 0 , где а≠ 0,
а, b , с – параметры.
Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:
1
)
дискриминанта квадратного уравнения:
D
=
b
² - 4
ac
,
(
²-
ас)
2)
формул корней квадратного уравнения:
х
1
=
, х
2
=
,
(х
1,2 =
)
Квадратными называются неравенства вида
a х 2 + b х + с > 0, a х 2 + b х + с< 0, (1), (2)
a х 2 + b х + с ≥ 0, a х 2 + b х + с ≤ 0, (3), (4)
Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , a х 2 + b х + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).
Если дискриминант квадратного трехчлена
a
х
2
+
b
х + с
меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х R
.
Если квадратный трехчлен имеет корни (х
1
< х
2
), то при а > 0 он положителен на множестве
(-;
х
2
)
(х
2;
+)
и отрицателен на интервале
(х
1
; х
2
). Если а < 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1
; х
2
) и отрицателен при всех х (-;
х
1
)(х
2;
+).
Пример 1. Решить уравнение ах² - 2 (а – 1)х – 4 = 0 .
Это квадратное уравнение
Решение : Особое значение а = 0.
При а = 0 получим линейное уравнение 2х – 4 = 0 . Оно имеет единственный корень х = 2.
При а ≠ 0. Найдем дискриминант.
D = (а-1)² + 4а = (а+1)²
Если а = -1, то D = 0 – один корень.
Найдем корень, подставив вместо а = -1.
-х² + 4х – 4= 0, то есть х² -4х + 4 = 0, находим, что х=2.
Если
а ≠ - 1
, то
D
>0
. По формуле корней получим:
х=
;
х 1 =2, х 2 = -.
Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при а ≠ 0 и
а ≠ - 1 уравнение имеет два корня х 1 =2, х 2 =-.
Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а
y = х²-2х-8 - графиком является парабола;
y =а - семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.
Ответ: При а <-9 , уравнение решений не имеет; при а=-9, уравнение имеет одно решение; при а>-9 , уравнение имеет два решения.
Пример 3. При каких а неравенство (а – 3) х 2 – 2ах + 3а – 6 >0 выполняется для всех значений х?
Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если
а-3 > 0 и D <0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
откуда следует, что
a
> 6
.
Ответ. a > 6
§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,
сводящиеся к линейным
Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.
В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.
Пример 1.
Решить уравнение
= 0
Решение: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2
х – а = 0, х = а.
Ответ: При а ≠ - 2, х=а
При а = -2 корней нет.
Пример 2
.
Решить уравнение
- 
= 
(1)
Это дробно- рациональное уравнение
Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после преобразований уравнение примет вид: х² + 2 (1-а) х + а² - 2а – 3 = 0 (2) – квадратное уравнение.
Найдем дискриминант
= (1 – а)² - (а² - 2а – 3)= 4,
находим корни уравнения
х
1
= а + 1, х
2
= а - 3.
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.
П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых
х 1 +1=0, х 1 +2=0, х 2 +1=0, х 2 +2=0.
Если х 1 +1=0, то есть (а+1) + 1= 0 , то а= -2. Таким образом,
при а= -2 , х 1 -
Если х 1 +2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = - 3 . Таким образом, при а = - 3, х 1 - посторонний корень уравнения. (1).
Если х 2 +1=0, то есть (а – 3) + 1= 0 , то а = 2 . Таким образом, при а = 2 х 2 - посторонний корень уравнения (1).
Если х 2 +2=0, то есть (а – 3) + 2 = 0, то а=1 . Таким образом, при а = 1,
х 2 - посторонний корень уравнения (1).
В соответствии с этим при а = - 3 получаем х = - 3 – 3 = -6 ;
при а = - 2 х = -2 – 3= - 5;
при а = 1 х =1 + 1= 2;
при а = 2 х=2+1 = 3.
Можно записать ответ.
Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2 , то х= -5 ; 3) если а= 0 , то корней нет; 4) если а= 1 , то х= 2; 5) если а=2 , то х=3 ; 6) если а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а≠ 1, а ≠ 2, то х 1 = а + 1, х 2 = а-3.
§4. Иррациональные уравнения и неравенства
Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.
Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.
Уравнение вида 
=g
(x
) равносильно системе 
Неравенство f (x ) ≥ 0 следует из уравнения f (x ) = g 2 (x ).
При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:
≤ g(x) 
≥g(x) 
Пример 1.
Решите уравнение
= х + 1 (3)
Это иррациональное уравнение
Решение:
По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе
.
При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5 , то есть не имеет решений.
При
а≠ 2 х=
.
Выясним, при каких значениях
а
найденное значение
х
удовлетворяет неравенству
х ≥ -1: ≥ - 1, 
≥ 0,
откуда а ≤ или а > 2.
Ответ:
При
а≤, а > 2 х= ,
при
< а ≤ 2
уравнение решений не имеет.
Пример 2.
Решить уравнение
= а
(приложение 4)
Решение.
y
=
y = а – семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.
Ответ : при а<0 –решений нет;
при а ≥ 0 – одно решение.
Пример 3
. Решим неравенство
(а+1)
<1.
Решение. О.Д.З. х ≤ 2 . Если а+1 ≤0 , то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х . Если же а+1>0 , то
(а+1)<1.<
откуда
х (2- 
2
Ответ.
х (- ;2 при а (-;-1,
х (2- 2
при
а
(-1;+).
§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:
Sinx = a x= (-1)
n
arcsin a+πn, n Z, 
≤1, (1)
Cos x = a x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1.
(2)
Если
>1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют.
tg x = a x= arctg a + πn, n Z, aR
ctg x = a x = arcctg a + πn, n Z, aR
Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:
1.
sin x > a arcsin a + 2 πn
Z,
при
a
<-1,
xR
;
при
a
≥ 1,
решений нет.
2. . sin x < a π - arcsin a + 2 πnZ,
при а≤-1, решений нет; при а >1,
xR
3.
cos
x
>
a
-
arccos
a
+ 2
πn
<
x
<
arccos
a
+ 2
πn
,
n
Z
,
при
а<-1,
xR
; при
a
≥ 1
, решений нет.
4. cos x arccos a+ 2 πnZ,
при
а≤-1
, решений нет; при
a
> 1,
x
R
5. tg x > a, arctg a + πnZ
6. tg x < a, -π/2 + πn Z
Пример1. Найти а , при которых данное уравнение имеет решение:
Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
Решение. Запишем уравнение в виде
с os 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(а+1) =0, решая его как квадратное, получаем cosx = 5-а и cosx = -а-1.
Уравнение
cosx
= 5-
а
имеет решения при условии -1≤ 5-
а
≤1
4≤
а
≤ 6, а уравнение
cosx
= -
а-1
при условии -1≤ -1-
а
≤ 1
-2 ≤
а
≤0.
Ответ.
а
-2; 0 4; 6
Пример 2.
При каких
b
найдется а такое, что неравенство 
+
b
> 0 выполняется при всех х ≠
πn
,
n
Z
.
Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b >0. Покажем теперь, что ни одно b ≤0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х = π /2, если а <0, и х = - π /2 при а ≥0.
Ответ. b> 0
§ 6. Показательные уравнения и неравенства
1. Уравнение
h
(x
)
f
( x
)
=
h
(x
)
g
( x
)
при
h
(x
) > 0 равносильно совокупности двух систем 
и 
2. В частном случае (h (x )= a ) уравнение а f (x ) = а g (x ) при а > 0, равносильно совокупности двух систем
и 
3. Уравнение а f (x ) = b , где а > 0, a ≠1, b >0, равносильно уравнению
f (x )= log a b . Случай а =1 рассматриваем отдельно.
Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида
f
(a
x
) > 0 при помощи замены переменной
t
=
a
x
сводится к решению системы неравенств 
а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.
При решении нестрого неравенства необходимо к множеству решений строгого неравенства присоединить корни соответствующего уравнения. Как и при решении уравнений во всех примерах, содержащих выражение а f (x ) , предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматриваем отдельно.
Пример 1
.
При каких
а
уравнение 8
х
= 
имеет только положительные корни?
Решение.
По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0 8
х
>1 >1
>0, откуда
a
(1,5;4).
Ответ.
a
(1,5;4).
Пример 2. Решить неравенство a 2 ∙2 x > a
Решение . Рассмотрим три случая:
1.
а< 0
. Так как левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, то неравенство выполняется для любых хR
.
2. a =0. Решений нет.
3.
а
> 0
.
a
2
∙2
x
> a
2
x
>
x > - log
2
a
Ответ.
хR
при
а
> 0; решений нет при
a
=0; х (-
log
2
a
; +) при
а> 0
.
§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства
Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении логарифмических уравнений и неравенств.
1. Уравнение log f (x ) g (x ) = log f (x ) h (x ) равносильно системе
В частности, если а >0, а ≠1, то
log
a
g (x)= log
a
h(x)
2.
Уравнение
log
a
g (x)=b
g (x)=
a
b
(
а
>0,
a ≠
1, g(x) >0).
3. Неравенство
log
f
( x
)
g
(x
) ≤
log
f
( x
)
h
(x
) равносильно совокупности двух систем: 
и 
Если а, b – числа, а >0, а ≠1, то
log
a
f (x) ≤ b
log
a
f (x) > b
Пример 1.
Решите уравнение
Решение . Найдем ОДЗ: х > 0, х ≠ а 4 , a > 0, а ≠ 1. Преобразуем уравнение
log
х – 2 = 4 –
log
a
x
logх +
log
a
x
– 6 = 0, откуда
log
a
x
= - 3
х =
а
-3
и
log
a
x
= 2
х =
а
2
. Условие х =
а
4
а
– 3
=
а
4
или
а
2
=
а
4
не выполняется на ОДЗ.
Ответ:
х =
а
-3
, х =
а
2
при
а
(0; 1) 
(1; ).
Пример 2 . Найдите наибольшее значение а , при котором уравнение
2
log
-
+
a
= 0 имеет решения.
Решение.
Выполним замену
=
t
и получим квадратное уравнение 2
t
2
–
t
+
a
= 0. Решая, найдем
D
= 1-8
a
. Рассмотрим
D
≥0, 1-8
а
≥0 
а
≤.
При а = квадратное уравнение имеет корень t = >0.
Ответ. а =
Пример 3 . Решить неравенство log (x 2 – 2 x + a ) > - 3
Решение.
Решим систему неравенств 
Корни квадратных трехчленов х
1,2
= 1 ± 
и х
3,4
= 1 ±
.
Критические значения параметра: а = 1 и а = 9.
Пусть Х 1 и Х 2 – множества решений первого и второго неравенств, тогда
Х
1
Х
2
= Х – решение исходного неравенства.
При 0<
a
<1 Х
1
= (-
;1 - )(1 + ; +), при
а
> 1 Х
1
= (-;+).
При 0 <
a
< 9 Х
2
= (1 -; 1 +), при
а
≥9 Х
2
– решений нет.
Рассмотрим три случая:
1. 0<
a
≤1 Х = (1 -;1 - )(1 + ;1 +).
2. 1 <
a
< 9 Х = (1 -;1 +).
3. a ≥ 9 Х – решений нет.
Задачи ЕГЭ
Высокий уровень С1, С2
Пример 1. Найдите все значения р , при которых уравнение
р ∙ ctg 2 x + 2sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.
Решение. Преобразуем уравнение
р
∙ (
- 1) + 2sinx
+ p
= 3, sinx
=t
, t
, t
0.
-
p
+ 2 t +
p
= 3,
+ 2 t = 3, 3 -2t =
, 3t
2
– 2t
3
=
p
.
Пусть
f
(y
) = 3
t
2
– 2
t
3
. Найдем множество значений функции
f
(x
) на 
. у
/
= 6
t
– 6
t
2
, 6
t
- 6
t
2
= 0,
t
1
=0,
t
2
= 1.
f
(-1) = 5,
f
(1) = 1.
При
t
,
E
(f
) =
,
При
t
,
E
(f
) =
, то есть при
t
,
E
(f
) =
.
Чтобы уравнение 3
t
2
– 2
t
3
=
p
(следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно
p
E
(f
), то есть
p
.
Ответ.
.
Пример 2.
При каких значениях параметра
а
уравнение
log
(4
x
2
– 4
a
+
a
2
+7) = 2 имеет ровно один корень?
Решение. Преобразуем уравнение в равносильное данному:
4x 2 – 4a + a 2 +7 = (х 2 + 2) 2 .
Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число – х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.
Найдем а .
4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.
Проверка.
1)
a
1
= 1. Тогда уравнение имеет вид:
log(4
x
2
+4) =2. Решаем его
4x 2 + 4 = (х 2 + 2) 2 , 4x 2 + 4 = х 4 + 4x 2 + 4, х 4 = 0, х = 0 – единственный корень.
2)
a
2
= 3. Уравнение имеет вид:
log(4
x
2
+4) =2 х = 0 – единственный корень.
Ответ. 1; 3
Высокий уровень С4, С5
Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение
х 2 – (р + 3)х + 1= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства: х 3 – 7р х 2 + 2х 2 – 14 р х - 3х +21 р ≤ 0.
Решение.
Пусть х
1,
х
2
– целые корни уравнения х
2
– (р
+ 3)х + 1= 0. Тогда по формуле Виета справедливы равенства х
1
+ х
2
=
р
+ 3, х
1
∙ х
2
= 1. Произведение двух целых чисел х
1
, х
2
может равняться единице только в двух случаях: х
1
= х
2
= 1 или х
1
= х
2
= - 1. Если х
1
= х
2
= 1, то
р
+ 3 = 1+1 = 2 р
= - 1; если х
1
= х
2
= - 1, то
р
+ 3 = - 1 – 1 = - 2 р
= - 5. Проверим являются ли корни уравнения х
2
– (р
+ 3)х + 1= 0 в описанных случаях решениями данного неравенства. Для случая
р
= - 1, х
1
= х
2
= 1 имеем
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – верно; для случая р = - 5, х 1 = х 2 = - 1 имеем (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1) – 3 ∙ (- 1) + 21∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – верно. Итак, условию задачи удовлетворяют только р = - 1 и р = - 5.
Ответ. р 1 = - 1 и р 2 = - 5.
Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а , при которых число 1 принадлежит области определения функции
у
= (а
-
а
).
(1 оценок, в среднем: 5,00 из 5)
Loading...
