Определение и свойства числовой последовательности. Числовые последовательности
Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.
Определение
.
Числовой последовательностью {
x n }
называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . .
ставится в соответствие некоторое число x n
.
Элемент x n
называют n-м членом или элементом последовательности.
Последовательность обозначается в виде n
-го члена, заключенного в фигурные скобки: .
Также возможны следующие обозначения: .
В них явно указывается, что индекс n
принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей:
,
,
.
Другими словами числовая последовательность - это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.
Главным образом нас будет интересовать вопрос - как ведут себя последовательности, при n стремящемся к бесконечности: . Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства . А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей.
Примеры последовательностей
Примеры неограниченно возрастающих последовательностей
Рассмотрим последовательность .
Общий член этой последовательности .
Выпишем несколько первых членов:
.
Видно, что с ростом номера n
,
элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к :
при .
Теперь рассмотрим последовательность с общим членом .
Вот ее несколько первых членов:
.
С ростом номера n
,
элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к :
при .
Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу
Рассмотрим последовательность .
Ее общий член .
Первые члены имеют следующий вид:
.
Видно, что с ростом номера n
,
элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0
:
при .
Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий. В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0
с погрешностью .
Ясно, что с ростом n
эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n
,
погрешность можно сделать сколь угодно малой. Причем для любой заданной погрешности ε > 0
можно указать такой номер N
,
что для всех элементов с номерами большими чем N
:
,
отклонение числа от предельного значения a
не превзойдет погрешности ε
:
.
Далее рассмотрим последовательность .
Ее общий член .
Вот несколько ее первых членов:
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n
равны .
Поэтому, с ростом n
,
их величины приближаются к предельному значению a = 0
.
Это следует также из того, что
.
Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0
,
для которой можно найти такой номер N
,
что элементы, с номерами большими чем N
,
будут отклоняться от предельного значения a = 0
на величину, не превышающую заданной погрешности. Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0
:
при .
Примеры расходящихся последовательностей
Рассмотрим последовательность со следующим общим членом:
Вот ее первые члены:
.
Видно, что члены с четными номерами:
,
сходятся к значению a 1 = 0
.
Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a 2 = 2
.
Сама же последовательность, с ростом n
,
не сходится ни к какому значению.
Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)
Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок . Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть
.
Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть
.
Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем
.
И так далее.
В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1) . Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала , мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней.
Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала . То есть с ростом номера n , члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке.
Например, для точки a = 0
можно выбрать следующую подпоследовательность:
.
= 0
.
Для точки a = 1
выберем такую подпоследовательность:
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1
.
Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу.
Последовательность, содержащая все рациональные числа
Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз.
Рациональное число r
можно представить в следующем виде:
,
где - целое; - натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n
поставить в соответствие пару чисел p
и q
так, чтобы любая пара p
и q
входила в нашу последовательность.
Для этого на плоскости проводим оси p и q . Проводим линии сетки через целые значения p и q . Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов. Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0) (см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1 нам не нужны. Поэтому они не отображены на рисунке.
Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем:
.
Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
И так далее.
Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом , в эту последовательность также будут входить узлы , где - натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .
Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу.
Заключение
Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности . Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице
Числовая последовательность.
Как ?
На данном уроке мы узнаем много интересного из жизни участников большого сообщества под названием Вконтакте числовые последовательности . Рассматриваемая тема относится не только к курсу математического анализа, но и затрагивает основы дискретной математики . Кроме того, материал потребуется для освоения других разделов вышки, в частности, в ходе изучения числовых рядов и функциональных рядов . Можно банально сказать, что это важно, можно ободряюще сказать, что это просто, можно сказать ещё много дежурных фраз, однако сегодня первая, необыкновенно ленивая учебная неделя, поэтому меня жутко ломает сочинять первый абзац =) Уже в сердцАх сохранил файл и собрался спать, как вдруг… голову озарила идея чистосердечного признания, которое невероятно облегчило душу и подтолкнуло к дальнейшему стуку пальцами по клавиатуре.
Отвлечёмся от летних воспоминаний, и заглянем в этот увлекательный и позитивный мир новой социальной сети:
Понятие числовой последовательности
Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.
Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности
располагаются строго в определённом порядке
. Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая
последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности
можно присвоить порядковый номер:
С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число . Тогда говорят, что задана числовая последовательность .
Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.
При этом:
называют первым членом
последовательности;
– вторым членом
последовательности;
– третьим членом
последовательности;
…
– энным
или общим членом
последовательности;
…
На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена
, например:
– последовательность положительных чётных чисел:
Таким образом, запись однозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям в соответствие ставятся числа . Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:
Последовательность положительных нечётных чисел :
Ещё одна распространённая последовательность :
Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.
На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию
. Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть – первый член, а – шаг
арифметической прогрессии. Тогда:
– второй член данной прогрессии;
– третий член данной прогрессии;
– четвертый;
– пятый;
…
И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной
формулой
Примечание : в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.
Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до , нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии: . В нашем случае:
Подставьте в формулу натуральные номера и проверьте правильность построенной выше числовой последовательности.
Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии , энный член которой задаётся формулой , где – первый член , а – знаменатель прогрессии . В заданиях по матану первый член частенько равен единице.
прогрессия задаёт последовательность ;
прогрессия задаёт последовательность ;
прогрессия задаёт последовательность ;
прогрессия задаёт последовательность .
Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно –1, а в чётной – единице.
Прогрессию называют бесконечно убывающей , если (последние два случая).
Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора:
Последовательность на математическом жаргоне называют «мигалкой»:
Таким образом, члены последовательности могут повторяться . Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел.
А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например, задаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»:
Пригласим на танец незамысловатую подругу :
Что происходит, когда «эн» увеличивается до бесконечности? Очевидно, что члены последовательности будут бесконечно близко
приближаться к нулю. Это и есть предел данной последовательности, который записывается следующим образом:
Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой .
В теории математического анализа даётся строгое определение предела последовательности через так называемую эпсилон-окрестность. Этому определению будет посвящёна следующая статья, а пока что разберём его смысл:
Изобразим на числовой прямой члены последовательности и симметричную относительно нуля (предела) -окрестность:
Теперь зажмите синюю окрестность рёбрами ладоней и начинайте её уменьшать, стягивая к пределу (красной точке). Число является пределом последовательности, если ДЛЯ ЛЮБОЙ заранее выбранной -окрестности (сколь угодно малой)
внутри неё окажется бесконечно много
членов последовательности, а ВНЕ неё – лишь конечное
число членов (либо вообще ни одного). То есть эпсилон-окрестность может быть микроскопической, да и того меньше, но «бесконечный хвост» последовательности рано или поздно обязан полностью
зайти в данную окрестность.
Последовательность тоже бесконечно малА: с той разницей, что её члены не прыгают туда-сюда, а подбираются к пределу исключительно справа.
Естественно, предел может быть равен и любому другому конечному числу, элементарный пример:
Здесь дробь стремится к нулю, и соответственно, предел равен «двойке».
Если у последовательности существует конечный предел , то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при ). В противном случае – расходящейся , при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой . Пронесёмся галопом по примерам первого параграфа:
Последовательности являются бесконечно большими
, поскольку их члены уверенным ходом продвигаются к «плюс бесконечности»:
Арифметическая прогрессия с первым членом и шагом тоже бесконечно великА:
К слову, расходится и любая арифметическая прогрессия, за исключением случая с нулевым шагом – когда к конкретному числу бесконечно добавляется . Предел такой последовательности существует и совпадает с первым членом.
У последовательностей схожая судьба:
Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, как ясно уже из названия, бесконечно малА
:
Если знаменатель геометрической прогрессии , то последовательность бесконечно великА:
Если же , например, , то предела вообще не существует, так как члены без устали прыгают то к «плюс бесконечности», то к «минус бесконечности». А здравый смысл и теоремы матана подсказывают, что если что-то куда-то и стремится, то это заветное место единственно.
После небольшого разоблачения становится понятно, что в безудержных метаниях виновата «мигалка», которая, кстати, расходится и сама по себе.
Действительно, для последовательности легко подобрать -окрестность, которая, скажем, зажимает только число –1. В результате бесконечное количество членов последовательности («плюс единиц») останутся вне данной окрестности. Но по определению, «бесконечный хвост» последовательности с определённого момента (натурального номера) должен полностью
заходить в ЛЮБУЮ -окрестность своего предела. Вывод: предела не существует.
Факториал является бесконечно большой
последовательностью:
Причём, растёт он как на дрожжах, так, представляет собой число, у которого более 100 цифр (разрядов)! Почему именно 70? На нём просит пощады мой инженерный микрокалькулятор.
С контрольным выстрелом всё чуть сложнее, и мы как раз подошли к практической части лекции, в которой разберём боевые примеры:
А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений
и Замечательные пределы
. Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции:
В пределе последовательности «динамическая» переменная «эн» может стремиться только к «плюс бесконечности»
– в сторону увеличения натуральных номеров .
В пределе функции «икс» может быть направлен куда угодно – к «плюс/минус бесконечности» либо к произвольному действительному числу.
Последовательность дискретна (прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов. Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять. Для аргумента же функции характерна непрерывность, то есть «икс» плавно, без приключений стремится к тому или иному значению. И, соответственно, значения функции будут так же непрерывно приближаться к своему пределу.
По причине дискретности в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей.
Начнём с прогрессий:
Пример 1
Найти предел последовательности
Решение
: нечто похожее на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но она ли это? Для ясности распишем несколько первых членов:
Так как , то речь идёт о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая рассчитывается по формуле .
Оформляем решение:
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: . В данном случае: – первый член, – знаменатель прогрессии.
Пример 2
Написать первые четыре члена последовательности и найти её предел
Это пример для самостоятельного решения. Для устранения неопределённости в числителе потребуется применить формулу суммы первых членов арифметической прогрессии:
, где – первый, а – энный член прогрессии.
Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость – одна из самых популярных.
И многие примеры решаются точно так же, как пределы функций
!
А может быть что-нибудь посложнее наподобие ? Ознакомьтесь с Примером №3 статьи Методы решения пределов .
С формальной точки зрения разница будет лишь в одной букве – там «икс», а здесь «эн».
Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени.
Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость . Как решать пределы вроде можно узнать из Примеров №11-13 той же статьи.
Чтобы разобраться с пределом , обратитесь к Примеру №7 урока Замечательные пределы (второй замечательный предел справедлив и для дискретного случая). Решение снова будет как под копирку с различием в единственной букве.
Следующие четыре примера (№№3-6) тоже «двулики», но на практике почему-то больше характерны для пределов последовательностей, чем для пределов функций:
Пример 3
Найти предел последовательности
Решение
: сначала полное решение, потом пошаговые комментарии:
(1) В числителе дважды используем формулу .
(2) Приводим подобные слагаемые в числителе.
(3) Для устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на («эн» в старшей степени).
Как видите, ничего сложного.
Пример 4
Найти предел последовательности
Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения в помощь.
В пределах с показательными последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя:
Пример 5
Найти предел последовательности
Решение
оформим по той же схеме:
Аналогичная теорема справедлива, кстати, и для функций: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию – есть бесконечно малая функция.
Пример 9
Найти предел последовательности
Функция a n =f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.
Числа a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…
Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, следовательно, a 1 — первый член последовательности;
a 2 - второй член последовательности;
a 3 - третий член последовательности;
a 4 - четвертый член последовательности и т.д.
Кратко числовую последовательность записывают так: a n =f (n) или {a n }.
Существуют следующие способы задания числовой последовательности:
1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.
Пример 1 . Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.
Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:
0; 5; 10; 15; 20; 25; ...
Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Задайте ее словесным способом.
Решение. Замечаем, что 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.
2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: a n =f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.
Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: a k = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.
a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;
a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;
a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;
a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.
Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; ... .
Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; ... . Ответ: a k =2k-1.
3) Рекуррентный способ. Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.
Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности {a n },
если a 1 =7; a n+1 = 5+a n .
a 2 =5+a 1 =5+7=12;
a 3 =5+a 2 =5+12=17;
a 4 =5+a 3 =5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... .
Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности {b n },
если b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .
b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;
b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;
b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Ответ: -2; 3; -1; 5; 3; ... .
4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты — значения членов последовательности: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;… .
Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.
Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; a n). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n .
Получаем: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).
Следовательно, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5 =7.
Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.
Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).
Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.