Теория вероятности наука о случайных явлениях. Вероятности случайных событий. Теория вероятностей математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Задачи и примеры

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в массовых случайных явлениях.

Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (испытания, эксперимента) протекает каждый раз несколько по-иному.

Примеры случайных явлений:

Одно и то же тело несколько раз взвешивается на весах, самых точных (аналитических). Результаты повторных испытаний - взвешиваний - несколько отличаются друг от друга. Это происходит за счет влияния многих факторов, как-то: положение тела и разновесок на чашках весов, вибрация аппаратуры, смещение головы и глаза наблюдателя и т.п.

2. Производится испытание изделия, например, реле на длительность безотказной работы. Результат испытания изменяется, не остается постоянным. Это обусловлено многими факторами, например, микродефекты в металле, разные температурные условия и т.д.

Закономерности случайных явлений могут проявляться только при их многократном наблюдении. Изучению поддаются только такие случайные явления, которые можно наблюдать много, практически неограниченное число раз. Такие случайные явления называются массовыми .

Результаты отдельных наблюдений случайных явлений непредсказуемы, но при многократных наблюдениях выявляются определенные закономерности. Эти закономерности и являются предметом изучения теории вероятностей (ТВ).

Возникновение теории вероятностей как науки относится к середине 17 века и связано с именами Паскаля (1623-1662), Ферма (1601-1665), Гюйгенса (1629-1695). Истинная история теории вероятностей начинается с работ Бернулли (1654-1705) и Муавра (1667-1754).

В 19 веке большой вклад в развитие теории и практики внесли Лаплас (1749-1827), Пуассон (1781-1840) и Гаусс (1777-1855). Следующий период в развитии теории вероятностей связан с именами Чебышева П.Л. (1821-1894), Маркова А.А. (1856-1922), Ляпунова А.М. (1857-1918).

Современный период развития связан с именами Колмогорова (1903-1987), Бернштейна (1880-1968), Мизеса (1883-1953) и Бореля (1871-1956). Теория вероятностей является мощным инструментом исследования. Находит большое число самых разнообразных применений в различных областях науки и инженерной практики.

Построение вероятностной математической модели случайного явления

Общим для всех случайных явлений является их непредсказуемость в отдельных наблюдениях. Для их описания и исследования необходимо построить математическую вероятностную модель. Для построения модели введем некоторые определения.

Опыт (эксперимент, испытание) - наблюдение какого-либо явления при выполнении определенных фиксированных условий.

Событие - факт, регистрируемый в результате опыта.

Случайное событие - такое событие, которое при проведении данного опыта может произойти, а может и не произойти. События обозначаются: A, B, C, D...

Пространство элементарных событий : для данного опыта всегда можно выделить совокупность случайных событий, называемых элементарными . В результате опыта обязательно происходит одно и только одно из элементарных событий.

Пример: Подбрасывается игральная кость. Может выпасть одна из граней с числом очков «1», «2», «3», «4», «5» или «6». Выпадение грани - элементарное событие. Элементарные события называют также исходами опыта. Совокупность всех возможных в данном опыте элементарных событий (исходов) называется пространством элементарных событий.

Обозначение: W={w i }, где W - пространство элементарных событий w i .

Таким образом, любому опыту можно поставить в соответствие пространство элементарных событий. Если производится наблюдение за неслучайным (детерминированным) явлением, то при фиксированных условиях всегда возможен лишь один исход. (W состоит из одного элементарного события). Если наблюдается случайное явление, то W состоит более чем одного элементарного события. W может содержать конечное, счетное или несчетное множество элементарных событий.

Примеры W :

Подбрасывается игральная кость. Элементарное событие - выпадение какой-либо грани. W={1,2,3,4,5,6} - конечное множество.

Измеряется число космических частиц, падающих на площадку за определенное время. Элементарное событие - число частиц. W={1,2,3...} - счетное множество.

Производится стрельба по мишени без осечки бесконечно долго. Элементарное событие - попадание в некоторую точку пространства, координаты которой (x,y). W={(x,y)} - несчетное множество.

Выделение пространства элементарных событий представляет собой первый шаг в формировании вероятностной модели случайного явления.

Реферат ученика 9 класса «А» средней школы № 1054 Валишева Тимура

1. Вступление.

С первого взгляда может показаться, что никаких законов, управляющих случайными явлениями нет и быть не может. Однако, если разобраться, случайные явления происходят не так уж хаотически. Во многих случаях обнаруживаются закономерности. Эти закономерности не похожи на обычные законы физических явлений; они весьма разнообразны.

Возьмем, к примеру, игру в монету. При бросании может быть два равновероятных исхода: монета может упасть кверху гербом или решкой. Бросая монету один раз нельзя предугадать, какая сторона окажется сверху. Однако, бросив монету 100 раз, можно сделать выводы. Можно заранее сказать, что герб выпадет не 1 и не 2 раза, а больше, но и не 99 и не 98 раз, а меньше. Число выпадений герба будет близко к 50. На самом деле, и на опыте можно в этом убедиться, что это число будет заключено между 40 и 60.

Так же статистически установлено, что на 1000 детей приходится 511 мальчиков и 489 девочек (т.е. 48,9% и 51,1% соответственно). Это поразительное постоянство отмечено многими учеными, среди которых и Симон Лаплас, один из основателей Теории. Эта информация позволяет нам с большой точностью предсказывать вероятность количества мальчиков или девочек в тот или иной год (эти расчеты, например, используются призывной комиссией).

2. Определения и основные понятия Теории.

Теперь перейдем к алгебраическому выражению Теории. Вот классическое определение:

определение: Пусть множество исходов опыта состоит из n равновероятных исходов. Если m из них благоприятствуют событию A, то вероятностью события A называется число

Давая такое определение, мы рассчитываем, что (в силу равновероятности исходов опыта) при n-кратном повторении опыта событие A наступит в

случаях (именно в этом заключается практическая ценность Теории).

Следует объяснить некоторые понятия Теории, которые будут необходимы в дальнейшем:

Достоверное событие – событие, которое обязательно должно произойти в результате опыта. Такое событие обозначается буквой E (Expected)

Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате опыта. Такое событие обозначается буквой U (Unreal)

Несовместные события – события, которые не могут произойти в результате опыта одновременно.

Совместные события – события, которые могут произойти в результате опыта одновременно.

Событие A благоприятствует событию B, если из того, что произошло событие A следует событие B. (т.е.

)

Объединением событий A и B называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произошло хотя бы одно из этих событий (т.е.

Пересечением событий A и B называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произошли оба из этих событий (т.е.

Закон больших чисел.

Пусть K раз мы проделали испытания, и N раз в результате опыта произошло событие A. Тогда число

будет называться частотой появления события А. Закон больших чисел утверждает, что при вероятности события А равной

(причем N и K нам неизвестны), то всегда можно выбрать достаточно большое N, чтобы выполнялось соотношение:

(ипсилон) - сколь угодно малое положительное неравное нулю число.

Это значит, что при достаточно большом количестве испытаний частота появления того или иного события будет сколь угодно мало отличаться от нуля.

Это соотношение дает возможность устанавливать опытным путем с достаточно хорошим приближением вероятность неизвестного нам события.

3. Задачи и примеры.

Первые расчеты вероятностей событий начались еще в XVII веке с подсчета шансов игроков в азартных играх. В первую очередь это была игра в кости.

Бросили кость. Какова вероятность того, что выпало число 5?

Всего существует 6 вариантов выпадения кости (n = 6). Все эти варианты равновероятны, т.к. кость сделана так, что у всех сторон есть одинаковые шансы оказаться сверху, следовательно, m = 1; значит

Где Р(5) – вероятность выпадения пятерки.

Какова вероятность того, что при бросании выпадет четное число очков?

Благоприятных возможностей здесь три: 2; 4; 6. Поэтому m = 3, всего исходов 6 (n = 6), следовательно

Где P(четн.) – вероятность выпадения четного номера.

Бросили 2 игральные кости и подсчитали сумму выпавших очков. Что вероятней – получить в сумме 7 или 8?

. Но это тоже не равновероятные исходы. Чтобы получить равновероятностные исходу опыта, покрасим кости в разные цвета (черный и белый). В итоге мы имеем: «на белой кости выпало k очков, на черной – p». Обозначим это (k; p). Два таких события попарно несовместны. Число всех возможных исходов n = 62 = 36 (каждое из 6 очков на белой кости может сочетаться с любым из 6 очков на черной кости). Из этих 36 исходов событию A будут благоприятствовать исходы: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1), т.е. всего 6 (m = 6). По формуле имеем:

Событию B будут благоприятствовать исходы: (2;6); (3;5); (4;4); (5;3); (6;2), т.е. всего 5. По формуле, имеем:

, следовательно, получить в сумме 7 очков – более вероятное событие, чем получить 8.

Эта задача впервые была решена игроками в кости, и уже потом – решена математически. Она стала одной из первых, при обсуждении которых начала складываться Теория.

В коробке лежит 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наугад вынимается шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

В результате опыта может наступить 2 события: A = «Вынут черный шар» и B = «Вынут белый шар». Но эти 2 события не равновероятны, т.к. белых шаров больше. Для получения множества равновероятных исходов пронумеруем шары: с 1 по 12 – белые и с 13 по 20 – черные. Все события Ek = «Вынут шар с номером k» равновероятны, т.к. шары на ощупь неотличимы и вынимаются на удачу. Тем более, все 20 событий Ek и являются множеством исходов нашего опыта, следовательно, n = 20. Из них 12 благоприятствуют интересующему нас событию B, следовательно, m = 12. Следовательно

Это значит, что с вероятностью 0,6 (60%) мы вытащим белый шар.

В Теории существует такое понятие, как независимость событий. У каждого из нас есть интуитивное представление о независимости событий. Так, например, мы понимаем, что, если бросить две монеты, то то, что выпало на одной монете, не зависит от того, что выпало на другой. Но т.к. Теория – математическая наука, то надо дать точное определение независимости событий.

определение: Два события А и В называются независимыми, если выполняется равенство:

Два охотника независимо друг от друга одновременно стреляют по зайцу. Заяц будет убит, если попали оба. Какие у зайца шансы выжить, если первый охотник попадает с вероятностью 0,8, а второй с вероятностью 0,75?

Рассмотрим два события: А = «в зайца попал 1-й охотник» и В = «в зайца попал 2-й охотник». Нас интересует событие

(т.е. произошло и событие A и событие В). В силу независимости событий, имеем:

Это значит, что в 6 случаях из 10 зайца пристрелят.

Известно, что на каждые 10 билетов приходится один выигрышный. Какова вероятность выигрыша, если имеется 50 билетов?

По известной нам формуле легко вычислить, что вероятность выигрыша одного билета 0,1; вероятность того, что он не выиграет 0,9. Выигрыши и проигрыши билетов друг от друга независимы. Вероятность того, что не выиграет первый билет 0,9. Вероятность того, что не выиграет второй тоже 0,9. Тогда вероятность того, что не выиграет ни первый, ни второй, по определению независимых событий

Точно так же показывается, вероятность того, что не выиграют первые 3 билета, составляет 0,93; а вероятность того, что не выиграют все 50 билетов = 0,950; т.е. приблизительно 0,005. Соответственно, вероятность выигрыша хотя бы одного билета 0,995 (99,5%).

Теория вероятностей – наука о случайных явлениях (событиях). Какие явления можно назвать случайными? Ответ, который можно дать сразу, – это события, не поддающиеся объяснению. А если их объяснить, то перестанут ли события быть случайными? Приведем несколько примеров.

Пример 1. Саша Иванов - средний студент и обычно дает правильные ответы лишь на половину экзаменационных билетов. На очередном экзамене Саша на билет ответил и получил положительную оценку. Какие события можно считать случайными:

а) Саше попался «хороший» билет – событие А;

б) Саша ответил на билет – событие В;

в) Саша сдал экзамен – событие С.

Событие А – случайное, так как Саша мог взять и «плохой» билет, но почему ему попался «хороший» - это объяснить трудно. Событие В - не случайно, так как Саша может ответить только на «хороший» билет. Событие С – случайное, так как состоит из нескольких событий и, по меньшей мере, одно из них случайное (событие А).

Пример 2. Саша и Маша разыгрывают билет на концерт. Какие из следующих событий можно считать случайными?

а) Только Саша выиграл билет – событие А;

б) Только Маша выиграла билет – событие В;

в) Саша или Маша выиграли билет – событие С;

г) Оба выиграли билет – событие D.

События А и В – случайные; событие С – не случайное, так как оно обязательно произойдет. Событие D – не случайное, так как оно никогда, при данных условиях, произойти не может.

Тем не менее, все эти события имеют смысл и изучаются в теории вероятностей (при этом событие С называется достоверным, а событие D – невозможным).

Пример 3. Рассмотрим работу столовой, в плане обслуживания клиентов. Моменты прихода посетителей (событие А) заранее предсказать невозможно, более того, время, затрачиваемое клиентами на обед (событие В), для разных клиентов - различное. Следовательно, события А и В можно считать случайными, а процесс обслуживания клиентов – случайным процессом (или случайным явлением).

Пример 4. Английский ботаник Браун (Brown), изучая под микроскопом пыльцу хвойных растений в воде, открыл, что взвешенные частицы двигаются беспорядочно под действием толчков со стороны молекул окружающей среды.

Это беспорядочное движение частиц А. Эйнштейн назвал (1905-1906) броуновским (от имени Brown), а позднее Н. Винер создал теорию винеровских процессов (1920-1930), являющихся непрерывным аналогом броуновского движения. Выяснилось, что частица размером в один микрон (10 -4 см) испытывает за секунду со стороны молекул более 10 15 ударов. Чтобы определить траекторию частицы, нужно за секунду измерить параметры 10 15 ударов. Это практически невозможно. Таким образом, мы вправе броуновское движение считать случайным. Поступив так, Эйнштейн открыл новые возможности изучения броуновского движения, а заодно, и тайн микромира.

Здесь случайность проявляется как незнание или неумение получить достоверную информацию о движении частиц.

Из примеров следует, что случайные события не существуют в единственном числе, у каждого из них должно быть, по меньшей мере, альтернативное событие.

Таким образом, под случайными будем понимать наблюдаемые события, каждое из которых обладает возможностью реализоваться в данном наблюдении, но реализуется лишь одно из них.

Кроме того, мы предполагаем, что любое случайное событие «за бесконечное время реализуется бесконечное число раз».

Это условие хотя и образное, но достаточно точно отражает суть понятия случайного события в теории вероятностей.

В самом деле, изучая случайное событие, нам важно знать не только факт его появления, но и то, как часто случайное событие появляется в сравнении с другими, то есть знать его вероятность.

Для этого необходимо иметь достаточный набор статистических данных, но это уже предмет математической статистики.

Итак, можно утверждать, что в природе нет ни одного физического явления, которое бы не содержало элемент случайности, а это означает, что, изучая случайность, мы познаем закономерности окружающего нас мира. Современная теория вероятностей редко применяется для изучения отдельного явления, состоящего из небольшого числа факторов. Основной ее задачей является выявление закономерностей в массовых случайных явлениях и их изучение.

Вероятностный (статистический) метод изучает явления с общих позиций,

помогает специалистам познать их суть, не останавливаясь на несущественных деталях. Это является большим преимуществом по сравнению с точными методами других наук. Не следует думать, что теория вероятностей противопоставляет себя другим наукам, наоборот, она их дополняет и развивает.

Например, вводя в детерминированную модель случайную составляющую, часто получают более точные и глубокие результаты изучаемого физического процесса. Эффективным оказывается и вероятностный подход для явлений, которые декларируются случайными, независимо от того, являются они таковыми или нет.

В теории вероятностей такой подход называется рандомизацией (random – случайный).

Исторические сведения

Принято считать, что теория вероятностей своему возникновению обязана азартным играм, однако аналогичные права на нее может предъявить, например, и страхование. В любом случае, теория вероятностей и математическая статистика появились благодаря потребностям практики.

Первые серьезные работы по теории вероятностей возникли в середине XVII века из переписки Паскаля (1623 – 1662) и Ферма (1601 – 1665) при изучении азартных игр. Одним из основателей современной теории вероятностей является Яков Бернулли (1654 – 1705). Изложение основ теории вероятностей принадлежит Муавру (1667 – 1754) и Лапласу (1749 – 1827).

С именем Гаусса (1777 – 1855) связан один из самых фундаментальных законов теории вероятностей – нормальный закон, а с именем Пуассона (1781 – 1840) – закон Пуассона. Кроме того, Пуассону принадлежит теорема закона больших чисел, обобщающая теорему Бернулли.

Большой вклад в развитие теории вероятностей и математической статистики внесли русские и советские математики.

П.Л. Чебышеву принадлежат фундаментальные работы по закону больших чисел, А.А. Маркову (1856 – 1922) – авторство создания теории стохастических процессов (марковских процессов). Его ученик А.М. Ляпунов (1857 – 1918) доказал центральную предельную теорему при достаточно общих условиях, разработал метод характеристических функций.

Среди советских математиков, сформировавших теорию вероятностей как математическую науку, следует отметить С.Н. Бернштейна (1880 – 1968), А. Я. Хинчина (1894 – 1959) (стационарные случайные процессы, теория массового обслуживания), А.Н. Колмогорова (1903 – 1987) (автора аксиоматического построения теории вероятностей; ему принадлежат фундаментальные работы по теории стохастических процессов), Б. В. Гнеденко (р.1911) (теория массового обслуживания, стохастические процессы), А.А. Боровкова (р. 1931) (теория массового обслуживания).

Тема 1. Введение

План:

1. Предмет теории вероятностей

2. Краткие исторические сведения

Теоретические сведения

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей случайных массовых явлений. однородных

Методы, открытые в теории вероятностей, получили свое продолжение в большинстве современных наук и отраслях деятельности человека.

Например:

1. Дождь идет в течении трех дней. Можно ли быть уверенным, что он прекратится на четвертые сутки.

2. После 10 испытаний некоторого прибора можно ли быть уверенным, что он не сломается на следующем испытании?

3. Теория вероятностей может указать на характер ошибок при статистических расчетах, указать ее пределы.

4. Производится стрельба из орудия, установленного под заданным углом к горизонту. Пользуясь методами баллистики можно найти теоретическую траекторию снаряда. Эта траектория вполне определяется условиями стрельбы: начальной скоростью снаряда, углом бросания и баллистическим коэффициентом. Фактическая траектория каждого отдельного снаряда неизбежно несколько отклоняется от теоретической траектории за счет совокупного таких факторов как: ошибки изготовления снаряда, отклонение веса заряда от номинала, неоднородность структуры заряда, ошибки установки ствола в заданное положение, метеорологические условия и т. д.

Если произвести несколько выстрелов при неизменных основных условиях, мы получим не одну теоретическую траекторию, а целый пучок траекторий, образующий называемое рассеивание снарядов.

5. Одно и то же тело несколько раз взвешивается на аналитических весах; результаты повторных взвешиваний несколько отличаются друг от друга. Эти различия обусловлены влиянием многих второстепенных факторов, сопровождающих операцию взвешивания, таких как положение тела на чашке весов, случайные вибрации аппаратуры, ошибки отсчета показаний прибора и т. д.

6. Самолет совершает полет на заданной высоте; теоретически он летит горизонтально, равномерно и прямолинейно. Фактически полет сопровождается отклонениями центра массы самолета от теоретической траектории и колебаниями самолета около центра массы. Эти отклонения и колебания являются случайными и связаны с турбулентностью атмосферы; от раза к разу они не повторяются.

Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали.

Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, "модель", и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. Из бесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяются самые главные факторы по отношению к целям эксперимента. Остальными, второстепенными факторами для данного случая, просто пренебрегают. Причем факт установления важности того или иного фактора весьма сложная и не однозначная.

Такая схема изучения явлений постоянно применяется в физике, механике, технике. При пользовании этой схемой для решения любой задачи, прежде всего выделяется основной круг учитываемых условий и выясняется, на какие параметры задачи они влияют; затем применяется тот или иной математический аппарат (например, составляются и интегрируются дифференциальные уравнения, описывающие явление); таким образом выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению и дающая возможность предсказать результат опыта по его заданным условиям. По мере развития науки число учитываемых факторов становится все больше; явление исследуется подробнее; научный прогноз становится точнее.

Однако для решения ряда вопросов описанная схема - классическая схема так называемых "точных наук" - оказывается плохо приспособленной.

Существуют такие задачи, где интересующий нас исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть все эти факторы. Это задачи, в которых многочисленные второстепенные, тесно переплетающиеся между собой случайные факторы играют заметную роль, а вместе с тем число их так велико и влияние столь сложно, что применение классических методов исследования себя не оправдывает.

Например, движение планет Солнечной системы, прогноз погоды, полет самолета, пружок спортсмена в длину или его бег, встреча людей по пути на работу и многое другое.

Рассмотрим типичный пример. Некоторое техническое устройство, например система автоматического управления, решает определенную задачу в условиях, когда на систему непрерывно воздействуют случайные помехи. Наличие помех приводит к тому, что система решает задачу с некоторой ошибкой, в ряде случаев выходящей за пределы допустимой. Возникают вопросы: как часто будут появляться такие ошибки? Какие следует принять меры для того, чтобы практически исключить их возможность?

Чтобы ответить на такие вопросы, необходимо исследовать природу и структуру случайных возмущений, воздействующих на систему, изучить реакцию системы на такие возмущения, выяснить влияние конструктивных параметров системы па вид этой реакции.

Все подобные задачи, число которых в физике и технике чрезвычайно велико, требуют изучения не только основных, главных закономерностей, определяющих явление в общих чертах, но и анализа случайных возмущений и искажений, связанных с наличием второстепенных факторов и придающих исходу опыта при заданных условиях элемент неопределенности

С чисто теоретической точки зрения те факторы, которые мы условно назвали "случайными", в принципе ничем не отличаются от других, которые мы выделили в качестве "основных". Теоретически можно неограниченно повышать точность решения каждой задачи, учитывая все новые и новые группы факторов. Однако практически такая попытка одинаково подробно и тщательно проанализировать влияние решительно всех факторов, от которых зависит явление, привела бы только к тому, что решение задачи, в силу непомерной громоздкости и сложности, оказалось бы практически неосуществимым и к тому же не имело бы никакой познавательной ценности.

Практика показывает, что, наблюдая в совокупности массы однородных случайных явлений, мы обычно обнаруживаем в них вполне определенные закономерности, своего рода устойчивости, свойственные именно данным случайным массовым явлениям.

Рассмотрим еще один пример. По некоторой мишени производится один за другим ряд выстрелов; наблюдается распределение точек попадания на мишени. При ограниченном числе выстрелов точки попадания распределяются по мишени в полном беспорядке, без какой-либо пилимой закономерности. По мере увеличения числа выстрелов в расположении точек попадания начинает наблюдаться некоторая закономерность; эта закономерность проявляется тем отчетливее, чем больше выстрелов произведено. Расположение точек попадания оказывается приблизительно симметричным относительно некоторой центральной точки: в центральной области группы пробоин они расположены гуще, чем по краям; при этом густота пробоин убывает по вполне определенному закону (так называемый "нормальный закон" или "закон Гаусса", которому будет уделено большое внимание в данном курсе).

Подобные специфические, так называемые "статистические", закономерности наблюдаются всегда, когда мы имеем дело с массой однородных случайных явлений. Закономерности, проявляющиеся в этой массе, оказываются практически независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в массу. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно погашаются, нивелируются, и средний результат массы случайных явлений оказывается практически уже не случайным.

Именно эта многократно подтвержденная опытом устойчивость случайных массовых явлений и служит базой для применения вероятностных (статистических) методов исследования.

Методы теории вероятностей по природе приспособлены только для исследования случайных массовых явлений; они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из которых остается неопределенным, случайным.

Чем большее количество однородных случайных явлений участвует в задаче, тем определеннее и отчетливее проявляются присущие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точностью можно осуществлять научный прогноз.

Во всех случаях, когда применяются вероятностные методы исследования, цель их в том, чтобы, минуя слишком сложное (и зачастую практически невозможное) изучение отдельного явления, обусловленного слишком большим количеством факторов, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами случайных явлений. Изучение этих" законов позволяет не только осуществлять научный прогноз в своеобразной области случайных явлений, но в ряде случаев помогает целенаправленно влиять на ход случайных явлений, контролировать их, ограничивать сферу действия случайности, сужать ее влияние на практику.

Вероятностный, или статистический, метод в науке не противопоставляет себя классическому, обычному методу точных наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случайности.

Обширное поле применения находит теория вероятностей в разнообразных областях военной техники: теория стрельбы и бомбометания, теория боеприпасов, теория прицелов и приборов управления огнем, аэронавигация, тактика и множество других разделов военной науки широко пользуются методами теории вероятностей и ее математическим аппаратом.

Реферат ученика 9 класса «А» средней школы № 1054 Валишева Тимура

1. Вступление.

2. Определения и основные понятия Теории.

Теперь перейдем к алгебраическому выражению Теории. Вот классическое определение:

Давая такое определение, мы рассчитываем, что (в силу равновероятности исходов опыта) при n-кратном повторении опыта событие A наступит в случаях (именно в этом заключается практическая ценность Теории).

Следует объяснить некоторые понятия Теории, которые будут необходимы в дальнейшем:

Несовместные события – события, которые не могут произойти в результате опыта одновременно.

Совместные события – события, которые могут произойти в результате опыта одновременно.

Событие A благоприятствует событию B, если из того, что произошло событие A следует событие B. (т.е.)

Объединением событий A и B называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произошло хотя бы одно из этих событий (т.е.).

Пересечением событий A и B называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произошли оба из этих событий (т.е.).

Закон больших чисел.

Пусть K раз мы проделали испытания, и N раз в результате опыта произошло событие A. Тогда число будет называться частотой появления события А. Закон больших чисел утверждает, что при вероятности события А равной

(причем N и K нам неизвестны), то всегда можно выбрать достаточно большое N, чтобы выполнялось соотношение:

где (ипсилон) - сколь угодно малое положительное неравное нулю число.

3. Задачи и примеры.

Бросили кость. Какова вероятность того, что выпало число 5?

Где Р(5) – вероятность выпадения пятерки.

Какова вероятность того, что при бросании выпадет четное число очков?

Благоприятных возможностей здесь три: 2; 4; 6. Поэтому m = 3, всего исходов 6 (n = 6), следовательно

Где P(четн.) – вероятность выпадения четного номера.

Бросили 2 игральные кости и подсчитали сумму выпавших очков. Что вероятней – получить в сумме 7 или 8?

Вот множество исходов опыта: «В сумме выпало 2 очка», «В сумме выпало 3 очка»,…, «В сумме выпало 12 очков». Нас интересуют события A = «выпало 7 очков» и B = «выпало 8 очков». Но это не равновероятные исходы опыта, как может показаться с первого раза. Действительно, 2 в сумме может получиться единственным образом: 2 = 1+1, а 4 = 1 + 3 и 4 = 2 + 2, следовательно, шансов на то, что выпадет 4, больше. Рассмотрим такое множество событий: «на одной кости выпало k очков, а на другой кости выпало p очков». . Но это тоже не равновероятные исходы. Чтобы получить равновероятностные исходу опыта, покрасим кости в разные цвета (черный и белый). В итоге мы имеем: «на белой кости выпало k очков, на черной – p». Обозначим это (k; p). Два таких события попарно несовместны. Число всех возможных исходов n = 62 = 36 (каждое из 6 очков на белой кости может сочетаться с любым из 6 очков на черной кости). Из этих 36 исходов событию A будут благоприятствовать исходы: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1), т.е. всего 6 (m = 6). По формуле имеем:

Событию B будут благоприятствовать исходы: (2;6); (3;5); (4;4); (5;3); (6;2), т.е. всего 5. По формуле, имеем:

Следовательно, получить в сумме 7 очков – более вероятное событие, чем получить 8.

Это значит, что с вероятностью 0,6 (60%) мы вытащим белый шар.

определение: Два события А и В называются независимыми, если выполняется равенство:

Рассмотрим два события: А = «в зайца попал 1-й охотник» и В = «в зайца попал 2-й охотник». Нас интересует событие (т.е. произошло и событие A и событие В). В силу независимости событий, имеем:

Это значит, что в 6 случаях из 10 зайца пристрелят.

Один французский рыцарь, де Мере, был страстным игроком в кости. Он всячески старался разбогатеть и придумывал для этого разные усложненные правила.

Он, в частности, придумал такие правила: бросают 4 кости и он бьется об заклад, что хотя бы на одной выпадет 6. Он считал, что в большей части случаев он останется в выигрыше. Чтобы подтвердить это, он обратился к своему старому знакомому – Блезу Паскалю с просьбой рассчитать, какова вероятность выигрыша в этой игре.

Приведем расчет Паскаля.

При каждом отдельном бросании вероятность события A = «выпала шестерка» = . Вероятность события B = «не выпала шестерка» = . Кубики не зависят друг от друга, следовательно, по формуле

вероятность того, что шестерка не выпадет два раза подряд, составляет

Точно так же показывается, что при трехкратном бросании вероятность невыпадения 6 составляет

А при четырехкратном –

А, следовательно, вероятность выигрыша. Значит, при каждой игре больше половины шансов было за то, что де Мере выиграет; при многократном повторении игры он наверняка оставался в выигрыше.

Резонно поставить вопрос, какой должна быть вероятность события, чтобы можно было считать его достоверным? Известно, что примерно 5% назначенных концертов отменяется, однако это не мешает нам покупать билеты. Но если бы 5% самолетов разбивались, то вряд ли бы кто-нибудь стал пользоваться воздушным транспортом.

Для того, чтобы в условиях мирного времени не рисковать жизнью, то вероятность неблагоприятного исхода должна быть, по-видимому, не больше 0,0001. Разные люди по-разному относятся к риску, но очевидно, что даже самые осторожные легко пойдут на риск, если вероятность неблагоприятного исхода составляет 10-5. Например, вероятность попасть под машину в большом городе 10-7. Так что можно предположить, что событие с вероятностью неблагоприятного исхода 10-7 можно считать достоверным, однако транспортные происшествия случаются каждый день.

Так же можно определить вероятность невозможного события, например «чуда Бореля» (Эмиль Борель – математик, автор многих работ по Теории) – того, что обезьяна, наугад ударяя пальцами по клавиатуре, напечатает какое-нибудь законченное произведение, например, «Горе от ума» Грибоедова. Это не невозможное событие, хотя вероятность его очень мала, примерно 10-2600. С такой же вероятностью на огне может замерзнуть чайник (термодинамика, кстати, не отрицает возможности такого явления).

Но все-таки вероятность невозможного события большинство ученых оценивает как 10-16.

4. Метод «Монте-Карло».

определение. Метод Монте-Карло – это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Теоретическая основа метода была известно давно, однако только с появлением компьютеров он нашел широкое применение, т.к. моделировать случайные величины вручную – трудоемкое занятие.

Само название метода – «Монте-Карло» происходит от названия города в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что простейшим прибором для моделирования случайных величин является… рулетка. Наиболее часто задаваемый вопрос, естественно: «Помогает ли метод выигрывать в рулетку». Нет, к сожалению, не помогает.

Теперь перейдем непосредственно к математике. Чтобы было понятно, о чем идет речь, приведем простейший пример применения метода.

Предположим, нам надо вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке. Предположим, что она расположена внутри единичного квадрата.

Выберем внутри единичного квадрата N случайных точек. Обозначим через N’ число точек, попавших внутрь этой фигуры. Тогда площадь этой фигуры будет приближенно равна.

На рисунке всего 30 точек. 12 из них попали в фигуру, в то время как истинная площадь фигуры равна 0,48.

Особенности Метода.

Первая особенность – простота вычислительного алгоритма. Как правило, составляется программа для проведения одного случайного испытания, и повторять его N раз. Поэтому Метод часто называют методом статистических испытаний

Вторая особенность – погрешность, как правило, пропорциональна, где D = const, N – число испытаний.

Разные задачи можно решать разными вариантами Метода, которых, кстати, очень много. Для каждого варианта – свое значение D и, соответственно, свое значение погрешности.

С помощью Метода можно смоделировать любой процесс, протекание которого связано со случайными величинами. Так же можно искусственно придумать вероятностную модель для задач, не связанных со случайностью.

Для получения случайных чисел существуют специальные таблицы, которыми особенно удобно пользоваться на компьютерах: каждый раз мы просто берем очередное число и используем его как случайное. Но составить такую таблицу не так просто, как может показаться. Существуют специальные тесты, чтобы проверить правильность случайной последовательности.

Практическое значение Метода очень велико. С его помощью, например, можно рассчитать надежность любого изделия, или рассчитать траекторию прохождения нейтронов сквозь пластину или положение электрона в данный момент времени и т.д.

5. Несколько слов об истории развития Теории.

В XVII столетии Теорией занимались такие выдающиеся математики, как Паскаль, Ферма, Гюйгенс. При этом первые вклады в Теорию были сделаны в связи с изучением азартных игр.

Однако уже в конце XVII в. начали пользоваться Теорией при страховании кораблей, т.е. начали подсчитывать, сколько шансов на то, что корабль вернется в порт невредимым, не будет потоплен бурей, что груз не подмокнет, что он не будет захвачен пиратами и т.д. Такой расчет позволял определять, какую страховую сумму следует выплачивать и какой страховой взнос брать, чтобы это было выгодно для компании.

В первой половине XVIII в. для теории много сделал Яков Бернулли – член Российской Академии наук. Следует отметить труды С. Лапласа, С. Пуассона, К. Гаусса.

При всем при том, в течение второй половины XVIII в. Теория в известном смысле «топталась на месте». В то время была еще не ясна связь между различными явлениями в жизни и наукой о массовых явлениях. В середине XIX в. большой сдвиг в развитии Теории сделал русский математик П. Чебышев. Внесли большой вклад Марков, Ляпунов, Бернштейн, Колмогоров.

Теория сыграла большую практическую роль во Второй Мировой войне. Приведем пример из военной области. Понятно, что очень трудно сбить самолет одним выстрелом из винтовки. Ведь стрелок должен не только попасть в самолет, но поразить самое уязвимое место, например топливный бак. Поэтому вероятность того, что один стрелок собьет винтовкой самолет, ничтожна. Совсем другое дело – массовый обстрел. Если предположить, что вероятность сбить самолет одной винтовкой равна 0,004; соответственно, вероятность промаха – 0,996. Теперь предположим, что стреляют 500 стрелков; как мы доказали выше, вероятность промаха составляет

Таким образом, вероятность сбить самолет одним залпом равна 0,86. А если есть возможность произвести 2 – 3 залпа, то шансы у самолета уцелеть близки к нулю.

Так же Теория позволяла определять районы, в которых имели смысл поиски самолетов и подводных лодок или указывать пути, чтобы избежать встречи с ними. Типичной здесь является задача о том, как выгоднее вести караваны торговых судов по океану, в котором действуют вражеские подлодки. Если организовывать караваны из большого числа судов, то можно будет обойтись меньшим числом рейдов, но и возможные потери при встрече с флотом врага будут больше. Теория помогла рассчитать оптимальные размеры караванов и частоту их отправления. Задач такого рода возникало немало, поэтому при штабах организовывались специальные группы, занимающиеся расчетами вероятностей. После войны подобные расчеты стали применяться к хозяйственным вопросам мирного времени. Они составляли содержание нового большого направления, названного исследованием операций, которое оформляется в целую науку.

Список литературы

И. Зайдель. «Ошибки измерений физических величин»

О. С. Ивашев-Мусатов. «Теория вероятностей и математическая статистика»

Э. Борель. «Вероятность и достоверность»

И. М. Соболь. «Метод Монте-Ка

Другие материалы

Курса, которая излагается в первых четырёх модулях. Во вторых вопросах билета проверяются знания классической предельной проблемы теории вероятностей и математической статистики, которые излагаются в следующих пяти модулях. 1. Вероятностная модель с не более чем счётным числом элементарных...

Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса

Событий; формулы: полной вероятности, Бейеса (Байеса). Одной из форм дифференцированного обучения по курсу теории вероятностей может являться факультативный курс. 2. Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса 2.1 Основные понятия о...

Второй смешанной производной. Найдем по двумерной плотности одномерные плотности случайных величин X и Y. Т.к. полученное равенство верно для всех х, то подинтегральные выражение аналогично В математической теории вероятности вводится как базовая формула (1) ибо предлагается, что плотность...

В значительной степени разъясняется предельными теоремами. Схема испытаний с конечным числом исходов недостаточна уже для самых простых применений теории вероятностей. Так, при изучении случайного разброса точек попаданий снарядов вокруг центра цели, при изучении случайных ошибок, возникающих при...

Даже закономерностей. Вряд ли, однако, следует сводить объяснение к установлению логической связи “между отображением объясняемого объекта в языке и законом науки”. Сущность явлений, особенно сложных, может быть раскрыта зачастую лишь с помощью теории, представляющей не простую совокупность и даже...

Для некоторых из них мы сразу можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Например событие A более возможно (вероятно), чем B, а событие F более возможно, чем Е. Любое случайное событие обладает какой-то степенью возможности, которую в принципе можно измерить численно. Чтобы сравнивать...

Достаточно общая теория управления (Расовые доктрины в России: их возможности и целесообразность следования им в исторической перспективе)

Атеизм с логикой достаточно общей теории управления в настоящем изложении несовместим. Атеистические же вариации на темы теории управления либо ставят человека (человечество в целом) на место Бога, либо утрачивают общность изложения, как только соприкасаются с темой глобальный исторический процесс, ...

Научный креационизм (Теория сотворения). Обновленная и улучшенная версия

Самой маленькой живой клеточки, способной создать себе подобные), а то, что они предъявляют – не более чем теории (гипотезы). Что ж, их труды идут на пользу теории научного креационизма! А теперь предоставлю информацию по иным противоречиям в биологии (и в других науках), с которыми сталкивается...

Ведь ясно, что для его реализации потребуются определенные и возможно немалые затраты времени и средств. Но, если выводы системного анализа, полу-ченные на его основе рекомендации, почти всегда не полностью достоверны, то выходит, что мы рискуем? Да, это так и есть. Без риска ошибки в реальном, ...